混合次分数布朗跳-扩散模型下亚式幂型期权的定价

龚 雪,沈明轩

(安徽工程大学 数理与金融学院,安徽 芜湖 241000)

自1973年Black-Scholes提出了股票价格服从几何布朗运动的期权定价模型以来,许多学者对几何布朗运动驱动下的各类期权定价问题进行了深入的研究。然而,近年来的金融实证研究表明,金融资产价格变化过程往往具有自相似性和长程依赖性,这明显不符合布朗运动的特征。由于分数布朗运动具有自相似性和长程依赖性,很多学者采用分数布朗运动刻画风险资产的价格过程并研究了分数布朗运动驱动下的期权定价问题。在风险中性的测度下,Necula[1]利用傅里叶变换法和Girsanov测度变换,给出分数布朗运动条件下的欧式期权定价公式。孙娇娇等[2]基于Delta对冲策略和双Mellin变换等方法,研究分数布朗运动环境下带红利支付的脆弱期权的定价问题。Kalantari等[3]则利用有限差分法研究了分数Black-Scholes模型下美式看跌期权的定价模型。利用分形理论和模糊集理论,秦学志等[4]研究了不确定环境下分数布朗运动驱动的欧式期权定价模型。Cheridito[5]则进一步在混合分数布朗运动框架下讨论了期权的定价模型。2004年,Bojdecki等[6]提出了布朗运动另外一种的改进,它具有除平稳增量之外的分数布朗运动的所有性质,被称为次分数布朗运动。与分数布朗运动相比,次分数布朗运动的增量在不相交区间内的相关性更弱,并且随着区间之间的距离趋于无穷大,其协方差衰减速率更快,这一特点使得次分数布朗运动更适合金融市场的建模。肖炜麟等[7]采用Skorokhod拓扑下的随机游走理论,利用积分不等式和次分数二元市场理论研究了几何次分数Brown运动框架下金融市场的套利问题。余湄等[8]构建了混合次分数布朗运动下的期权定价模型,并用AR和GARCH模型对该模型下的Hurst指数和波动率进行建模。为了更好地刻画资产价格因一些突发事件而引起的价格间断性跳跃行为,泊松跳跃过程被学者们引入到期权的定价模型中。安翔等[9]利用Δ对冲原理和构造Crank-Nicolson格式,给出了在混合次分数跳扩散环境下的回望期权的定价及数值模拟仿真。

亚式期权是一种路径依赖期权,其到期日的收益取决于在执行期内资产价格的某种平均值。亚式期权的波动性低于收益完全基于单一到期价格的期权,对于交易者来说,在较长时间内操纵平均价格比操纵单一价格更难,这一特点使得亚式期权成为一种受欢迎的风险防范工具。1990年,Vorst等[10]提出一个新的策略来定价平均价值期权,即期权的回报取决于在一个固定时期内价格的平均值,给出了几何亚式期权的定价公式。章珂[11]利用几何平均法计算资产的平均值,在风险中性的测度下,推导出了布朗运动下几何亚式期权的定价公式.肖文宁等[12]在章珂的研究基础上,从偏微分方程和概率论两个角度来进行亚式期权的定价,并对这两个角度进行比较。Kirkby等[13]在机制转换条件下,研究了跳扩散和随机波动模型下的亚式期权定价。胡攀[14]将标准布朗运动推广到次分数布朗跳扩散的情况,利用保险精算法研究了次分数布朗跳扩散模型下带有红利支付的亚式期权定价公式。杨月等[15]则通过自融资策略给出了基于次分数跳扩散下的亚式期权的偏微分方程并求解给出了定价公式。在等价拟-鞅概率测度下,沈明轩等[16]研究了分数布朗运动环境中几何平均亚式期权的定价模型。利用资产价格过程的特征函数,Parka等[17]给出了跳扩散CIR过程下算术平均亚式期权定价公式的解析表达式。

幂型期权的回报取决于标的资产价格的k次方(k为自然数)与执行价格的差,因此幂型期权对资产变化的敏感性更强。亚式幂型期权是亚式期权和幂型期权的结合,同时具有这两种新型期权的优势,进而成为许多投资者规避风险的选择。Mao等[18]给出了分数布朗运动框架下幂型支付的几何亚式期权的定价公式的封闭解。在风险中性概率下,沈明轩[19]研究了混合分数布朗运动环境下的幂型亚式期权定价。同样在风险中性条件下,Wang等[20]研究了次分数布朗运动驱动的幂型支付几何亚式期权的定价问题。Shokrollahi[21]利用正态分布的性质推导出在时变混合分数布朗运动下的几何亚式幂型期权的定价解析式。

1998年,Bladt等[22]首次提出了保险精算方法,通过公平保费原理将期权定价问题转化为保险精算问题,由于该方法不需要任何经济假设,从而使得该方法在不完备、有套利的市场同样适用。闫海峰等[23]利用公平保费原则将Black-Scholes模型推广至风险资产具有随机连续复利预期收益率和随机波动率的广义情形,并给出了资产价格遵循O-U过程的欧式期权的定价公式及看涨看跌期权平价公式。本文则进一步利用保险精算定价方法讨论混合次分数跳扩散模型下的亚式幂型期权定价问题。

1 预备知识

即风险资产期末价格的期望与期初价格的比。

2 模型和假设

假设风险资产{st,t>0}(如股票)的价格满足以下方程[24]:

(1)

(2)

3 期权定价

E(ST)=S0eμT。

(3)

证明由式(2)可知:

由于

从而

E(ST)=S0eμT。

由定义2中标的资产在[0,T]之间的期望收益率定义可得:

定理1混合次分数跳扩散环境下,具有固定执行价格为K的几何平均亚式幂型期权看涨期权定价公式为:

(4)

所以执行价格为K的亚式幂型看涨期权定价公式为:

同理

所以综上可得:

推论混合次分数跳扩散环境下,具有固定执行价格为K的几何平均亚式幂型看跌期权定价公式为:

其中,d1、d2与定理1中定义相同。

注1 当k=1时,可以得到基于混合次分数布朗运动跳扩散环境下亚式期权的定价公式。

注2 当ε=0时,可以得到基于次分数布朗运动跳扩散下亚式幂型期权的定价公式。

注3 当σ=0时,可以得到基于布朗运动跳扩散下亚式幂型期权的定价公式。

注4 当λ=0时,即不存在跳时,可以得到基于混合次分数布朗运动下亚式幂型期权的定价公式。

4 数值模拟

模型中对应的参数设置如下:S0=10,r=0.05,μ=0.05,K=105,ε=0.2,σ=0.2,μJ=0.03,σJ=0.06,k=2。到期时间T,跳跃强度λ,Hurst指数H和收敛项数n及期权价格的计算结果如表1所示。收敛误差为10-5。由表1可以看出,在其他参数给定,跳跃强度λ和到期时间T不变的情况下,随着Hurst指数H的增加,亚式幂型看涨、看跌期权的价格均减小,即Hurst指数H与亚式幂型期权的价格成反比;Hurst指数H和到期时间T不变的情况下,随着标的资产的跳跃强度λ的增加,亚式幂型看涨期权的价格和看跌期权的价格均增加。当跳跃强度λ和Hurst指数H不变的情况下,随着到期时间的增加,亚式幂型看涨期权和看跌期权的价格同样都增加,即与到期时间T成正比。

表1 混合次分数条扩散过程下亚式幂型看涨、看跌期权的数值仿真结果

5 结论

本文在假设股票价格满足混合次分数布朗运动下引入泊松跳过程,利用保险精算的方法推导出亚式幂期权的定价公式并运用相关数据得出仿真结果。特别地,当k=1时,可以得到混合次分数布朗运动泊松跳环境下亚式期权的定价公式;当ε=0时可以得到次分数泊松跳环境下的亚式幂型期权的定价公式,当σ=0时,可以得到最简单的基于布朗运动泊松跳环境下的亚式幂型期权的定价公式。