真三轴卸荷条件下砂岩力学特性和剪切变形带预测模型

王 泽，李文璞, ，冯国瑞 , ，杜佳慧，郝瑞卿

(1.太原理工大学 安全与应急管理工程学院,山西 太原 030024；2.矿山岩层控制及灾害防控山西省重点实验室,山西 太原 030024；3.山西省煤基资源绿色高效开发工程研究中心,山西 太原 030024；4.太原理工大学 矿业工程学院,山西 太原 030024)

开采挖掘是地下工程的重要作业之一，其产生的卸载作用会对周围岩石产生扰动，引起岩石力学特性变化。而岩石在实际地下开挖中处于三向不等压状态[1]，中间主应力会对岩石性质产生影响。2 者综合作用，会使岩石表现出复杂的变形和强度规律，引发的地质灾害更具有瞬时性和破坏性。因此，中间主应力效应[2-3]和卸荷作用[4]是岩石力学重要的研究内容。

在开展中间主应力的研究中，常通过2 类试验进行：一是控制主应力变化[5-6]，二是控制应力不变量变化[7-10]。在控制主应力的试验中，通过设置不同中间主应力来研究其对岩石力学行为的直接影响。陈国庆等[11]对红砂岩试样开展不同中间主应力条件下加载试验，借助声发射和高速摄像设备分析裂纹扩展规律。蒋长宝等[12]通过真三轴试验研究中间主应力对页岩力学和渗透特性的影响。许多学者通过开展卸载试验，研究卸载对岩石力学特性的影响。赵光明等[4]开展不同中间主应力岩石卸载试验，发现卸载面受中频中幅扰动容易形成小裂纹发育。李兆霖等[13]通过开展真三轴卸载试验，发现卸载条件下岩石内部破裂特征更加复杂，破裂面表面积变大。刘婕等[14]开展花岗岩真三轴加载和卸载破坏试验，发现卸荷条件下花岗岩脆性指数更高。白鑫等[15]建立考虑加卸载煤岩损伤的煤岩渗透率模型，发现在卸荷作用下，瓦斯渗透率呈“V”型发展趋势。但是以上研究集中于试验现象和规律，没有建立中间主应力、卸载作用与岩石应力状态和变形破坏之间的联系。

在理论分析中，本构模型和局部剪切理论可合理描述岩石受力演化行为，反映岩石受力发展过程，有利于理解中间主应力和卸载的作用。VERMEER 等[16]通过开展常规三轴压缩试验，推导和分析了理想塑性模型、硬化模型、硬化-软化模型以及循环加卸载模型。殷有泉等[17]强调弹性参数随着塑性变形的发展而变化(弹塑性耦合)，需要在流动法则中考虑相关变化，并由此推广出广义塑性流动法则。尤明庆[18]通过试验发现围压增加可以使裂隙面间的摩擦力增加，减少剪切滑移，从而提高弹性模量。夏才初等[19]建立弹黏塑性本构模型，考虑卸荷路径下大理岩变形随时间的变化规律。周辉等[20]建立弹塑性耦合模型，考虑非关联流动法则，建立剪胀角随围压和内变量变化的关系。而局部剪切理论先后由HADAMARD[21]、THOMAS[22]、HILL[23]以及MANDEL[24-25]建立发展。通过该理论建立局部剪切变形带发展过程，确定变形带角度。李国琛[26]探究变形带分叉的力学条件。吕玺琳等[27]通过应用非共轴本构模型，发现中间主应力比超过0.2 局部应变会影响岩土的峰值强度。CHEMENDA 等[28-30]考虑岩石扩容特性，分析偏平面的应力状态，得到相关本构模型，探究屈服面和包络线之间的关系，预测岩石变形带角度。杨忠平等[31]将剪切过程分为3 个阶段：剪密阶段、线性增加阶段和应变硬化阶段，并分析相应阶段的能量演化。许多学者也发现，中间主应力和卸载作用对变形带的角度有影响[32-34]。因此，需要构建考虑中间主应力和卸载作用的本构模型和剪切变形带发展模型，与岩石应力状态和变形破坏建立联系，明确2 者的作用机制。

笔者通过开展不同中间主应力下砂岩加载和卸载试验并进行相关理论分析，深入探讨中间主应力和卸载作用对岩石变形特性、强度特征以及剪切变形带角度的影响作用。分析偏平面上偏应力和偏应变，对比不同条件下应力Lode 角和应变Lode 角演化规律，确定考虑中间主应力和卸载影响的屈服函数，建立包含三应力不变量的硬化模型。结合分叉理论，推导出不同条件下的剪切变形带角度，与实际变形带角度对比，验证模型的合理性，最后分析中间主应力和卸载对变形破坏的影响。以上研究，有利于控制实际工程中岩石的稳定性，便于预测开采挖掘条件下岩石剪切变形带角度，保障了工程安全稳定高效发展。

1 试样设备及试验方案

1.1 试验设备

本试验采用重庆大学自主研发的“多功能真三轴流固耦合试验系统”[35]，如图1 所示。多功能真三轴流固耦合试验系统主要由框架式机架、真三轴压力室、加载系统、内密封渗流系统、控制和数据测量、采集系统及声发射监测系统等组成。真三轴压力室内部可放置多种尺寸立方体试样，最大可达200 mm×200 mm×200 mm。在压力室的3 个主应力方向上均设置一对独立的加载系统。加载系统采取两向刚性和一向柔性或刚性加载方式，尽量避免端部摩擦效应。3 个主方向可以提供的最大压力分别为6 000、6 000和4 000 kN。本试验中以Y方向施加最大主应力σ1，以X方向施加中间主应力σ2，Z方向施加最小主应力应力σ3。试件变形由高精度位移传感器配合采集卡监测和记录。

图1 多功能真三轴流固耦合试验系统[35]Fig.1 True triaxial fluid-solid coupling experiment system[35]

1.2 试验方案

为保证试样内部结构和性质均匀性，避免试样之间因离散型而产生较大的试验结果，试验所需砂岩岩样均取自重庆市北碚区同一块完整且匀质的砂岩，密度为2 261 kg/m3，单轴抗压强度为48.60 MPa。对所取砂岩块进行切割，加工成100 mm×100 mm×100 mm、无明显缺陷的正方体试件，并用磨床对端面进行打磨，保证试件表面光滑且无明显裂隙，不平行度和不垂直度均小于0.02 mm。

为研究不同中间主应力和卸载作用对砂岩的力学特性和剪切变形带影响机制，开展了中间主应力分别为30、40、50、60、70 MPa 的加载试验和卸载试验(图2)。表1 为不同中间主应力试验下对应的初始应力条件σ3i、σ2i、σ1i(i为预加载试验阶段对应的主应力初始应力条件)。试验分为预加载(图2 中A 部分)及正式加载和卸载试验(图2 中B 部分)。预加载试验中，分别将3 个方向的主应力施加至σ3i、σ2i、σ1i，并保持不变，加载速率均为1 kN/s。正式加载试验中，在最大主应力方向以1.28 kN/s 加荷，直至砂岩试样破坏；正式卸载试验中，在最大主应力方向以1.28 kN/s 加荷、在最小主应力方向以0.16 kN/s 单面卸荷，直至砂岩试样破坏。

表1 不同中间主应力试验的初始应力条件Table 1 Initial stress conditions for different in termediate principal stress tests MPa

图2 应力路径示意Fig.2 Stress path diagram

2 力学特性

2.1 应力应变关系

笔者引入偏剪切应力(τσ)和偏剪切应变(εs)来分析砂岩的变形规律。图3(a)、(b)为不同中间主应力加载和卸载条件下岩样最大主应力随最大主应变的演化曲线，图3(c)、(d)为不同中间主应力加载和卸载条件下岩样偏剪切应力随偏剪切应变的演化曲线。由图3 可知，砂岩试样在经历弹性段后进入应变硬化阶段，随着中间主应力增加，不同曲线的斜率呈现增加趋势，应变硬化程度增加。在σ1–ε1关系曲线中，峰值处的最大主应力均随中间主应力增加而增加；在τσ–εs关系曲线中，加载条件下峰值处的偏剪切应力随着中间主应力增加而增加，而在卸载条件下，偏剪切应力仅在σ2=70 MPa 下有较大提升，其余中间主应力的偏剪切应力增幅很小。这反映出在一定范围内中间主应力对岩样强度的增强和卸载对强度的减弱作用。岩石是否发生破坏主要是由其内部抗剪切能力决定的。在加载试验中，岩样受到中间主应力约束，一定程度上会增加岩石延性，内部可以承受的剪切应力增加；在卸载试验中，虽然岩石整体延性增加，但受泊松效应[3]影响，最小主应力方向更易发生膨胀，萌生张拉裂隙，导致岩石更容易发生局部破坏。因此，岩石试样在屈服阶段主要通过偏剪切应力进行强度分析。

图3 不同中间主应力条件下岩样应力–应变关系Fig.3 Stress and strain relationship curves for rock samples under different intermediate principal stress conditions

图4 为不同中间主应力加载和卸载条件下砂岩试样体积应变εV随偏剪切应变的变化曲线。在试验初期，加载和卸载条件下砂岩试样体积应变及其增加速率均随着偏剪切应变增加而增加。定义最大压缩点为岩石体积应变由压缩转化为膨胀的值(第1 个极值点处)，而非整个曲线的最大值点处。在加载条件下，随着中间主应力增加，体积应变由膨胀逐渐变为压缩，最大压缩点先增加后趋于平稳。σ2为30 MPa 时，试样发生膨胀，体积应变先减小后趋于平稳。而σ2为40 MPa 时，试样膨胀程度减小，体积应变达到最大压缩点后趋于平稳。σ2在50～70 MPa 时，试样转为压缩，体积应变开始增加，但是中间主应力对后续体积应变增加的影响并不显著。卸载条件下岩样在最大压缩点之后均呈膨胀趋势，表明卸载作用会在一定程度上减弱中间主应力作用。

图4 不同中间主应力条件下岩样体积应变曲线Fig.4 Volume strain curves for rock samples under different intermediate principal stresses

图5 为不同中间主应力加载和卸载条件下岩样偏剪切应变随时间的演化规律。将偏剪切应变的发展过程分为3 个阶段：平稳增加阶段、陡增阶段和快速增加阶段。由图5 可知，在平稳增加阶段，砂岩试件偏剪切应变及其增长速率随中间主应力增加呈现减小趋势。加载条件下，当σ2>40 MPa、偏剪切应变达到0.8%左右时，偏剪切应变会发生陡增，陡增阶段增幅在0.7%左右，随后进入快速增加阶段。对比图3，陡增发生在试样屈服后、应力跌落前，此时由剪切应力主导的裂纹扩展迅速，宏观裂纹快速发展，出现陡增现象。而卸载条件下，试样的偏剪切应变在0.7%左右均发生陡增，比加载条件下提前了0.1%，陡增起始点位于试样屈服前。综上所述，可以发现卸载作用使裂纹贯通提前发生，岩样内部剪切应变发展迅速。陡增现象反映出砂岩试样内部发生破坏是从局部变形开始，随后不断累积，形成剪切变形带。但是，在加载条件下，σ2为30、40 MPa 时岩样陡增程度较低，而在图4 中此条件下的扩容现象最为明显。这表明局部变形和整体变形并不是统一的。根据RUDNICKI 等[36]研究，发现变形带不仅会形成扩容带，还会形成压缩带。

图5 不同中间主应力条件下岩样偏应变变化曲线Fig.5 Variation of deflective strain in rock samples under different intermediate principal stress conditions

2.2 峰值处Lode 角演化规律

图6 为加载和卸载条件下岩样峰值处应力Lode角和应变Lode 角随不同中间主应力的演化规律。试验中岩样应力状态可以通过主应力空间进行分解，在π 平面或者偏平面上进行分析。引入第二和第三偏应力不变量，建立与Lode 角的关系(式(1))，并得到应力Lode 角和应变Lode 角表达式为

图6 不同中间主应力条件下岩样Lode 角演化规律Fig.6 Evolution of Lode angle in rock samples under different intermediate principal stress conditions

式中，θσ为应力Lode 角；θε为应变Lode 角；σ1、σ2、σ3分别为最大主应力、中间主应力和最小主应力；ε1、ε2、ε3分别为最大主应变、中间主应变和最小主应变；sij、sjk、ski为应力偏张量，sij=σij-σmδij，σm为静水压力，σm=(σ1+σ2+σ3)/3，δij为克罗内克符号，当i=j时，δij=1，当i≠j时，δij=0。

在加载和卸载条件下，应力Lode 角随中间主应力增加而增加，而卸载作用会促进应力Lode 角增加。文献[10]研究表明，θσ在-30°～30°时，峰值应力逐渐减小。因此，中间主应力大小和卸载作用对岩样强度的影响与应力Lode 角有关。在加载试验中，岩样应变Lode 角随中间主应力增加变化并不显著，表明中间主应力对偏平面上应变演化方向影响较小。而卸载试验中，随着中间主应力增加，卸载作用对应变Lode 角影响越来越大，并会使相同中间主应力下的应变Lode 角增加。表2 为不同中间主应力条件下加载和卸载试验中岩样应力Lode 角和应变Lode 角差值的绝对值。可以发现，卸载作用对应力Lode 角的影响相对比较固定，最大影响角度与最小影响角度仅相差了1.81°；而对应变Lode 角的影响随着中间主应力增加，角度差值也呈现增加趋势，反映出最小主应力卸载会影响岩样内部变形方向，引起裂纹扩展方向改变。综上所述，中间主应力和卸载作用反映出岩石内部应力Lode 角和应变Lode 角的变化。应力Lode 角表征了岩石屈服特性，需要建立相关屈服函数来表征。而应变Lode 角在一定程度上表征了岩石内部裂隙演化方向。因此，需要分析砂岩变形局部化。

表2 岩样应力Lode 角和应变Lode 角差值的绝对值Table 2 Absolute values of stress Lode angle and strain Lode angle differences in rock samples

2.3 强度准则

结合3.1 和3.2 节相关内容可知：在强度准则中引入剪切应力和应力Lode 角是十分重要的。同时，ALEXANDRE 等[30]发现，静水压力对屈服面上的包络线形状也会产生影响。本文对Mohr–Coulomb 准则[37]、Drucker–Prager 准则[38]以及修正Lade 准则[39]进行分析，验证静水压力、剪切应力和应力Lode 角对砂岩峰值强度的影响。

Mohr–Coulomb 准则以其简单的形式广泛应用于颗粒胶结材料，其表达式如式(6)所示。M–C 准则考虑了岩石内部的内摩擦角和黏结力，但是由于该准则没有考虑中间主应力的影响，使其在真三轴条件下的应用受到了限制。

式中，ϕ为内摩擦角；c为黏结力。

Drucker–Prager 准则中同样含有内摩擦角和黏结力的相关参数，其表达式如式(7)所示。在真三轴压缩试验中，D–P 准则得到了广泛的应用，但是准则中并没有考虑应力Lode 角的影响，从而无法很好地考虑卸载作用。

式中，α为内部摩擦系因数；k为黏结力的系数。

修正Lade 准则是由Lade 准则发展而来的。LADE 等[40]引入应力张量第一、第三不变量建立了Lade 准则，如式(8)所示。

式中，Pa为大气压力；m和η1为材料常数；I1为第一应力不变量；I3为第三应力不变量。

Lade 准则中包含了3 个参数，其中m和η1的求解较为复杂。EWY[39]将m设为0，获得了剪切应力与I1的线性关系，并且考虑了具有黏结力或非零抗拉强度的材料的内部特性，将3 个参数的求解进行简化。修正Lade 准则如下：

修正Lade 准则中并没有直接与剪切应力和应力Lode 角等偏应力不变量相关的参数建立联系，但是I1、I2、I3可以通过σm、J2、θσ进行表征。将式(16)代入到3 个主应力不变量，可以用偏应力不变量表示3 个主应力不变量，如式(17)～(19)所示。

因此，修正Lade 准则是考虑了3 个主变量(σm、J2、θσ)的影响作用，故可以很好地刻画复杂应力路径下的岩石强度特性。且当σ2=σ3时，修正Lade 准则可以和M–C 准则进行吻合，便于推广应用。

图7 为M–C 准则、D–P 准则和修正Lade 准则在偏平面上不同静水压力的屈服面。M–C 准则的屈服面在偏平面上是一个不规则的六边形，表明其线性特征。而D–P 准则在偏平面上为圆形，其偏应力不受应力Lode 角的影响。修正Lade 准则在偏平面上为圆角三角形状，应力Lode 角在-30°～30°时，偏应力不断减小，在-30°～0°减小速率较快，10°～30°时，减小速率较慢，这与文献[9]的规律一致。

图7 不同静水压力下不同强度准则在偏平面上的屈服面Fig.7 Yield surfaces of different strength criteria in the bias plane at different hydrostatic pressures

获得岩样峰值处对应的最大主应力和最小主应力值，分别通过3 个准则进行拟合分析。M–C 准则对加载试验和卸载试验拟合，R2分别为0.005 和0.227，拟合效果很差。D–P 准则对加载试验和卸载试验拟合，R2分别为0.963 和0.668，相应拟合曲线如图8所示。

图8 试验数据和D–P 准则的拟合曲线Fig.8 Fitted curve of experimental data and D-P criterion

由常规三轴试验测得试验砂岩的黏结力c=16.3 MPa，内摩擦角ϕ=34.2°，计算所得27+η=48.369。表3 为不同试验通过修正Lade 准则计算通过计算不同试验下的平均值，可以得到与(27+η)的平均误差：加载试验为0.746%，卸载试验为1.193%。拟合曲线如图9 所示。试验结果与修正Lade 准则重合度好，可以较好反映砂岩岩样在加载和卸载试验下的强度特性和变化规律。

表3 不同试验数据通过修正Lade 准则计算的Table 3 values calculated by the modified Lade

表3 不同试验数据通过修正Lade 准则计算的Table 3 values calculated by the modified Lade

图9 试验数据和修正Lade 准则的拟合曲线Fig.9 Fitted curves for experimental data and modified Lade criterion

3 剪切变形带角度分析

分析最小主应力方向卸载对岩样的局部变形影响，需要将修正Lade 准则转化为屈服函数，构建岩样本构方程，再进行局部剪切分析，得到剪切变形带角度预测模型，与实际变形带角度进行对比，确定中间主应力和卸载的影响。

3.1 考虑三应力不变量的硬化模型

将本构关系假定为与速率无关的固体标准形式。其中，应变增量张量由弹性和塑性应变增量张量组成：

弹性增量可以通过广义胡克定律与应力增量联系：

其中，D为弹性刚度矩阵，联立式(20)和(21)，可得

考虑到岩样在屈服前，会进入应变硬化阶段。进入屈服后，屈服面不会发生改变，需要在屈服函数中引入相应的塑性应变。VERMEER 等[16]研究发现，用等效塑性应变比采用塑性功的方式更加有效。屈服函数S1和η由岩石内部参数内摩擦角和黏结力决定。内摩擦角随着试验的进行，不断上升达到最大值。而在峰前，黏结力变化很小，在峰后黏结力开始下降，与岩石的残余应力关系紧密。笔者主要考虑峰值及峰值前的岩样力学特性，因此，将内摩擦角与等效塑性应变相关联，黏结力保持定值c。此时屈服函数f为

式中，S1和η中的内摩擦角ϕ由ϕ∗代替[41]，ϕ∗的摩擦硬化经验关系如图10 所示，ϕ∗的正弦见式(26)。可以发现，内摩擦角随着等效塑性应变的增加而增加，到达峰值(此时ε¯p=εf)后，内摩擦角保持不变。

图10 内摩擦角与等效塑性应变的经验关系Fig.10 Empirical relationship between internal friction angle and equivalent plastic strain

在非相关流动法则中，引入塑性势函数。通过将屈服函数中的内摩擦角用剪胀角(ψ)进行替换，从而描述岩石发生的扩容现象。同样地，在实际岩样加载中，ψ也会随着等效塑性应变的增加而变化。通常，ψ用ψ*进行替换，ψ*也是通过等效塑性应变进行量化。塑性势函数为

通过流动法则，塑性应变增量为

其中，dλ为非负的乘数。通过式(27)将3 个主应变增量分别求解，代入式(25)可得

为了求解dλ，引入一致性条件，即df=0，具体为

将式(22)、(29)代入式(32)中，可得

化简可得

其中，h为硬化模量，其内部含有衡量材料的硬化参数，表达式为

展开屈服函数和塑性势函数对应力张量的偏导数，可以得到d的具体计算式为

其中，E为弹性模量；v为泊松比；m、n均为求解中的过程值：

将式(29)和(34)代入式(22)，得到本构方程为

由于剪胀角ψ*与等效塑性应变关系的难以确定，并且为了简化最终求解过程，采用相关流动法则，使该本构关系中的剪胀角ψ*与内摩擦角ϕ∗相等，即认为屈服函数和塑性势函数相同。此时本构关系转化为

式中，E为单位矩阵。

3.2 剪切变形带预测模型的建立

对于岩石，在加载和卸载试验过程中，持续的变形会突然发生改变，进一步发生的变形会集中在狭长的变形带中[41]。图11 为岩石在试验过程中产生的理想剪切变形带。变形带方向是带的方向与最小主应力方向的夹角ξ。在分析变形带角度ξ时，将塑性势关系式从本构关系中独立，寻找屈服函数和塑性势函数非偏应力部分，进行变形带角度计算。

图11 剪切变形带示意Fig.11 Schematic diagram of the shear deformation band

根据RUDNICKI[42]的分析，塑性应变增量为

进一步结合HADAMARD 和THOMAS[21-22]的分析，可以得到摩擦因数μ和扩容系数β的相关表达式，即

通过RUDNICKI 等[36]的研究，得到变形带法向方向和最小主应力夹角θRR，表达式为

式中，α对于判断变形带的特性具有重要作用，当α≥1 时，此时变形带角度为0°，形成了扩容带；而α≤-1 时，此时变形带角度为90°，形成了压缩带[42]。需要注意，这里的扩容带和压缩带不是表征岩样是否发生扩容现象，而是表征变形带本身的特性；s2为第二偏应力不变量。通过建立应力Lode 参数与应力Lode 角的关系，可以推导出为

将式(44)～(47)以及式(50)代入式(49)，考虑相关流动法则下μ与β相等，可以得到最终α的表达式为

其中，角度ζ定义为

3.3 剪切变形带角度变化规律分析

将式（40）进行转换，可以得到

显然，塑性应变增量为

其中，需要将屈服函数转化为3 个偏应力不变量的形式，再对每个不变量进行求解。将偏应变突增时的相关试验结果代入式（51）和式（52），可以获得不同中间主应力的加载和卸载试验下岩样的α和θRR，通过θRR可以得到变形带角度ξ，如图12 所示。由于岩石的变形带不是一个平面，而是一个不规则曲面，变形带角度随着变形带的发展，其角度不是一个定值。因此，这里的试验值指变形带初始产生时倾角[43-44]。笔者通过对岩石初始断裂角做切线，获得变形带角度的试验值，并绘制在图12（b）中。无论是加载试验还是卸载试验，参数α均小于0，变形带表现出压缩性质。在本试验的中间主应力范围内，随着中间主应力增加，参数α先增加后趋于平稳，说明岩样形成的变形带随中间主应力增加向扩容变形带发展，但是中间主应力同时又存在约束作用，会限制其发展。在卸载试验中，当中间主应力达到60 MPa 后，参数α下降，表明中间主应力的约束作用占据主导地位，使变形带向压缩变形带方向发展。由图12（b）可知预测值和试验值比较接近，变形带角度预测模型预测效果良好。变形带角度ξ随着中间主应力增加而减小，在中间主应力达到60 MPa 后，趋于稳定并有小幅增加。而卸载作用，会使在同一中间主应力下岩样变形带角度减小，使变形带更容易向扩容变形带发展，但随着中间主应力增加，变形带角度减小幅度减少，因此中间主应力增加也会抑制卸载的作用。综上所述，卸载作用会影响变形带发展方向，最终影响到破坏面状态；而中间主应力作用较为复杂，它既会促进变形带向扩容带发展，也会对其发生约束作用。因此，需要在更广的σ2范围内对中间主应力作用进行分析。

图12 不同中间主应力加载和卸载条件下砂岩的α和变形带角度ξFig.12 Variation values α and deformation band angles ξ for sandstone under loading and unloading tests with different intermediate principal stresses

4 结论

(1)随着中间主应力增加，峰值处偏剪切应力增加，而卸载条件下偏剪切应力增幅较小；岩样最大压缩点先增加后趋于平稳，达到最大压缩点后，加载条件下岩样体积应变由膨胀逐渐变为压缩，而卸载条件下均发生膨胀趋势；岩样偏剪切应变发生陡增，卸载条件下陡增提前。

(2)随着中间主应力增加，峰值处岩样应力Lode角增加。卸载条件下应力Lode 角和应变Lode 角均比加载条件下的大，且2 个条件下Lode 角的差值随中间主应力增加而增大。

(3)用等效塑性应变描述内摩擦角随试验进行的变化，考虑非相关流动法则：内摩擦角与剪胀角不相等，从而建立包含三应力不变量的硬化模型。引入模型，结合局部剪切分析，获得变形带角度预测模型，对比角度试验值和预测值，发现变形带角度预测模型预测效果良好。

(4)随着中间主应力增加，变形带角度先减小随后趋于稳定；而卸载作用会减小变形带角度，并随着中间主应力的增加，角度减小幅度下降。以上研究有利于对实际工程中岩石变形带发展进行预测，保证工程安全高效进行。