感悟等号意义 提高运算能力

于 莎

⦿ 山东省淄博市临淄区遄台中学

等号是数学中常见的运算符号,与等号相关的计算是代数学习的基础.等号是用来表示左右相等关系的,如果等号两边的数字、字母或者式子不对等,学生往往会因为对等号的理解不深刻,导致解题出现错误.

等号的对等性是数值大小的相等,计算的关键在于不改变数值的对等性.围绕这一对等性,进行移项、去括号、添括号、配方、约分等运算是代数运算的法则和基础.

1 学生计算中常出现的问题以及解决策略

1.1 运用配方法时只对等号一边进行运算

例1解方程:3x2+8x-3=0.

常见错解：原方程可变形为3x2+8x=3,则

错解分析：学生解一元二次方程时,通常比较注重配方,但往往忽视了与等式性质的结合.在将二次项系数化为1进行配方时,容易忽略等号的右边也要进行同样的运算,计算过程中等号应两边始终保持相等.配方运算是建立在等式的基本性质之上.

在教授配方法解一元二次方程时,教师要强调等式的性质.将二次项系数化为1,不是仅仅对二次项系数化为1,而是要运用等式的性质2,将等式中的每一项都除以二次项系数,这一过程没有改变等号两边的平衡.运用完全平方公式进行配方时,配方的过程运用的是等式的性质1,方程两边要同时加上一次项系数一半的平方.教学中要让学生明白算理,展现前后两个算式的形和大小是如何变化的.

分析：等式的性质是等式固有的运算规律,代数中的很多运算都要用到等式的性质.灵活运用等式的性质是解决方程问题的关键,也是一些化简求值题的关键.

例1中将方程两边同时除以3把二次项系数化为1,运用的是等式的性质2,要让学生明白等号的右边不是没有除以3,只不过0除以任何数都是0.配方运用的是等式的性质1,等号两边同时加上一次项系数一半的平方,学生经常出现的错误是左边加了而右边没加.

无论是人教版还是鲁教版,课本中的例题都没有呈现如何将二次函数一般式转化为顶点式.实际教学中,转化运算是难点,也是易错点.由于这部分内容是在学生学完利用配方法解一元二次方程后学习的,学生有了一定的基础,可类比计算,但两者有不同之处.一元二次方程等号一边是0,而二次函数等号一边是y,计算过程中,一元二次方程若不能直接配方,则将常数项移到等号的右边,而二次函数的一边是y,学生不知如何运算.将二次函数一般式化为顶点式有如下三种方法.

方法3:将二次项系数化为1(等式两边同时乘-2),得-2y=x2-2x+5.

移项,得-2y-5=x2-2x.

配方,得-2y-5+1=x2-2x+1,则-2y-4=(x-1)2,即-2y=(x-1)2+4.

分析：方法3与用配方法解一元二次方程类似,可类比学习,这样学生更易理解.方法1和方法2的不同之处在常数项的处理上面,两种方法区别不大,用的都比较多.学生类比配方法解二次函数的相关问题时,常常出现的问题是等号右边二次项系数化为1,而等号左边的y保持不变.究其根本原因是没有深刻理解等式的性质.提取二次项系数后,括号里面要配方,还要把多余的数字再与二次项系数相乘后放到括号外面,这里十分容易出错.教学中要让学生明白等号之所以成立,是因为两边的变形改变的只是形式,没有改变大小.二次函数一般式化为顶点式后,教师可再次引导学生将顶点式通过去括号化为一般式,让学生感受其中的变化,深刻理解等号的意义.

1.2 解一元一次方程去分母常出现的问题

随着振兴苏北战略的实施，苏北地区园林绿化发展迅速，绿化指标在同类城市中处于领先位置，如近年来，徐州以创建国家生态园林城市为抓手，大力推进城市生态园林建设，构建了功能完善、分布均衡、便民利民、管护精细的城市公园体系，继2005年获得国家园林城市称号后，2016年1月又获得首批“国家生态园林城市”称号.宿迁近几年重点建设“一山一河三路三园”，打造了一批园林亮点工程，形成以“大湖林海”为核心、外环路绿化为环、古黄河水系绿化为带、高速出入口为点、特殊区域为片的环城生态绿化格局.

针对这个题,也可以拓展一下,由两个分母0.4,0.5的最小公倍数为2,得到如下方法二.

例4的三种方法可以使学生充分理解等号的意义,等号之所以相等,体现在数值的不变性上.运用等式的基本性质对式子左右两边进行整体运算,运用分数的基本性质对式子进行局部化简.

1.3 解分式方程与分式的运算中出现的问题

学生进行分式的加减时,常与解分式方程发生混淆,根源还在于没有理解等号的意义以及运算法则.学生学完解分式方程后进行异分母分式的加减,会按照解分式方程的步骤乘最简公分母去掉分式的分母.分式方程是等式,解分式方程与例3解一元一次方程方程是类似的,运用的都是等式的性质;而分式的加减不是等式,运用等式的性质显然是错误的,应该运用分式的基本性质.

2 教学中要多角度理解等号的意义

2.1 等式的运算只是形的改变,是等量转化

例6若3x+5y-3=0,求8x·32y的值.

可将8和32转化为23和25,改变了形,将数字转化为幂的形式,进行等量转化,运用的是转化思想,没有改变数值的大小.

8x·32y=(23)x·(25)y=23x·25y=23x+5y=23=8.

2.2 借助等号的意义实现简便运算

实际问题中方程的数值都比较大,学生计算容易出现错误.运用等式的性质或者分数的基本性质可使运算更加简便.

等号的意义不仅仅在于表示运算的结果,更要让学生理解其中的算理.学生虽然已经有一定的抽象运算能力,但很大程度上还停留在具体数字的运算层面,初中学生的思维正处在从具体到抽象的过渡期.因此,教师在授课时,要注意借助具体、形象的模型或事物帮助学生理解问题,促进其数学推理能力的发展.

运算能力是初中数学核心素养之一,提升运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的途径解决问题.学生对等号的意义有了深刻的理解和感悟,才能够提高运算能力,培养严谨的学习品质.Z