学科核心素养下的高中数学单元作业设计研究

郭文锦

（兰州市第五十七中学，甘肃 兰州 730070）

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》提出了要通过数学教学培养学生的数学学科核心素养。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。培养学生的数学学科素养是一个多种途径而又循序渐进的过程。学生通过思考并解决课堂上教师设置的指向数学概念生成的问题串，提高了数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养。通过课堂练习等活动，学生的数学运算、数据分析等数学核心素养也得到了提升。特别是在“三新”背景下的高中数学教学所提倡的单元教学设计不仅凸显了相关主题内容和思想方法间的联系，而且重构、优化了教学内容，把握了数学问题的本质，对引导学生进行深度学习，构建知识体系，发展学科核心素养大有裨益。站在课程视角下，“三新”背景下的单元作业设计也不应只是为了巩固所学知识，还应承担发展学生数学核心素养，为不同程度的学生提供发展的机会，培养学生表达能力、探究能力等多方面能力的作用。因此，重视单元作业设计、研究单元作业设计类型、探讨单元作业设计方法就显得尤为重要。

二、高中数学作业设计存在的问题

作业是课堂的延续，也是教师检验学生是否掌握知识的依据。自“双减”政策颁布以来，作业设计被大多数老师所重视，但仍存在一些问题。

（一）作业布置缺乏设计意识

教师布置作业依然存在直接让学生做练习册的现象，而市面上的练习册大多侧重于课时训练，注重对知识点的简单罗列与机械练习，教师对于单元作业设计却比较忽视，可以说少之又少。这种机械训练往往割裂了知识的完整性且忽略了知识间的逻辑性，导致学生对于数学知识的理解与应用过于碎片化，不能将所学内容很好地融会贯通、综合应用，经常出现会做刚学的习题，忘记之前所学的现象。长此以往，不利于学生对于数学知识体系的理解掌握，更不利于学生数学学科核心素养的培养。

（二）作业布置的内容和形式单一

很多有经验的老师都建立了课堂主阵地意识，花大量心血在备课、上课环节，重视课堂上讲什么、怎么讲，却忽视了对作业布置的研究，对单元的作业设计不够重视，存在布置练习册作业时一页到底的现象，学生做完后老师批改讲评。这样囫囵吞枣式的作业布置以及单一的作业评价方式，导致学生走马观花地刷题，没有针对性的强化练习和反思，对知识的掌握可谓支离破碎。

（三）作业布置忽视了学生的差异性

众所周知，不同的个体在学习能力、知识的接受程度上都存在差异性，然而用“一刀切”的方式给学生布置作业的现象依然常见，这样的作业布置方式违背了因材施教的教学理念，不利于培育学生的数学核心素养。

因此，高中数学教学中应重视单元作业的设计与实施，单元作业设计是帮助学生从“知识本位”转向“素养本位”的重要途径，单元作业设计原则可以帮助一线教师有效进行作业设计。

三、学科核心素养下的单元作业设计原则

现阶段高中数学作业设计存在的问题不利于学生素养的培养和发展，基于此，在作业设计过程中，应遵循作业设计的基本原则，以发展学生的数学核心素养。

（一）单元作业设计的目标性原则

在设计单元作业之前，教师首先要明确单元教学目标，依据课程标准和学情将所学内容划分为了解、理解、掌握等不同程度。反馈与巩固所学仍然是作业的首要功能，因此，作业的主要内容需要对标单元教学目标，使作业能够有效地检测到学生对于基础知识和基本技能的掌握情况。同时作业目标对标单元教学目标再次加深了学生对于单元体系的建构和理解。单元作业目标与单元教学目标又是有区别的，一方面，课堂教学中绝大多数学生掌握较好的内容可以不设置成为作业目标；另一方面，从育人的视角来看，有些作业目标也未必是单元教学目标，如：提升学生数学阅读能力，表达能力，梳理概括能力等作业目标，它们不是通过几节课就能够达成的目标，但是却应循序渐进、渗透于教学与作业之中。一旦确定了作业目标，教师要准确写出作业目标，并根据作业目标选择或编制作业内容。

（二）单元作业设计的整体性原则

单元作业若要实现育人功能，则需要对单元作业设计进行整体规划，单元作业绝不是课时作业的简单叠加与堆积。在整合作业时，不仅要考虑单元整体目标和课时教学目标，还需要将教学放在更广阔的范围内思考，这个范围可以是一个学期、一个学段，甚至可以贯穿学生的学习生涯，不仅要考虑到学生的学科能力，还要从学生的综合能力与素养发展的角度进行规划。如从长期发展来看，培养学生的阅读能力是非常重要的，但是阅读能力的培养需要较长的过程，因此，在整体作业设计时，就要将阅读能力培养目标作为一项重要目标，出现在每个单元之中，形成长期型作业，在设计课时作业时，也可根据教学内容设计导读性作业。整体规划单元作业还包括考虑整个单元作业的梯度、种类、用时及不同类型作业的批阅与评价方式，总之，要使整体作业的质与量更满足学生成长的需要。

（三）单元作业设计的梯度性原则

单元作业设计要注重作业设计的梯度性，作业的梯度性设置是充分考虑到学生个性的差异、学习基础的差异、对知识理解的差异和问题解决时的差异。梯度性的作业设置，充分考虑了学情，把握了学生的最近发展区，使不同层次的学生都有能独立完成的作业和擅长的作业类型，在写作业的过程中体验了解决数学问题带来的快乐，增强了对数学学习的兴趣与信心，同时学生的数学学科素养也得到了提升。当然，作业的梯度既可以来自于所选作业习题的综合程度，也可以来自所设计的作业的类型与作业的内容。

（四）单元作业设计的多样性原则

单元作业多样性的主要体现是单元作业应具有丰富的结构，按照王月芬博士的分析，单元作业应至少包括以下的结构：同一单元不同作业内容之间的结构（内向结构）；不同课时同一内容作业之间的结构（纵向结构）；不同学科同一时间段作业间的结构（横向结构）；新授课和复习课、讲评课作业间的结构（其他结构）等，作业结构是衡量一组作业质量的最终指标。在单元作业设计中，我们首先应关注内向结构，根据学生能力培养的需要，确定作业目标与内容。其次要统筹安排其他结构的作业内容。在课时作业设计中要多关注纵向结构，通过作业将前后学习的内容连点成线，帮助学生构建思维体系。同时兼顾横向结构，以使作业的量不至于超标，提升作业的效度。

（五）单元作业设计的评价性原则

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》阐述了评价的重要性。作业作为过程性评价的重要资料，既可以反映出学生数学知识技能的达成情况，也可以呈现出学生的学习态度与学习习惯，同时，教师可以根据学生的作业情况改进教学。因此，单元作业设计中要重视考量作业的评价，评价应包括两个方面，一方面是对学生作业的评价，评价的主体要多元化，可以从教师评价、学生评价、家长评价等维度进行考虑与设计。评价方式可以采用定性评价、定量评价，以及定性定量相结合等形式，通过设计作业评价量表，口头测验等具体做法。另一方面是对单元作业设计本身的评价，对于单元作业设计本身的评价，需要对学生完成作业的情况进行观察、记录，以发现作业设计在内容、结构、层次、难度、耗时等方面存在的问题，应加以及时调整与改进。

四、基于学科核心素养的单元作业设计实践探索

高中数学作业设计要突出学科本质，凸显新高考考向，体现学生的主体地位，在实践过程中要结合数学知识地位、难易程度精准化设计，此处以问题型作业、梳理型作业、探究性作业、阅读型作业的实践为例。

（一）设计问题型作业，培养学生的问题意识

学生是学习的主体，老师扮演着引导者的角色。如果学生是怀有困惑，带着问题走进课堂，随着老师的引导启发茅塞顿开，并从理解知识到熟练应用，那么这节课对于学生而言无疑是高效而深刻的。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说过，问题是数学的心脏。当单元教学内容结束时，教师不妨通过一些问题型作业，引导学生回溯概念生成的过程，让学生理解数学中的通性通法，加深学生对于知识的建构。

比如在完成“幂函数、指数函数和对数函数”这一单元的学习后，可以设置如下问题：

问题1：幂函数、指数函数、对数函数经过的定点分别是什么?

问题2：你能做出以下函数的大致图像吗？

问题3：你能尝试总结幂函数、指数函数、对数函数的性质吗？它们有什么区别和联系?

问题4：回顾本单元以及初中所学的函数，我们是用怎样的研究路径来研究具体函数呢？

问题1、2 通过说出定点和做出所给函数的大致图像，站在课时教学的角度，引导学生从表象上回顾幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质。问题3、4 立足于单元的角度，引导学生进行对比、总结、抽象。问题3与前一单元“函数的性质”相结合，以具体的函数为对象，加深学生对于单调性、奇偶性等函数性质的理解。问题4为学生打开更宽广的视角，从初中到高中学习过的函数中，凝炼出具体函数的研究路径，从数学研究方法的角度对学生的数学思维进行了升华。

（二）设计梳理型作业，完善学生的知识体系

高中数学知识虽然逻辑性强，但是知识点又很零碎，因此，引导学生对于知识点进行识记和归纳是非常必要的。常见的梳理型作业有数学笔记和思维导图。从记忆规律来看，学生对于课堂上的记忆往往是短暂的，而数学笔记的存在有助于学生课后复习回顾，尤其在单元总结、期末复习时的作用确实不容小觑。长远来看，数学笔记有助于增强学生的理解力和记忆力。课堂上，学生应紧随老师的思路，可以纲领式的记录，提高课堂笔记的效率。课后，教师要引导学生把整理、完善笔记视为一项常态化的作业，要让学生认识到做数学笔记是学习数学的基本途径之一。如下为某同学关于不等式性质的笔记整理。

1.不等式的基本性质

（1）对称性：a＞b⇔b＜a。

（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c。

（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c。

（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc。

（5）加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d。

（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd。

（7） 乘方法则：a＞b＞0 ⇒an＞bn＞0 （n∈N，n≥2）。

2.比较两式大小的常见方法：作差法、作商法

作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；

第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键。

注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；

注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断，注意分类合理恰当。

作商法：

注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用。

作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小。

一元二次函数、方程、不等式章节，涉及到的数学思想方法尤其重要，学生在绘制此处思维导图时，除了基本知识，也突出数学思想方法的可视化，有利于发展学生的数学核心素养，如图1所示。

图1 一元二次函数、方程、不等式思维导图

单元教学设计是一个整体，无论是大单元还是小单元，按照认知心理学的观点，学生在学习过后都得理清知识脉络，形成自己的知识框架和思维导图。思维导图可以帮助学生将复杂的知识和概念以图形化的方式呈现，使得思维更加有条理和清晰。通过绘制思维导图，学生可以将各个概念之间的关系和层次结构可视化，从而更好地理解和记忆知识。绘制思维导图的过程中，学生更好地抓住了数学核心概念，更有效地掌握了数学知识，在原有的数学知识上能够生长出新的知识点，理性思维得到了提升。

（三）设计探究性作业，发展学生的创造性思维

探究性作业需要学生进行钻研和探究，这种类型的作业往往需要学生综合运用知识，需要学生花时间去琢磨，找到突破口，然后尝试解决，解决问题的过程培养了学生的问题解决和创新思维能力。数学学科探究性作业具有实践性和开放性的特点，教师可以设置实际问题，引导学生建立数学模型，综合应用所学数学知识或者融合其他学科相关知识加以解决。探究性作业的答案可以是开放的，这也有利于发展学生发散性思维，老师也可以让学生观察不同的答案，寻找它们之间的共性，加深学生对数学知识的理解。但是，探究性作业不可过难，超出学生的认知范围，否则，不仅会打击学生学习数学的积极性，也不会起到夯实基础，提升能力的作用了。

笔者在完成“幂函数、指数函数和对数函数”的教学后，设置了以下探究性问题：

1.某函数f（x）具有以下性质：①对于定义域中的任意x，y，都有f（x）·f（y）=f（xy）；②函数图象只出现在第一象限，请写出满足以上条件的一个函数。

2.某函数f（x）具有以下性质：①对于定义域中的任意x，y，都有f（x）·f（y）=f（x+y）；②有f（x）·f（2）=f（1）＞6.请写出满足以上条件的一个函数。

3.某函数f（x）具有以下性质：①对于定义域中的任意x，y，都有f（x）+f（y）=f（xy）；在（0，1）单调递减.请写出满足以上条件的一个函数。

这几道探究题从抽象函数的角度考察了幂函数、指数函数、对数函数的性质。其实，学生在初中阶段就学习了同底数幂的乘法运算am·an=am+n，积的乘方运算（xy）a=xa·ya，在高一学习了对数的运算loga（MN）=logaM+logaN（M＞0，N＞0，a＞0,a≠1）。所以，几道探究题站在更大的单元视角下，考察学生是否可以透过抽象函数的面纱，看破函数的运算本质。除此之外，也检测了学生是否能够将上一单元的函数的性质应用于具体的函数中，比如：问题（1）考察了幂函数的奇偶性；问题（2）考察了函数的对称变换与函数的对数函数的单调性。

（四）设计阅读型作业，提升学生的理解能力

阅读型作业指与学习内容有关的一些数学素材或数学问题。阅读型作业需要学生依据自身的知识储备和理解水平进行有效地解读，并根据文章内涵与题目要求，实现后续的学习及一系列操作。对于高中生而言，数学解题时审题是非常重要的，而数学审题所需要的对问题信息快速而精准的理解离不开数学阅读能力，而阅读能力的培养需要在平时的教育教学中不断积累，阅读型作业的布置是非常必要的。学生要能辨析文字叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型来解答。

笔者在预备单元的教学中，挖掘教材中的例题和习题，设置了以下阅读型作业：

“如果用b千克白糖制出a千克糖溶液，则糖的质量分数为，若在上述溶液中再添加m千克白糖,此时糖的质量分数增加到，将这个事实抽象为数学问题,并给出证明”。这是湘教版教材《必修第一册》2.1.1《等式与不等式》中的一道例题。可以把上述事实抽象为如下不等式问题：已知a＞b＞0，m＞0，求证：. 此不等式的证明方法如下:

证法一：（作差法）

证法二：（作商法）

证法三：（分析法）

∵m＞0，所以只需a＞b，而这是已知条件，所以原不等式成立。

阅读上述材料，理解给出的三种证明方法，并选择一种你认为简单的方法，解决如下问题：

a千克糖水中含b千克糖，若把糖水中的糖析出去除m千克，则糖水会变淡，请从数学的角度解释说明。

通过数学阅读型作业，不但能让学生体会自主学习带来的知识和快乐，更重要的是在数学阅读过程中提升了学生的自学能力。数学阅读时经历了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等数学活动，这也发展了学生的数学素养。

五、结语

基于数学学科核心素养的作业类型不仅限于问题型、梳理型、探究性、阅读性，还应有以发展学生数学表达能力为目的的表达型作业，体现学生数学水平差异的分层作业，引导学生自我发现的操作型作业等。单元作业可以包括探究性问题、案例研究、实际情境应用等。这就要求一线教师在充分解读课标要求的基础上，合理划分整合教学单元，明确单元教学目标，深入解读教材内容，充分了解学生的实际能力和发展需求。同时，教师还需不断学习、探索、研究、实践，快速提高自身的专业素养，提升整体性地把握课程与教学的能力。