一种基于分段拟合的热电偶测温控制方法

韩昧华,王 芳,桑红燕,杨新泉

(1.聊城大学 网络信息中心,山东 聊城 252059;2.聊城大学 计算机学院,山东 聊城 252059;3.菏泽学院 计算机学院,山东 菏泽 274015)

1 引言

热电偶是根据热电效应测量温度的传感器,是温度测量仪表中常用的测温元件。将不同材料的导体A和B接成闭合回路,接触端的一端称测量端,则另一端分开,用导线接入显示仪表,被称为参比端。若测量端和参比端的温度T和T0不同,则在回路的A、B之间就产生一热电势Eab(T,T0),这种现象称为塞贝克效应,即热电效应[1]。Eab(T,T0)大小随导体A、B的材料和两端温度T和T0而变,这种回路称为原型热电偶。在实际应用中,热电偶的测量端放到被测温度T处,而保持参比端的温度T0稳定。显示仪表所测得电势随被测温度T变化而变化。一般热电偶具有-200～2 000 ℃之间的较大宽度测量范围,因此在各类测试系统中被广泛应用[2]。

测量的精度是测试中一个关键问题,研究表明,热电偶测量温度时,将温度数据转换成电信号时,存在非线性问题,在一定程度上影响了测温的精度[3]。如何减少测温误差,提高测量精确度一直是热电偶应用与设计的研究热点。

为了提高基于热电偶的测温控制系统测量精度,国内外众多学者对其进行深入研究,大体上可以归纳为两类主要方法[4-6],一类是硬件补偿法,在测量电路中再加入补偿电路,使输入与输出实现线性化,但是这类方法需要一定的硬件投资,并且实现起来的电路工艺比较复杂;另一类是以曲线逼近法为典型的线性化补偿法,该类方法在一定程度上可以提高测量精度,但是在测温区间幅度较大时,存在着热电偶输出值与实际温度值存在较大偏差的问题。

针对热电偶元件测温存在测量误差较大的问题,在应用最小二乘法实现热电势和温度特性的线性处理基础之上,提出一种基于分段拟合的热电偶测温控制方法,给出热电偶测温控制的动态分段拟合推导公式,并采用809C52单片机对该方法进行模拟实验。实验结果表明,该测温方法简捷高效,误差可控制在1%之内,可适用于智能仪表和实时控制。

2 热电势与温度间的非线性关系

热电偶的工作原理是基于热电效应,在金属中存在大量自由电子,不同的金属导体,其自由电子密度不同[7,8]。两种不同导体A和B相接触时,由于自由电子扩散而产生的电势差称为接触电势,当温度为T时,其值EAB(T)为

(1)

式中k为玻兹曼常数,e为电子电量,nA(T)和nB(T)分别是A和B两种导体中自由电子密度,与温度有关。而同一种导体,当两端温度T和T0不同时,由于热端自由电子动能大,向较冷的一端扩散,形成的电势差称为温差电势,其值为

(2)

式中σA为温差系数,与导体材料和温度有关。因此,当热电偶测温时,回路中总的热电势EAB(T,T0),等于两个不同导体接触点的接触电势和两导体的温差电势相加

EAB(T,T0)=[EAB(T)-EAB(T0)]+[-EA(T,T0)+EB(T,T0)]。

(3)

由上述公式(1)～(3)不难看出,热电偶热电势与温度之间关系呈明显非线性。

3 基于分段拟合的线性化方法

热电偶测量温度时,将温度数据转换成电信号时,存在非线性问题,在一定程度上影响了测温的精度。为了提高基于热电偶的测温控制系统测量精度,在应用最小二乘法实现热电势和温度特性的线性处理基础之上,提出一种基于分段拟合的热电偶测温控制方法。

3.1 最小二乘法拟合

最小二乘法拟合的基本思想是,求拟合曲线y=s(x),使得观测实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,m)与估计点(xi,s(xi))的距离平方和达到最小。

给定观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,m),求因变量x与因变量y的函数关系:y=s(x,P0,P1,…,Pn),其实质是在函数类s(x)∈span{φ0,φ1,…,φn}上存在唯一的函数

s(x)=P0φ0(x)+P1φ1(x)+…+Pnφn(x),

(4)

求给定点xi上的误差δi=s(xi)-yi,(i=1,2,…,m),使得δi(i=1,2,…,m)的平方和最小。这里φ0(x),φ1(x),…,φn(x)∈C[a,b]是线性无关函数组,若在[a,b]上给出一组数据{(xi,yi),i=1,2,…,m},xi∈[a,b]及一组相应权重{ρi>0,i=1,2,…,m},要求s(x)=span{φ0,φ1,…,φn},使得

(5)

式(5)是关于P0,P1,…,Pn的多元函数,求最小值即是求多元函数的极值。通过求多元函数的极值方法[9,10],从而可得到拟合曲线y=s(x)。

在实际测量时,由测得的观测值EAB(T,T0),来求测量温度T。xi与E相对应,yi=s(xi)与T相对应。应用最小二乘法拟合曲线时,首先要确定EAB(T,T0)的形式,为了进一步提高测量精度,本文选用高阶多项式拟合,其形式为

EAB(T,T0)=a0+a1T+a2T2+…+anTn。

(6)

如果为了达到好的拟合精度,需要较高的曲线阶数,但这给计算带来的一定的复杂性,不利于实时应用在实时控制类系统中[9]。

为平衡测量精度和实时计算响应速度[10,11],选用二次多项式拟合用于提高实时响应速度,其形式为

y=ax2+bx+c,

(7)

式中a、b和c为任意实数,且满足约束条件

(8)

3.2 动态分段拟合

面对较多数据点进行拟合时,只采用单一的多项式拟合,难以取得较好的精度效果。在实施温度和热点偶函数关系的线性化过程中,根据拟合精度的要求采用构造动态分段拟合的方法解决这个问题。根据拟合精度来确定分段位置以便达到最优化,只要控制好分段位置便可达到高精度拟合要求,这样即可简化拟合公式,有可以提高拟合精度。

由公式(7)可知,a、b和c为满足式(8)的二阶多项式拟合系数,决定着拟合函数的构造。如果采用单一的函数系数进行拟合,难以满足不同测温区间的拟合精度。为了提高拟合精度,本文提出对拟合系数进行动态优选的方法。

设任意给定测温摄氏T∈[m,n],测温相对误差Δt,要求满足 |Δt|≤ε,其中m和n为实数,ε>0。根据观测数据,应用最小二乘法,求二次多项式拟合系数a、b和c,将其代入式(7)构造拟合函数,求得测试温度T1,其相对误差Δt1。若|Δt1|>|Δt|,则称该组二次多项式拟合系数a、b和c为测温区间[m,n]满足|Δt|≤ε条件的不可选用拟合系数;否则,称为测温区间[m,n]满足|Δt|≤ε条件下可选用拟合系数。

若二次多项式拟合系数a、b和c,为测温区间[m,n]满足|Δt|≤ε条件下的不可选用拟合系数,则将[m,n]划分为[m,L]和[L,n]两个新区间, 其中M

给定测温区间[m,n],测温相对误差Δt,存在满足|Δt|≤ε条件下的可选用拟合系数,根据历史观测数据,将最小二乘法用汇编语言编程实现,从而保证对各个测温区间的可选用拟合系数的高效求取[13]。程序流程图如图1所示。

图1 动态拟合流程图

4 实验结果与分析

4.1 实验所需硬件

所采用的硬件[12]电路中有809C52单片芯片、74LS373地址锁存器、74LS138译码器、74F04非门、74LS00或非门、HM6264存储器、8255并行口、ICL7109AD转换器、LM78120CT稳压块、LM79120CT稳压块、LM7805稳压块、HA-OP07H放大器、BC7281键盘显示芯片、74LS164N移位寄存器、ULN2803A反相驱动器以及一些分立元件。

4.2 实验的软件实现

当拟合精度要求较高时,拟合函数覆盖的测温区间变小,反之,拟合函数覆盖的测温区间相对变大。拟合程序从0 ℃开始用最小二乘法,求出0～1 ℃间的拟合系数,得出该区间的拟合表达式,依次求出各点误差与要求误差相比。若小于要求误差,将温度区间扩大到0～2 ℃,得出新的拟合表达式,计算个点误差与要求误差比较,依次类推。直到温度区间中出现某点误差大于要求误差,则可确定上一区间内满足精度要求的拟合表达式。

本实验用C语言环境实现计算拟合系数程序、误差计算程序和数据拟合程序。考虑到工业现场大多环境恶劣,所以采用809C52芯片,用MCS-51语言编制了单片机控制的热电偶测温程序。实验的软件实现模块[13,14]包括键盘输入程序、发送字节程序、接收字节程序、按键处理程序、数码显示程序、取补程序、负数处理程序、双字节二进制数左移四位程序、满量程电压数程序、字节处理程序组成,主程序的流程图如图2所示。

图2 主程序流程图

4.3 实验结果与分析

由于实验中得到的热电偶标定值不是以度为单位连续变化的,所以拟合时只是采用了人工分段的方法。热电偶电压与温度的曲线可明显分为两段,前段为直线后段为二次函数曲线,所以实验中分两段进行拟合。

为了验证本文提出的分段拟合测温方法的有效性,采用809C52芯片,用MCS-51语言将该方法编制成单片机控制的热电偶测温控制程序,对0～1 300 ℃的测温区间进行模拟实验[15,16],要求测温相对误差小于0.02。

通过程序计算结果显示,将该测温区分区间划分为0～700 ℃和700～1 300 ℃两个测温区间,各区间满足测温相对误差小于0.02条件的可选拟合系数如表1所示:

表1 各测温区间的拟合系数

选用表1的各区间相应拟合系数,随机对0～1 300 ℃的温度进行模拟测试,结果表明该测温方法简捷高效,并且相对误差可以控制在1%之内。对各个典型温度的测试结果统计如表2所示,由表2的统计结果来看,最大相对误差为0.99%,该方法可适用于智能仪表和实时控制。

表2 测温结果与分析

5 结论语

热电偶的热电势与温度呈非线性关系,在很大程度上影响了热电偶测量的精度。在应用最小二乘法实现热电势和温度特性的线性处理基础之上,通过应用对不同测试区间的拟合系数进行动态优选,提出一种基于分段拟合的热电偶测温控制方法,采用汇编语言在809C52单片机上编程实现。模拟实验结果表明,该测温控制方法简捷高效,误差可控制在1%之内,可适用于智能仪表和实时控制。