排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪

夏铁牛，刘 锋，李亚卫

（新疆大学体育教学研究部，新疆 乌鲁木齐 830046）

1 引言

随着智能化信息技术在各个领域的推进，具有关节灵活、活动范围广、操作功能较多的机器人机械臂，被广泛地用于机械制造、冶金、电子、医疗、运动等领域［1］。为了有效提升排球运动员的综合能力，有不少体育训练中心都采用了排球机器人来配合运动员的反应能力训练。排球机器人机械臂相比于普通的机械臂，其运动特点更加灵活和多样化。它通常拥有较多的关节和轴，可以实现更加高难度的动作，如侧移、弯曲、旋转、抓握等。此外，排球机器人机械臂所需的速度和力度也比普通机械臂更高，以适应排球比赛的要求。运动过程中，它经常需要快速地调整姿态和速度，并保持平衡和稳定，在高速的运动状态下实现准确的定位。这些特点使得排球机器人机械臂在支持运动员、进行比赛预测和分析等方面具有广阔的应用前景。

但是由于机械臂属于一个强耦合的非线性动力系统，运行参数较多，在实际应用中机械臂的运动轨迹很容易与实际目标轨迹相偏离［2］。因此为了实现对机械臂的轨迹跟踪控制，国内有相关领域的学者对机械臂运动轨迹展开一系列研究。

文献［3］提出基于光滑二阶滑模的机械臂轨迹跟踪控制方法，基于滑模面设计多变量光滑二阶滑模控制率获取滑膜动态，通过超螺旋算法消除抖振，采用有限时间对加入扰动的机械臂进行收敛分析，实现机械臂轨迹跟踪与控制。但是在实际应用中，对机械臂关节的运动轨迹跟踪的时间花费较多，增加了整体的时间开销，影响了工作效率。文献［4］提出基于RBF-BP算法的工业机械臂轨迹控制与跟踪，针对机械臂各轴的移动空间和旋转角度建立位置移动模型，计算运动轨迹偏差，利用RBF-BP算法选择最优控制轨迹，实现有效跟踪。但是在受到外力干扰后，跟踪到的轨迹曲线波动较大，导致回归稳定跟踪状态的时间较长。文献［5］提出了基于数据驱动的非线性终端滑模控制方法，构建机械臂的动力学模型，通过非线性终端滑模面来加快关节角的收敛速度，抑制抖振效应，实现目标跟踪，最后通过萤火虫寻优算法实现轨迹控制。

但是在对多个节点空间轨迹进行跟踪时，跟踪误差较大，并且不能快速修复跟踪误差，影响机械臂运动轨迹跟踪的有效性。

因此，为了解决上述机械臂运动轨迹跟踪方法存在的不足，提出排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪方法。

2 方法

2.1 排球机器人机械臂动力学分析

通常情况下，由多个不同的连杆或者关节共同组成排球机器人，机器人的机械臂均具有滑动和旋转等特性。在展开研究前期，需要掌握机械臂内连杆之间的位移和速度等参数的变化情况，借助机械臂的关节完成末端执行器的调节工作，最终获取目标位姿。所以，在对排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪的过程中［6-7］，需要更加注重固定参考坐标系的变化情况。排球机器人机械臂结构，如图1所示。

图1 排球机器人机械臂结构Fig.1 Structure of Robot Arm for Volleyball Robot

这种机械臂由平行旋转关节和平行四边形旋转关节，共5个自由度。其中，第1、2个关节可以在水平面上进行较大幅度的调整，第3个关节链可以随意地调整两端的夹紧位置。平行四边形关节可以提高关节的刚度，减少变形，提高运动精度。

在只有三个关节转动的情况下，末端夹具才会进行平行移动。第四个关节在水平面移动，而第五个关节则在垂直方向移动。此机械臂可保证将末端部夹具移动到固定的位置，并可调节需要的角度。在第三个关节上安装了气弹簧，可以实现调整机械臂高度、角度的目的。

气弹簧为自平衡型，并可安装于上、下两支臂连杆之间。第五关节与末端执行器相连接，结合转换关节，方便实现末端对排球的控制。

位移发生变化使得柔性机械臂系统也会发生对应变化，因此需要选择合适的坐标系进行运动参考。分析机械臂第三关节上下支臂运动过程，机械臂第三关节上下支臂运动示意图，如图2所示。

图2 机械臂第三关节上下支臂运动示意图Fig.2 Schematic Diagram of the Movement of the Upper and Lower Support Arms of the Third Joint of the Robotic Arm

通过图2可知，机械臂内第三关节上支臂和下支臂的两个连杆在水平面旋转，T1与T2表示机械臂内连杆逆时针方向转动时产生的力矩；L1与L2表示机械臂内连杆在转动过程中形成的偏转角度。

完成机械臂第三关节上下支臂运动过程分析后，通过D-H法构建排球机器人坐标系，根据拉格朗日能量函数的定义，机械臂内第三关节上支臂和下支臂的两个连杆的能量系数可计算为：

式中：ϒ—柔性机械臂转动过程中产生的能量系数；Ξ—机械臂运行过程中产生的总体动力能量；Ψ—产生的总体势能。

为了更好的捕捉机械臂关节移动的真实轨迹，在确定变化矩阵的条件下得到随机两个相连连杆对应的位姿状态；然后，求解出由一个坐标系到下一个坐标系变换的过程，将各个基座的关节信号有效连接或者组合起来，获取排球机器人的总变换矩阵，构建排球机器人机械臂动力学方程表达式，获取机械臂关节之间的关系，具体过程如下。

建立连杆坐标系，设定相关参数的取值，将参考坐标系作为起始点，优先展开转换操作，依次执行，直至末端执行器完成转换，则停止操作。在坐标系B中，采用（6×6）的位置矢量pB描述空间中随机一点p的坐标位置，则有：

式中：px、py、pz—坐标系B中的坐标分量；T—矩阵的转置。

假设坐标系B和刚体存在连接，对于B的方向余弦，建立规格为6×6解矩阵，刚体C对于B的方位可以表示为式（3）的形式：

式中：Uc—刚度矩阵；xc、yc和zc—单位矢量。

在刚度矩阵中，矩阵是由不同的单位矢量构成的，但是存在几个性质比较特殊的元素，它们是独立存在的，同时还需要满足式（4）所示的正交条件：

为了获取刚体C的空间位姿，需要设定坐标原点，还需要利用旋转矩阵和位置矢量两者确定坐标轴方向。在空间随机点p在不同坐标系内是完全不同的，因此为了保证机械臂运动过程中对坐标系跟踪的准确性，两个坐标系之间的变换包含平移变换和旋转变换，具体变换过程如下。

2.1.1 平移变换

引入变换理论对相邻连杆和空间关系两者共同组建的矩阵D展开变换操作。通过原始坐标系内坐标原点的位置向量加上位移向量获取全新的位置坐标，同时得到如式（5）所示的平移变换矩阵：

式中：D—变换矩阵；(fx，fy，fz)—平移向量在不同坐标系内对应的轴向量。

2.1.2 旋转变换

设定两个坐标系的原点是一致的，但是方位不同，通过旋转矩阵描述矩阵所在的具体方位，刚度矩阵UC和D为n阶正交的矩阵，则|UC|=-|D|，则UC+D可逆。可获得坐标旋转变换矩阵H：

式中：h—关节相关数；α—机械臂参数；di—节点i的偏移距离；ei—节点i的变换角度。

将得到的全部连杆参数引入到变换矩阵内，在得到全部连杆变换矩阵后，将全部矩阵联合，进而获取排球机器人机械臂动力学方程表达式，得到机械臂关节之间的关系，具体如式（7）所示：

式中：δ—非理想约束反力；v—机械臂运动过程位置—机械臂运动速度；—机械臂加速度向量；q—机械臂总坐标列阵；Mi—机械臂加速度递推关系；κ—速度关系；m2—关节轴到连杆的中心距离。

依据两个坐标系之间的平移变换和旋转变换，完成对排球机器人机械臂动力学分析。

2.2 排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪

2.2.1 给定路径关键节点运动学逆解集

完成排球机器人机械臂动力学分析后，在建立排球机器人动力学模型的基础上，为了满足排球机器人机械臂对灵活性和实时性的需求，可通过目标位置求解不同关节的转角，采用牛顿下山法获取给定路径关键点的运动学逆解集，以此来保障机械臂的响应速度得到有效提升。

根据牛顿法的收敛定理可知［8］，牛顿法虽然能够确保方程计算的收敛速度得到明显提高，但是因其具有局部收敛性，当初始值和求解结果两者的之间差异比较明显时，迭代将不再收敛。因此，为减弱牛顿法对初始近似值的限制，需要结合下山法对牛顿法进行改进，减少牛顿法对初值的依赖性，可通过下山因子进行逐步搜索。

设给定路径k中的关键点g的运动学逆解集的函数为s(g)=0，综合应用牛顿法与下山法建立最佳的迭代函数τ(g)，结合给定路径k将其改写为τ(g)=s(gk)。通过牛顿公式，结合牛顿下山思想，提升方程的求解速度，给定路径关键节点的运动学逆解集，如式（8）所示。

式中：β—下山因子；s′—迭代初值；s—发散后得到的迭代值。

结合以上分析，通过牛顿下山法获取给定路径关键点的运动学逆解集，详细的操作步骤如下所示：

（1）确定给定路径关键点g，设定逆解集函数s(g)=0；

（2）综合应用牛顿法与下山法建立最佳的迭代函数τ(g)。

（3）通过式（8）计算给定路径关键点的运动学逆解集gr。

（4）通过牛顿下山法原理，将单一方程的牛顿下山法直接用于求解方程，也就是将问题简化为对线性方程组的求解，进而得到给定路径关键点的运动学逆解集。

2.2.2 基于样条插值函数分段跟踪关节空间轨迹

在获取给定路径关键点的运动学逆解集后，考虑到排球机器人机械臂运动过程中约束条件，引入最短路径算法对关节空间轨迹路径跟踪过程进行求解，确保得到的求解结果可以满足对路径跟踪准确度的要求。

为了得到更精准的轨迹跟踪结果，根据运动学逆解集，基于样条插值函数，通过三次样条插值组建转角函数对路径跟踪进一步优化，进而输出逆解集中的最优解，提高跟踪准确度，实现排球机器人机械臂关节空间轨迹的自适应跟踪［9-10］。因此，这里采用最短路径法对展开求解，设定每一个需要经过的点w为最短路径上的一个节点，而与对应的相邻节点φ之间的差值f为：

为了确保排球机器人机械臂运动的稳定性，在第一章约束条件下，确保跟踪的轨迹曲线是平滑且连续的，因此通过样条插值函数对排球机械臂关节空间运动轨迹展开分段跟踪优化处理，最终达到排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪的目的。

以牛顿下山法获取的逆解集为依据，结合最短路径上相邻节点差值f，构建排球机械臂电机转角的三次样条函数θ，如式（10）所示。

式中：gr—跟踪段中的目标节点r的逆解集；μ—节点原始位置；A—电机转角度数。

在排球机械臂运动期间各个节点跟踪段的小区间E上，通过三次多项式拟合，进而获取多段多节点跟踪中对E进行识别需要满足的约束条件，即需要进行跟踪的多目标节点需要在各个跟踪段的小区间E中，如式（11）所示。

为了确定不同跟踪段区间熵对应差值基函数τi(t)的参数，设排球机器人机械臂在运动初始阶段和末端阶段速度均为0，引入分段三次埃米尔特插值组建样条函数，求解跟踪段样条函数，如式（14）所示。

式中：ψ(t)—样条函数；λ—线性函数；ξ(t)—边界约束条件。

引入三次样条插值组建转角函数σ，获取排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪结果，如式（13）所示：

通过转角函数获取，实现排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪。

3 实验结果与分析

为了验证所提排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪方法的有效性，需要展开实验测试。排球机器人机械臂应用DM542型号步进电机驱动器，通过调节脉冲个数来控制电机旋转角度，并与行星减速器相配合驱动机械臂关节；采用32位DSP，输出电流为（1.0～4.2）A，输入电源电压（20～50）VDC，典型值24VDC/36VDC，控制信号输入电流（7～16）MA，步进脉冲频率200kHZ，绝缘电阻500MΩ。机械臂的臂长为150cm，质量为42kg。机械臂肩关节自抗扰运动周期为20s，相应的幅值为20°；柔性机械臂大臂关节与肘关节自抗扰运动周期为10s，相应的幅值为30°。现场实验图，如图3所示。实验参数，如表1所示。

表1 实验参数Tab.1 Experimental Parameters

图3 实验现场图Fig.3 Experimental Site Diagram

采用Matlab Simulink作为运行平台进行仿真实验。机械臂初始关节角为［π/2，1，-1］，球拍姿态为［-1，0］。结合上述内容，将跟踪耗时、跟踪性能、跟踪误差作为测试指标，展开实验测试。

3.1 跟踪耗时

在排球机器人各个关节约束条件完全一致的情况下，分析各个方法的机械臂关节空间轨迹自适应跟踪耗时情况，不同方法的机械臂关节空间轨迹自适应跟踪耗时测试结果对比，如图4 所示。分析图4可知，光滑二阶滑膜算法在机械臂关节空间轨迹自适应跟踪过程中所花费的时间为（0.8～2.8）之间；RBF-BP算法在机械臂关节空间轨迹自适应跟踪过程中所花费的时间为（0.5～2.5）之间；数据驱动算法在机械臂关节空间轨迹自适应跟踪过程中所花费的时间为（1.0～3.8）之间；而这里所提方法在机械臂关节空间轨迹自适应跟踪过程中所花费的时间明显更低一些，为（0.2～2.0）之间，始终保持不超过2s；说明在相同样本数下，所提方法可以以更快的速度实现机械臂关节空间轨迹的自适应跟踪。

图4 不同方法的机械臂关节空间轨迹自适应跟踪耗时测试结果对比Fig.4 Comparison of Testing Results for Time Consumption of Adaptive Tracking of Joint Space Trajectories of Mechanical Arms Using Different Methods

3.2 跟踪性能

在排球机器人机械臂运动过程中很难避免受到外界因素的影响，导致机械臂关节空间轨迹受到干扰。为了检验这里设计方法在排球机器人机械臂受到干扰情况下的关节空间轨迹跟踪性能，在第30s时施加了一个大小为10N/m的力矩，此时，机械臂会受到外力影响出现偏移；但在干扰力矩消失后，机械臂还会回到原有运动轨迹中。检验四种机械臂运动轨迹跟踪方法回归到稳定跟踪状态的时间。时间越短，说明该方法的多跟踪性能越好，抗干扰能力越强。干扰条件下不同方法的机械臂关节空间轨迹跟踪结果，如图5所示。

图5 干扰条件下不同方法的机械臂关节空间轨迹跟踪结果Fig.5 Joint Space Trajectory Tracking Results of Mechanical Arms Using Different Methods under Interference Conditions

由图5可知，在10N/m的力矩干扰下，四种方法跟踪到的x轴的轨迹曲线均出现了一定变化。在第30s干扰力矩出现时，光滑二阶滑膜算法跟踪到的x轴轨迹曲线偏移至480cm，在第90s回归到稳定跟踪状态，回归用时60s；RBF-BP算法跟踪到的x轴轨迹曲线偏移至350cm，在第60s 回归到稳定跟踪状态，回归用时30s；数据驱动算法跟踪到的x轴轨迹曲线偏移至370cm，在第60s回归到稳定跟踪状态，回归用时30s；而这里提出的方法跟踪到的x轴轨迹曲线偏移至110cm，在第38s回归到稳定跟踪状态，回归用时18s，远低于对比方法。

由此可以说明，这里设计方法在加入力矩干扰的条件下，轨迹曲线偏移较小，回归到稳定跟踪状态的用时较短，跟踪性能较好。

3.3 跟踪误差

在扰动消失后，机械臂回到原始轨迹中，四种不同方法对机械臂关节空间轨迹的跟踪误差进行对比。

选择机械臂上两个不同位置的关节节点进行对比测试，不同方法的机械臂关节空间轨迹自适应跟踪误差，如图6所示。

图6 不同方法的机械臂关节空间轨迹自适应跟踪误差Fig.6 Adaptive Tracking Error of Joint Space Trajectory of Robotic Arms using Different Methods

通过图6可以看出，在扰动消失后，机械臂回到原始轨迹中，四种跟踪方法的误差都出现了一定的波动。

光滑二阶滑膜算法对关节1 和关节2 进行跟踪的误差为（+10～-52）cm，修正时间为（2～2.5）s；RBF-BP算法对关节1和关节2进行跟踪的误差为（+70～-60）cm，修正时间为（2～3）s。

数据驱动算法对关节1和关节2进行跟踪的误差为（+70～-54）cm，修正时间为（3.5～4.5）s；而这里设计的多目标跟踪方法对关节1和关节2进行跟踪的误差为（+15～-25）cm，并且在1s内就可以修正跟踪误差，跟踪误差远低于对比的三种方法，能够实现机械臂关节空间轨迹的自适应跟踪，跟踪效果较好，具有较好的应用效果。

4 结束语

为了更好的辅助排球运动员进行综合训练，解决排球机器人机械臂关节空间轨迹跟踪过程中，跟踪耗时较高、受干扰影响大、跟踪误差大的问题，这里提出一种排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪方法。

（1）构建排球机器人机械臂的动力学模型，通过牛顿下山法求解运动学逆解集，通过样条插值函数对排球机械臂运动轨迹展开分段跟踪，实现机械臂关节空间轨迹自适应跟踪。

（2）通过实验结果证明，这里提出的排球机器人机械臂关节空间轨迹自适应跟踪方法，跟踪耗时始终保持不超过2s，在10N/m的力矩干扰下，仅用时18s即可回归到稳定跟踪状态，对关节1和关节2进行跟踪的误差为（+15～-25）cm，并且在1s内就可以修正跟踪误差。说明这里提出方法的跟踪耗时较短，受干扰后偏移较小并且能很快回归到稳定跟踪状态，对多节点跟踪的误差较小，具有较好的跟踪效果。