几类扩大设计的均匀性模式

田杰中,张诗娴,柏启明,李洪毅

(吉首大学 数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

均匀设计是由我国方开泰教授和王元院士共同提出的一种空间填充设计,它要求试验点均匀地分布在试验区域内,其理论和设计表被广泛应用于国防军事、社会经济等诸多领域,并取得了显著的社会效益和经济效益.偏差作为设计的均匀性度量,已在许多文献中进行讨论,常用的偏差有中心化L2-偏差(CD), 可卷型L2-偏差(WD)和混合偏差(MD). 一个设计经过因子的水平置换后可能具有不同的几何结构和空间填充性质.文献[1]考虑因子的水平置换, 基于CD,建立了平均偏差和字长型模式之间的解析联系,通过遍历所有的水平置换找到最小偏差的设计.文献[2]将这一结果推广到任意水平的对称设计.文献[3]在偏差和最大最小距离准则下讨论部分因析设计的空间填充性质, 并给出了三、四和五水平空间填充设计的构造方法, 理论结果显示因子的水平置换可改进空间填充性质. 文献[4]基于水平置换的思想构造了在WD下非对称均匀设计.

折叠反转是消除因子别名效应的一种有效手段, 折叠反转设计因具有良好的几何对称结构和统计性质,在优良设计的构造中得到广泛应用.文献[5]基于水平置换和折叠反转,利用doubling方法构造二水平Double设计, 并表明若初始设计是一个分辨度为IV的二水平正规部分因析设计,其Double设计的分辨度仍为IV.文献[6]以水平置换作为折叠反转方式提出用tripling方法构造三水平Triple设计,构造了一系列具有最小低阶混杂的三水平因析设计.随后,四水平、五水平、二三混水平及二四混水平扩大设计的结构被文献[7-10]给出,并获得了当初始设计是一个均匀设计时,其对应的扩大设计也是一个均匀设计. 由于扩大设计的试验次数和因子数与初始设计相比,都进行了翻倍,而根据效应稀疏原则, 低阶效应往往比高阶效应更重要,因此有必要考虑扩大设计的投影均匀性.文献[11] 最早提出了均匀性模式的概念, 给出了二水平设计均匀性模式与广义字长型之间的解析关系.文献[12]基于MD定义了任意水平对称设计的均匀性模式和最小投影均匀性准则,并给出均匀性模式的一个下界,该下界作为一个基准用于评价设计的投影均匀性.文献[13]基于CD建立了Triple设计和初始设计的均匀性模式之间的关系.针对四水平、五水平、二三混水平及二四混水平扩大设计的均匀性模式是一个值得研究的问题.

1 基本概念和符号

距离分布Hk1k2(G)通过MacWilliams变换为

(1)

(2)

广义最小低阶混杂(GMA)准则要求序贯最小化向量(R1(G),…,Rs1+s2(G)).

根据Krawtchouk多项式的正交性可得

(3)

(4)

2 非对称设计的均匀性模式

本节将基于WD给出任意水平非对称设计的均匀性模式,并建立其与字长型模式之间的解析联系.

根据平均WD与Hamming距离的关系[4]及Hamming距离与距离分布之间的关系,可获得投影设计Gu的平均WD与距离分布之间的解析联系,

(5)

(6)

(7)

(8)

其中N={(v1,v2):v1=0,…,g1,v2=0,…,g2,(v1,v2)≠(0,0)},g2=g-g1.

证明根据式(3)、(5)和(7),

(9)

3 几类扩大设计的均匀性模式与初始设计的字长型模式之间的关系

(10)

证明结合式(8)和文献[9]中的定理3即可得到定理3.

(11)

证明结合式(8)和文献[10]中的定理3.1即可得到定理4.

(12)

证明结合式(9)和文献[7]中的定理3即可得到定理5.

(13)

证明结合式(9)和文献[15]中的定理4.7即可得到定理6.

定理3～6给出了几类扩大设计的均匀性模式与其初始设计的字长型模式之间的解析联系,这些联系表明扩大设计的均匀性模式可通过其初始设计的字长型模式计算得到.

4 数值例子

本节通过数值例子验证本文的理论结果.

由式(1)可得Rt1t2(G23)值,根据式(2)可获得初始设计G23的字长型模式Rt(G23),具体结果见表1.(注:“-”表示空).

表1 例1的数值结果Tab. 1 Numerical results of Example 1

由式(1)可得Rt1t2(G24),根据式(2)可得初始设计G24的字长型模式Rt(G24),具体结果见表2.

表2 例2的数值结果Tab. 2 Numerical results of Example 2

5 总 结

本文基于WD定义了非对称设计的均匀性模式,建立了非对称设计的均匀性模式与字长型模式之间的解析联系,并分别给出了几类扩大设计的均匀性模式与其初始设计的字长型模式之间的解析联系,即扩大设计的均匀性模式可以通过初始设计的字长型模式计算获得,这将大大减小直接计算扩大设计均匀性模式的复杂程度.