基于对称K-L距离及决策者主观偏好的混合属性决策方案客观权重确定方法

马金山

(河南理工大学 工商管理学院，河南 焦作 454000)

在多属性决策分析的诸要素中权重的作用举足轻重。一般认为主观权重反映决策者的主观意图，而客观权重则是由决策方案的数据特征客观确定的，所以二者是不同的权重确定方法。如果说主观权重体现人类认识世界改造世界的判断标准，那么客观权重更多地体现某种自然规律[1]。比较常见的一些客观权重的确定方法主要有方差最大化法[2]、熵权法[3]以及离差最大化法[4]等。随着研究的深入，后来又产生一些新的客观属性权重的确定方法，如基尼系数法[5]和注水原理法[6]。在实际的决策应用中，客观权重往往并不是纯粹的“客观”，而是融入或者隐含了决策者的主观偏好或意图。因此，所谓的客观权重实际上是狭义的，特指的是给出决策方案，以确定性数据表示的指标值，并采用科学的方法，通过获得决策方案特征的数据值所代表的权重。但事实是决策方案指标值的获取过程中有时会有决策者偏好的作用和影响，如在定性指标的定量化时，群决策中针对同样的决策评价对象专家所给出指标值的不一致等。

随着决策理论与方法的发展，含有不确定性信息的决策方法得到更多的关注和研究[7]。而当决策方案的指标值含有不确性的数据时，以此不确定性数据获得客观权重则不同程度上均会存在信息的失真，即便是从狭义的数据本身来看，对其进行客观权重的确定时亦不可避免地存在着决策者的主观偏好。直接对存在不确定信息决策方案指标值进行客观权重求解的方法亦有一些研究成果，如基于证据理论的客观属性权重求解方法[8]以及基于模糊数进行的客观属性权重求解方法[9]。在涉及不确定性信息的客观权重的直接研究中，区间数或多参数区间数是非常重要的研究领域。陈志旺等[10]采用注水原理的方法，对指标属性值为三参数区间数的客观属性权重进行研究。郭秀英等[11]利用各属性下各方案区间数指标值及其偏差，提出一种基于区间数指标客观赋权的离差方法。尚战伟等[12]针对决策方案指标属性值为区间数的形式，专家客观权重未知的多属性群决策问题，提出通过属性评价值之间偏离程度的熵值分析和建立目标最小化的非线性规划模型确定属性客观权重。刘秀梅等[13]采用将区间数表示的属性值转换为二元联系数，进而改写成三角函数，以各三角函数的模为基本的计算依据并根据决策方案指标属性值的方差确定属性的客观权重。

虽然有不少学者对含有不确定信息的客观属性权重的确定方法进行了有益的探索，但已有的方法针对的是同种类型的不确定数，应用的范围较狭窄。而在实际的应用中决策方案的指标值可能由不同类型的混合属性值予以表征，既有确定数亦有不确定数，同时不确定数还有不同的数据类型。针对这种混合属性值的决策方案其客观权重的确定则变得异常困难，尚未得到很好的解决。本文则针对决策方案的指标值为确定性的实数及不确定性的区间数 (含多参数区间数) 的混合数据形式，借助对称Kullback-Leibler (K-L) 距离的方法求解决策方案指标属性的客观权重。在进行客观权重的计算时，对决策者主观偏好的体现就是在求对称K-L距离时所给定的确定数和不确定数的重要性的比例不同，而不同的比例对客观权重求解的结果存在着较大的影响。

1 基本理论

1.1 不确定数及其转化

不确定数是为了刻画或描述含有不确定性的事物或对象的数据类型[14]。不同的决策理论与方法中所规定或使用的不确定数的具体名称和类型不同，如模糊数、灰数、联系数及区间数分别应用于模糊集理论、灰色理论、集对分析理论和区间数理论等[15]。然而，在不考虑严格的理论意义的情况下，区间数可以视为其他诸多不确定数的基础，为此产生多种数据类型的融合，如将灰数融入区间数中产生区间灰数等。不同类型的不确定数均有其自己特定的含义以及各不相同的处理方法。本研究中涉及的不确定数主要是区间数及其拓展的多参数区间数。传统的区间数及多参数区间数在具体运算时处理方法亦不统一，为此，这里将区间数及多参数区间数通过一定的转化，使其可以统一进行处理。

本研究中不确定数的转化即是将区间数及多参数区间数提取其确定性和不确定性特征，并统一转化为包含“确定+不确定”的二元联系数，进而转化为二元组数，亦可视作二元微小向量。不确定数转化的一般过程和原理如图1所示。

图1 不确定数转化的一般原理Figure 1 Principle of transformation of uncertain numbers

1.1.1 区间数及多参数区间数

定义1区间数及多参数区间数[16]。若以R代表实数域，则称～x为一个区间数，可以用[xl,xu]表示，xl和xu分别为区间数参数的下、上限值，且xl，xu满足0＜xl＜xu∈R。对一个区间数当其取值在下、上限值之间的某一或某些值时，则可以拓展为多参数区间数，记为 [x1,x2,···,xk,···,xγ]，其参数xk满足0＜x1＜ ···＜xk＜ ···＜xγ∈R。

1.1.2 均值-偏差值二元联系数

二元联系数为集对分析理论中的重要概念，它统一了不确定数的确定性和不确定性成分。

对于均值-偏差值二元联系数，可以对其进一步处理以获得其规范化的形式，即使其确定项和不确定项参数的和均为1，则各分量分别称为确定度µ和不确定度 σ，即其由式 (6) 予以确定。

式(6)中，µ和 σ为标准化后的联系数的分量，称为二元联系度的分量。

当不确定数均转化为二元联系数并进一步规范化为二元联系度时，则根据需要可以视为 (确定度，不确定度) 二元组数 (µ,σ)，而其亦可认为是二元微小向量。

1.2 Kullback-Leibler距离

定义3所给出的K-L距离实际上是非对称的KL距离，即此处所谓的K-L距离具有方向性，与通常意义上距离的概念具有对称的特性存在差异。

1.3 对称Kullback-Leibler距离

定义4对称Kullback-Leibler距离。式 (7)中，H(X,Y)所 表示的K-L距离不满足对称性，即H(X,Y)≠H(Y,X)，因此需要对此进行改进，使其满足对称性。若设H(Y,X)为Y对于X的K-L距离，则有

其中，H(Y,X)的 性质同H(X,Y)，可以称为X相对于Y的逆非对称K-L距离。结合式 (7) 和 (8)，可以得到X对于Y的对称K-L距离为

式(9)中，D(X,Y) 为综合H(X,Y)和H(Y,X)的 具有对称性的K-L距离，具有以下性质。

1)D(X,Y)≥0；

2) 如令D(Y,X)=H(Y,X)+H(X,Y)，则D(X,Y)=D(Y,X)；

3) 在性质 1) 和 2) 成立的前提下，D(X,Y)满足直线距离最短的特性。

1.4 决策方案指标值的归一化处理

设µst、σst分别代表对应的某一属性下各指标二元联系数的确定度和不确定度。为此，可以组成各方案指标的 (确定度，不确定度) 二元组数微小向量为 (µst,σst)，其中s=1,···,n，t=1,···,m。然而各方案的指标向量属性之间不具有可比性，因此，这里需要针对各个属性下的 (确定度，不确定度) 二元组数据 µst和 σst进行归一化，计算公式为

式(10)中，ast和bst分别为经过规范化后的二元组数中的确定项和不确定项。

1.5 综合对称Kullback-Leibler距离

若已经获得归一化的各决策方案二元组数的向量，则可以求出综合对称的Kullback-Leibler距离。

定义5综合Kullback-Leibler距离[19]。设两个由二元组数组成的向量S=((x1,y1),(x2,y2),···,(xm,ym))T和E=((p1,q1),(p2,q2),···,(pm,qm))T分别代表某一方案的两向量。其中，xk,yk,pk,qk≥0，k=1,2,···,m，(xk,yk)和 (pk,qk)分别对应S和E中同一属性下的规范化后的(确定度，不确定度) 二元组数向量，则可以得到S对于E的综合K-L距离为

式(11)中，β为二元组数中确定项所占的重要性比例系数；β为二元组数中不确定项所占的重要性比例系数。其中H(S,E)的性质如下。

1)H(S,E)≥0；

2)H(S,E)=0，当且仅当S=E时，即xk=pk，yk=qk,∀k。

由式 (11) 可以类比得出E对于S的综合K-L距离H(E,S)为

H(E,S)的 性质同H(S,E)。

定义6综合对称Kullback-Leibler距离。由定义5，H(S,E)表示S对于E的综合加权K-L距离，H(E,S)表示E对于S的综合加权K-L距离，则S对于E的综合对称K-L距离为

由式 (14)，根据距离具有对称性的内涵，可以得到D(S,E)=D(E,S)。

2 基于对称K-L距离及决策者主观偏好的客观权重确定方法

2.1 含不确定性信息的客观权重确定思路

在多属性决策中，决策方案指标属性的客观权重是由决策方案自身所反映的数据特征决定的。在多属性决策方案中，针对给定的决策方案的指标值充分挖掘各属性下各决策方案指标所隐含的差异信息，并通过合适的方式予以数值表现；然后基于各属性下的差异值作为客观权重确定的依据，必要时可构造符合特定目标的规划函数；根据初步获得的客观权重值，可经过归一化后得到最终的客观权重。当决策方案的指标值含有不确定性数据时，则多属性决策问题可称为不确定性决策问题。相对于确定性实数值的决策方案，含有不确定性数据的多属性决策更为复杂。含有不确定信息的多属性决策关键的问题在于对不确定信息的处理，即采用合适的方法，确保决策过程中不确定信息不失真或尽量少失真。为此，含有不确定性信息的客观权重确定时，需要在借鉴确定性实数的客观权重确定方法的基础上，尽量采用不确定信息失真少的方法获得各属性的客观权重。

2.2 决策者的主观偏好

在本研究中涉及含有确定数及不确定数表示的混合属性决策方案。但不确定数蕴含的不确定性信息中含有确定性的成分，因此在具体的应用分析过程中，则需要考虑决策者对确定性及不确定性的偏好。在对混合属性指标值进行处理时，是将各类数据均转化为含有确定性及不确定性的二元联系数，然后再进一步转为 (确定，不确定) 二元组数，并以此为基础进行后续运算。虽然在不确定性的转化中各类型数据 (包含确定数及不确定数) 均可以转化为包含确定信息和不确定性信息的二元联系数，但在实际运算时，是以选择出确定项和不确定项的代表值进行的，为此其与原始的不确定数必然存在偏差。因此采用本文的方法求含有不确定信息的客观权重时，根据决策者的不同偏好所获得的客观权重必然存在着差异。总体来说可以有3种类型的决策者偏好：1) 确定性和不确定性处于同等重要的地位；2) 确定性占主导地位，不确定性占次要地位；3) 不确定性占主导地位，确定性占次要地位。具体来说式 (11)和式 (13) 中的α 和 β分别代表决策者对确定项和不确定项的主观偏好，而式 (14) 为式 (11) 和式 (13) 的综合则其必然也包含决策者对确定项和不确定项的主观偏好。

2.3 不确定性客观权重确定的数学描述

设由n个方案m个属性构成的数据，各方案为含有确定性的实数和不确定性的区间数及多参数区间数形式的指标值xst(s=1,···,n,t=1,···,m)。现在的问题是如何根据所给定的混合属性指标值确定决策方案各属性的客观权重。

在求各属性的客观权重时，首先将各指标数据xst分别转化为二元联系数Ust=+vsti(s=1,···,n,t=1,···,m)，并在此基础上进行规范化处理，成为二元联系度ust=µst+σsti(s=1,···,n,t=1,···,m)，视为二元微小向量(µst,σst)(s=1,···,n,t=1,···,m)，经过进一步的归一化处理后可得到(ast,bst)(s=1,···,n,t=1,···,m)。其次，计算各属性下各个微小向量之间的对称K-L距离zst(s=1,···,n,t=1,···,m)。然后，在此基础上获得各属性下各个对称K-L距离的和Kt(t=1,2,···,m)，并以此作为各属性的初始客观权重值。最后，各初始权重值经归一化后可得到标准化的客观权重Wt(t=1,2,···,m)。

2.4 客观权重确定步骤

根据以上客观权重确定的原理分析，可以给出基于对称K-L距离及决策者主观偏好的客观权重的确定方法步骤如下，基本流程见图2。

图2 客观权重确定方法流程图Figure 2 Flowchart of objective weights determining method

步骤1确定原始的含有不确定信息的决策方案的指标值xst(s=1,···,n,t=1,···,m)。

步骤2对决策方案指标值xst依据式 (2)～ (5) 获取其由自身参数得到的确定项和不确定项vst。

步骤3采用式 (1) 将决策方案的各指标值均转化为二元联系数Ust=+vsti(s=1,···,n,t=1,···,m)形式，并在此基础上进行规范化处理，成为二元联系度ust=µst+σsti(s=1,···,n,t=1,···,m)，视为二元微小向量(µst,σst)(s=1,···,n,t=1,···,m)，经过进一步的归一化处理得到(ast,bst)(s=1,···,n,t=1,···,m)。

步骤4设定不确定数运算时决策者对确定项和不确定项的比例偏好，给定确定项的偏好系数α。

步骤5依据式 (10) 及 (14) 计算各属性下各决策方案指标的两两对称的K-L距离zst(s=1,···,n,t=1,···,m)。

步骤6求得各属性下经过规范化的两两对称K-L距离的和Kt(t=1,2,···,m)，其和由式 (15) 得到。

步骤7对求得的各属性下规范化的两两对称K-L距离的和Kt(t=1,2,···,m)进行归一化处理，即可得到各属性下的客观权重Wt(t=1,2,···,m)，其由式(16) 得到。

3 算例分析

3.1 数据背景

为了对5个煤矿 (分别用S1～S5表示) 的综合绩效进行评估，根据其近几年的数据，采用5个指标科技投入 (千万元)、产能 (百万t)、全员工效 (t/人)、净利润 (亿元) 和事故发生率 (%) 等5个指标属性进行综合测度，分别以M1～M5表示，其中，属性M5为逆向指标属性，其余为正向指标属性。各决策方案的指标值由实数、区间数及多参数区间数等表征。根据所给定的含有不确定信息的数据确定各属性的客观权重。

3.2 计算过程

根据客观权重的计算原理及步骤，针对表1给出的数据进行运算分析。

表1 决策方案的数据值Table 1 Data of alternatives

3.2.1 计算不确定数转化的参数

由表1数据，根据式 (2)～ (5) 可以获得各决策方案指标值不确定参数计算的结果见表2。

表2 各决策方指标值不确定数参数计算结果Table 2 Parameters of uncertain numbers for each indicator

3.2.2 将各方案指标值均转化为二元联系数

由表2所获得的各参数根据式 (1) 可以得到表3的二元联系数。

表3 各指标数据转化为二元联系数Table 3 Binary connection numbers converted from data of each indicator

表3中的二元联系数包含实数的转化，其可认为是区间数的退化，即确定项为实数值本身，而不确定项为0。该二元联系数可以进一步转化为指标的二元微小向量见表4。

表4 各指标数据转化为二元组数Table 4 Two-tuple numbers converted from data of each indicator

3.2.3 获得各属性下各指标两两对称K-L距离的和

依据式 (10)和式(14)，对表4所得到的各指标二元组数进行各属性下两两方案 (Sf-Sg) 指标对称KL距离的计算，计算结果如表5所示。

表5 各属性下各指标对称K-L距离Table 5 Symmetric K-L distances of each attribute

运用式 (15) 对表5所示的各属性下规范化的两两对称K-L距离求和可得K=(1.848 0,1.288 2,0.809 1,1.552 4,1.722 7)。

3.2.4 获得各属性的客观权重

根据式 (16) 将获得的各属性下的两两对称K-L距离的和Kt进行归一化后，可以得到最终的各属性的客观权重为W=(0.255 9,0.178 4,0.112 1,0.215 0,0.238 6)。

3.3 决策者的主观偏好对客观权重的影响

前面的计算是认为确定数和不确定数在运算过程中具有同等重要的地位即给定的确定项的比例和不确定项的比例相等，亦即设定 α=β=1。而实际上不同的决策者对确定性和不确定性的态度实际上是不同的。为此有必要对针对确定性和不确定性的重要性偏好不同进行计算分析。表6给出仍然采用前面给出的各决策方案的数据，但针对确定项和不确定项有不同的偏好时的客观权重的对比。表6中给出α的值，则β 的值可由 β=1-α计算得到。

表6 不同取值偏好时的客观权重确定Table 6 Determination of objective weights with different subjective preferences

由表6的数据可知，当决策者采取不同的偏好时各属性的客观权重存在着差异。当 α的值由小变大 (即确定项的比例变大)时，属性M1、M3、M4和M5的权重由大逐渐变小，而属性M2的权重则由小逐渐变大，且增加的幅度较大。属性M2的权重变化较为明显的原因在于该属性下的指标值原为确定性的实数，转化为二元组数后其不确定项部分均为0，即其不确定项对客观属性权重确定时的贡献为0。而当其确定项的比例增大时，该属性下确定项的对称K-L距离的增加值相对于其他属性下的确定项的增加值的幅度要大得多，故其权重变化也较大。而这些权重的变化同时也说明所谓的客观权重的确定实际上并不完全是客观的，其带有决策者的主观偏好。

3.4 对比分析

为了说明本文所提出方法的优越性，采用与文献[11]提出的方法及其所使用的案例数据所获得的客观权重确定方法进行对比。为开发新产品，拟定5个投资方案S1～S5，以4个指标投资额 (E1)、期望净现值 (E2)、风险盈利值 (E3) 和风险损失值 (E4) 综合衡量，各指标的单位均为万元。各属性中E1和E4为逆向指标属性，E2和E3为正向指标属性，具体如表7所示。文献[11]中对给定的以区间数表示的各指标属性值的客观权重获取是采用求各属性下的区间数的相互离差的方法确定各属性的客观权重。

表7 投资方案的指标值Table 7 Indicators of investment alternatives

采用文献[11]中方法得到的各属性客观权重为W=(0.253 37,0.191 14,0.205 85,0.349 64)。而采用本文方法且各属性下确定数和不确定数在运算过程中具有同等重要的地位，即给定的确定项的比例和不确定项的比例相等时，则所得到的权重为W=(0.246 5,0.322 0,0.146 9,0.284 6)。表8列出当各个属性下转化后的确定数项和不确定数项取不同的偏好比例时所获得的不同的客观属性权重的变化。

表8 不同取值偏好时的客观权重获取Table 8 Objective weights obtained by decision maker's different subjective preferences

由于本文所提出的方法计算客观权重时同时考虑区间数转化为二元联系数时的确定项和不确定项，相对于文献[11]中使用各属性下各区间数指标值的直接的离差值法进行客观权重计算更加精确，信息失真少。因此采用本文方法计算含有不确定信息指标方案属性的客观权重值结果更优。同时本文所提出的方法还可以根据决策者对各属性下确定数与不确定数设定不同的偏好比例以反映决策者的主观偏好。

4 结论

针对含有不确定性信息的区间数及多参数区间数的决策方案所决定的客观权重求解问题，提出一种基于对称K-L距离的方法。该方法将各类型数据统一转化为二元联系数，并进一步转化为二元组数，求解各属性下两两指标间的对称K-L距离并进行汇总求和，进行归一化后可求得客观权重。该权重确定方法能够将不同类型的数据转化为二元组数并进行统一处理，具有信息失真较少、计算原理比较清晰的特点。通过算例分析可以验证该方法能够很好地获得含有不确定信息决策方案的客观权重。同时针对各属性下的确定项和不确定项亦可根据决策者的偏好设定相应的比例，体现决策者的主观偏好，而不同的比例对客观权重的影响亦十分明显。本研究成果具有普遍的适用性，无论是工程领域还是经济管理领域，涉及不确定性混合属性值的决策方案客观属性的确定都可以采用所提出的方法。