激光在动态大气湍流中的传播特性研究

耿兴宁,刘 政,李武周,许 宏,蔡 军,陈科亦

(1.电磁空间安全全国重点实验室,天津 300308;2.光电对抗测试评估技术重点实验室,河南 洛阳 471003;3.中国人民解放军93046部队,辽宁 沈阳 110000)

1 概 述

大气湍流对在其中传播的光束的直接作用是基于空气密度的不均匀分布而产生的折射率起伏变化。折射率的空间和时间起伏使得波前在传播过程中不能保持一致的相位关系,出现相位变化,对光线产生了扭曲、发散、延迟等效应,进而影响光波信号的传播,造成成像质量、功率密度以及稳定性下降等问题。理论分析建模是研究大气湍流的一种重要手段[1]。

在对光波在大气湍流中传输的仿真中,模拟大气湍流最简便的方法是将真空传播与介质折射率起伏视为两个独立过程分别处理。即在光波传播的路径上划分一定厚度的平行平板,入射光波处于平板的前表面,制造符合大气湍流特性的相位屏,置于平板的后表面,将相位起伏叠加在真空传播的相位之上,如图1所示。

图1 相位屏的作用

图1中(a)为初始波前经过一段湍流Δz后,波前发生了畸变,(b)为初始波前在真空中传播同样的Δz后,再经过相位屏叠加上相位变化后的波前。适当的调整相位屏的结构可使(a)、(b)的出射波前相同。

1.1 湍流相位屏的模型建立方法

产生相位屏的方法主要有基于傅里叶变换的谱反演法[2-8]、泽尼克多项式法[9-11]、分形方法等[12-14],泽尼克多项式方法是以单位圆内连续正交的多项式为基函数进行模拟获得波的相位分布,但其在湍流的高空间频率分量上的模拟有一定的局限性,并且对外尺度效应不能很好地表现出来;分形法是在相位结构函数的基础上逐级插值得到屏上各个点的相位值,但随着插值迭代的次数增加,准确性会降低[15]。

傅里叶变换谱反演法的基本思想是用一个复高斯矩阵对大气湍流的功率谱进行滤波,然后通过逆傅里叶变换得到大气导致的畸变相位,运算速度快,应用相对广泛。但是这种方法的显著缺点是低频和高频空间分量的欠采样。其中高频分量的误差影响较小,可以忽略,但低频分量对应的功率谱几乎都受到影响,因此需对低频分量进行补偿[16]。广泛使用的补偿方法为次谐波法[17]。

以上对于大气湍流的研究大多集中于静态湍流,对于动态湍流以及激光束在动态湍流中传输的研究还相对较少。在此基础上,本文采用傅里叶变换的方法得到大气湍流模型,并通过叠加低频次谐波来改善相位屏的低频特性,之后再模拟激光在动态大气湍流中的传输,研究不同湍流强度下光斑的畸变以及接收到的激光功率波动。

1.2 大气湍流光学统计性质

大气湍流产生的折射率空间随机分布可用一个随机场表示。随机场空间统计特性一般用结构函数表示。即:

Dn(r,r′)=〈[n(r)-n(r′)]2〉

(1)

式中,r、r′为空间两点的矢量坐标;n为空间的折射率分布函数。

公式(1)表示湍流的结构函数是空间中各点的折射率方差。也就是说,结构函数表示了空间中各点的相关性。

在大多数情况下的湍流可作为Kolmogorov湍流看待。该理论认为存在大气湍流的内尺度l0和外尺度L0,在这个区域之间的湍流是各向同性的,即:

Dn(r,r′)=Dn(|r-r′|)

(2)

公式(2)的意思是在Kolmogorov尺度内,大气中任意两个距离相同的点之间的结构函数值是相同的。则结构函数Dn(r,r′)可以简化为一个固定的原点与矢量r之间的关系Dn(r),如图2所示。

图2 光传播截面湍流尺度

图2中Z轴表示光波传播方向,X-Y平面为垂直于传播方向的一个截面,在此截面中,以半径为|r|的同心圆上各点与0点之间的结构函数都可以用Dn(r)表示,根据Kolmogorov理论,在该区间内的结构函数满足2/3幂律,它的折射率结构函数可写为:

(3)

+2.7×10-16exp(-h/1500)+Aexp(-h/100)

式中,h单位为m;A通常设为1.7×10-14m-2/5;v取为21 m/s,称为HV-21模型。

湍流折射率起伏的三维谱密度为:

(4)

2 湍流相位屏的生成

本文采用傅里叶变换谱反演法生成大气相位屏。即利用湍流空间谱模型产生相空间随机场并进行傅里叶变换获得二维相位的空间分布。

2.1 用谱反演法产生静态相位屏

首先按照上节的介绍,确定相位的频谱函数Φn(K)。据此构造出一个二维复随机场:

(5)

(6)

将(5)式作傅里叶变换可获得一个二维随机相位场:

(7)

(7)式即为在二维平面上的相位屏。

在构造中要注意一些参数的范围,如相位屏所代表的平板厚度Δz范围应有:

(8)

只有相位屏的间距满足公式(8)式,才能保证建立的相位屏各自独立,并且使得在其间的光传播满足几何光学近似,这有这样才能在公式(6)中用平板厚度代表对厚度的积分。

将一个要放置相位屏的空间平面分割为网格,设每一格宽度Δx,每边共有N格,从采样定理可知,最低和最高采样频率必须满足:

(9)

为简便起见,可用2π/(NΔx)和π/Δx分别作为Kmin和Kmax,而波数间隔ΔK设为Kmin。这样可将公式(7)用离散化的形式写出:

exp[-2πi(mp+nq)/N]

(10)

其中,

(11)

2.2 相位屏的低频校正

通过傅里叶变换谱反演法生成相位屏相较于其他方法更加便捷,但其空间频率的最小和最大值分别是fmin=1/L,fmax=1/2Δx,因此相位屏没有[-Δfx/2,Δfx/2]、[-Δfy/2,Δfy/2]这个频段内的分量相应的功率谱[20],使得对相位屏模拟的准确性降低。因此我们需要对相位屏在低频功率谱上进行补偿。

本文采用次谐波法对大气湍流相位屏进行低频校正,它的主要方法是在低频区域使用较小的采样间隔,以实现更为精确的功率谱近似,其表达式为:

(12)

式中,p次谐波级数;f(m′,n′)这谐波函数。

(13)

将式(13)与式(10)合并,就构成了总的相位屏相位分布,从而实现了低频的相位补偿。

2.3 相位屏结果验证

对于计算得到的相位屏的可信度,可用大气湍流的相位结构函数来验证,它是对二阶相位统计特性的描述。

对于Kolmogorov谱,相位结构函数为:

(14)

式中,r0为大气相干长度,相干长度的定义为:

(15)

式中,k=2π/λ;R为路径长度;θz为天顶角。

2.4 动态相位屏的生成

现实中的大气湍流是在持续变化的,折射率在时间上和空间上的分布都是随机的,因此模拟大气湍流时需要在静态分布的基础上加入湍流随时间的变化。目前对于动态相位屏的构造主要有两种方法,一种方法是样条插值法,它的基本原理是根据傅里叶变换的平移特性,在构造相位屏时直接将时间变化的特征加进去;另一种方法是湍流冻结法,它是基于Taylor冻结假设,认为在较短的时间内,湍流在不改变折射率分布的情况下运动,整个相位屏在观察孔径内刚性移动,而大气的内部运动可以被忽略,因此这种方法需要构造很大的相位屏,再随时间平移截取一系列相位屏。

本文采用湍流冻结法实现动态湍流仿真。所考虑的波前相位可表示为S(r,t),其中t表示时间。考虑到风速对相位屏的漂移作用,引入风速v,在Taylor假设下,时间间隔τ内:

S(r,t+τ)=S(r-vτ,t)

(16)

则结构函数可以表示为:

Dn(vτ)=〈[S(r,t)-S(r-vτ,t)]2〉

(17)

表征湍流时间特性的一个参数是Greenwood频率,它是与风速、大气相干长度有关的物理量,简化后的计算式为[21-22]:

(18)

3 相位屏仿真结果

3.1 静态湍流相位屏仿真

按照上述的计算方法,设大气湍流内尺度2 cm,外尺度50 m,相位屏尺寸0.4×0.4 m,分为100×100的网格,按照式(12)计算,在大气路径以45°仰角传播1 km,激光波长1.064 μm时按照HV模型构造了强湍流相位屏,这是一个二维复数场,此时r0=0.03 m。叠加和未叠加次级谐波补偿的相位屏分别如图3(a),(b)所示。

图3 谱反演法生成的相位屏

图3中图(b)为叠加了3级次谐波补偿的相位屏,相较于未叠加次谐波补偿的相位屏图3(a),图像更为平滑,表明其低频成分能较好地显示出来。

图4为低频补偿前后的相位结构函数与理论值的对比,可以更好地看出,未叠加次谐波时的相位结构函数与理论值的误差随着距离的增加而逐渐增大,说明其存在着低频成分的缺失,而补偿后的相位结构函数则与理论值的符合较好,低频分量得到改善。次谐波的级数更高会使得结构函数符合更好,但计算量也会相应增大,因此叠加的次谐波级数不宜过高。

图4 r0=0.03 m的相位屏结构函数

3.2 动态湍流相位屏仿真

动态相位屏在10～20 ms的时间尺度内满足Taylor冻结假设,并且风速需要满足v=0.314r0/τ0,其中τ0为大气相干时间,只有在τ0内的大气湍流满足Kolmogorov统计特性[23-24]。由此,设置每秒能接收到500张图像,此时的风速约为0.47 m/s。

按照S型方式旋转选取相位屏,子相位屏尺寸为0.08×0.08m,记录下连续变化的子屏图像即可得到动态相位屏。其中的连续8帧相位屏如图5所示。

图5 连续变化动态相位屏

由图5可以看出,连续变化的相位屏之间可以较为平缓地变化,具有一定的相关性。

3.3 激光在动态湍流相位屏中的传播

设置光束为基模高斯光束,首先根据激光传输模型计算其通过相位屏前的光强分布,设1064 nm激光发射口径100 mm,功率100 W,发散角0.05 mrad,在没有大气湍流干扰的情况下,在3 km处的接收平面上产生的光斑如图6所示。

图6 无湍流扰动时的光强分布

光斑分别经过动态弱湍流、中湍流和强湍流后的连续8帧能量分布分别如图7～图9所示。

图7 弱湍流下的动态光斑功率分布变化

图8 中湍流下的动态光斑功率分布变化

图9 强湍流下的动态光斑功率分布变化

可以看出,随着大气湍流强度的增加,激光传输经过后更加分散,其畸变和抖动也更加严重。弱湍流时光斑基本没有变化,中湍流时光斑出现一定程度的畸变,而在强湍流时的光斑畸变最大,已经没有了本来的形状。

为了更好地描述不同强度的湍流对激光束传播的影响,本文计算了在连续400帧中的相同激光经过不同强度的湍流后落在接收面内的功率波动,如图10所示。可以看出,弱湍流中的激光功率起伏较小,基本稳定在98 W左右;中湍流的激光功率有一定的起伏,大部分在94～97 W范围内波动;强湍流中的激光起伏较大,在20～80 W的范围内均有分布,功率起伏的方差分别为0.016、0.594、332.517。同时在整体上,接收到的激光功率随着湍流强度的增加而减小,说明高强度的湍流对激光的衰减更大,造成的功率发散效应更严重。

图10 接收面内的激光功率

4 总 结

本文基于傅里叶变换的谱反演法建立了静态大气湍流模型并利用次谐波方法进行低频校正,在此基础上通过湍流冻结法建立了动态大气湍流模型,模拟实际情况下的大气湍流变化。模拟了激光在不同强度的动态大气湍流中的传输,仿真了激光通过湍流后的光斑分布情况,并计算了接收面内的激光功率。计算结果表明:功率为100 W,发散角0.05 mrad的1064 nm激光束,在相同的作用时间内经过不同湍流强度的大气湍流相位屏,湍流越强,激光受到的影响就越明显,光束质量就越差,并且接收到的功率降低,起伏增加;弱湍流时光斑基本无变化,接收到的功率稳定在98 W左右;中湍流的光斑有一定程度的畸变,功率在94～97 W范围内波动;强湍流的光斑畸变最大,功率在20～80 W的范围内波动。综上,本文对研究动态大气湍流建模仿真,以及激光在真实情况下的大气湍流中的传输提供了一定的参考作用。