谈初中数学探究规律型问题及解题策略

谢绍焕

(福建省宁德市蕉城区蕉城中学,福建 宁德 352100)

探究规律型问题是历年中考必考知识点,这类问题通常也被称为归纳猜想型问题.或是给出一组图形操作变化过程,或是给出某一类问题情境,或是给出一组有着某种特定关系的数,要求学生观察、分析、推理,找出其中蕴含的规律,在此基础上猜想、归纳出一般性结论,这类问题对于学生思维能力的培养有积极影响.笔者以历年中考试题为例,简要阐述初中数学探究规律型问题及解题策略.

1 探究规律型问题的分类

1.1 根据问题的结构特征分类

1.1.1循环型问题

这类问题中各项在排列上有一定的规律性,呈现周期性循环.

例1 观察算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2 187,38=6 561,…确定32 011个位数字是____.

1.1.2非循环型问题

这类问题中的已知各项不会呈现周期性循环,但它们有共同特征,遵循同一个表达式所反映的基本规律.

例2 数列2,4,8,16,…则第90项是____.

1.2 根据问题的表现形式分类

1.2.1数列、代数式型问题

这类问题具体可分为数列型问题和代数式型问题.数列型问题中的已知条件是一串数字,例1和例2就是此类型问题;代数式型问题中的已知条件是一组代数式、等式或者不等式.

例3 观察算式:

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

……

第n个式子表示为____.

1.2.2纯图形型问题

此类问题通常是把一系列图形按一定方法编排,要求通过观察、比较、分析、思考,探究它们在形状或位置上的排列顺序和变化规律.

例4 一串图案按如图所示规律排列,第2 013个图案是____.

1.2.3数列、代数式与图形结合型问题

此类问题也以图形形式出现,但不止要求探究图形形状或位置上的变化规律,更要求探究数量上的变化规律.图形中蕴含着数量关系,图形只是外在的载体,实质与核心是数与式,它体现了数形结合的思想,也是近年来热点题型之一[1].

例5 如图1所示,n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,…,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则Sn=____(用含n的式子表示).

图1 n+1个等边三角形排列顺序

1.2.4动手操作型问题

这类问题中详细描述了操作过程或操作方法,用以指导操作或空间想象,探究每一步呈现的规律.

例6 将相对面上的点数分别为1与6、2与5、3与4正方体骰子,按图①放置于水平桌面上,再将骰子按图②先向右翻滚(如图2所示),然后按逆时针方向旋转90°,视为一次变换.连续进行20次变换之后,则朝上一面的点数是____.

图2 正方形骰子翻滚顺序

2 探究规律型问题的解题策略

解答这类问题时,应依据问题给出的特殊例子或条件,通过观察、操作、类比、归纳等方法,探寻相关问题的规律与特征.

2.1 循环型和非循环型问题的解题策略

2.1.1循环型问题的解题策略

解决这类问题的关键是根据题目中的已知条件分析图形或数据的循环周期,再确定所求的项与循环周期中第几个一致.

如解答例1时,通过观察分析31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,可得出个位数字3,9,7,1,并依次循环.再求2011÷4的余数为3,得出32011的个位数字与33的个位数字相同,都是7.

2.1.2非循环型问题的解题策略

这类问题中的已知项遵循共同的表达式.解题时应侧重对已知项进行比较分析,寻找共同的规律,再列出表达式.

2.2 数列、代数式型,纯图形型,数列、代数式与图形结合型和动手操作型问题的解题策略

2.2.1数列、代数式型问题的解题策略

解决这类问题时,先写出数或式的基本结构,再通过比较各数或式中相同部分和不同部分,找出各部分特征.若是循环型问题,就按循环型解题策略进行解答;若是非循环型问题,首先要观察题中已知项的结构,若能把它们都直接与序号建立联系,就可以直接写出表达式.如解答例2时,通过观察2,4,8,16,直接得到第n项的表达式2n,则第90项是290.又如解答例3时,可以看出每个式子所表示的意义是:一个数与比它大2的数相乘的积减去它们平均数的平方,所得的差都等于-1.把它与序号对应起来,第n个式子为n(n+2)-(n+1)2=-1.

若已知项比较复杂,无法直接得到表达式.解题时首先要对已知项进行不断的改写,一直到分离出各项都含有不变的部分和变化的部分,且变化的部分与序号有直接联系.即把复杂的项,通过改写进行转化,变为简单的容易解答的几个小部分.

例7 观察数列5,11,19,29,…则第n项可以表示为____.

数列各项之间既不是等比关系,也不是等差关系.由观察直接得到表达式有困难,需要对各项进行拆分.由分析可知,改写时可考虑从各项中分离出一个等差或等比数列.由于初中探究规律型问题的表达式多为一次函数和二次函数,从而可考虑从各项中分离平方项,即1,4,9,16.把原题改写为1+4,4+7,9+10,16+13,再分析4,7,10,13,将二者组合起来,就得第n项的表达式n2+3n+1.

由于此类问题的表达式在初中以一次函数和二次函数居多.若不能对题中已知项进行顺利改写,可以对它们进行整体观察.当认为是一次函数关系时,先依据其中两项的值,用待定系数法求出表达式,再把所有剩余项的值分别代入表达式进行验证,看是否都适合于所求表达式.若有一项不适合,则说明判断错误.再求其二次函数表达式,若都不适合,只能回归到改写的方法上[2].

2.2.2纯图形型问题的解题策略

此类问题能提高学生读图能力,培养学生对图形细节变化的观察分析能力.解答时,应注重分析相邻图形之间的联系与区别,结合整体,找出内在变化或排列规律.此类问题多为循环型.

2.2.3数列、代数式与图形结合型问题的解题策略

解决这类问题时,可以先求出每一个图形所对应的值,将其转化为数列型问题,然后再按数列型问题进行探究.当求得的数列比较简单时,这种方法很有效.当数列比较复杂时,以上方法就不一定有效.此时,需要对图形进行观察、分析、思考,把图形拆分成几个小部分,再对每个小部分的变化规律进行探究.最后把各小部分的规律组合,形成整体的规律.

例8 如图3所示,把大小相等的小方块按下图所示方法堆放,第n个图形有____块小方块.

图3 相等小方块的堆放规律

解法1 把图形自上而下一层一层地拆分,得到一组式子:①1;②1+5;③1+5+9;…这是求等差数列各项之和.这对初中生而言,具有一定的难度.

2.2.4动手操作型问题的解题策略

解决这类问题时,首先要认真阅读理解题中对操作要求的描述,切不可在一知半解的状态下就开始操作、想象,以免出现错误的操作,得出错误结果,白费力气.其次,操作过程一定要认真,不可麻痹大意,避免出现操作失误.在操作正确的情况下,要记录好每一步结果,以便对整体规律的探究.

例如,解答例6时,在读题、读图时要弄清骰子相对面上点数分别是1点与6点,2点与5点,3点与4点.图①是初始状态.每一次变换如图②所示,分为两个步骤:第一步,向右翻滚90° ;第二步,在桌面上按逆时针方向旋转90°.对于无法进行实物操作且凭空想象能力较弱的学生,可建议他们在草稿纸上画出连续的若干次变换,如图2所示.从第一次开始,记录下后续几次变换后朝上的点数依次是:5,6,3,5,6,….可得这是按5,6,3为一周期的循环型问题,则第20次变换后朝上的点数是6点.

3 结束语

探究规律型问题的取材十分广泛,形式也灵活多样.近年中考中还出现了与定义新运算、阅读理解等问题相结合的探究规律型问题.这类问题有助于发展学生的数学思维,提高学生解决问题的能力.解决这类问题时,要综合运用所学知识,多角度探究问题的求解方法.