利用对角线证明中点四边形的特殊性

陈礼弦

(贵州省贵安新区普贡中学,贵州 贵阳 561113)

任意画一个四边形,以这个四边形各边的中点为顶点可以组成一个新的四边形,这个新的四边形叫做中点四边形[1].中点四边形有何特殊性,教师又如何去引导学生证明呢?教学实践发现,这是一个数学模型,利用已知四边形的对角线证明中点四边形的性质,会达到事半功倍的效果.

1 基本模型

模型1 已知四边形的对角线既不相等也不垂直,中点四边形是平行四边形

如图1,已知四边形ABCD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,问四边形EFGH是什么四边形?说明理由.

图1 模型1图

模型分析:由三角形中位线的性质,易知四边形EFGH是平行四边形.理由如下:

因为点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,由三角形中位线的性质可得EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EFGH是平行四边形.

模型2 已知四边形的对角线相等,但不垂直,中点四边形是菱形

如图2,已知四边形ABCD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,AC=BD,问四边形EFGH是什么四边形?说明理由.

模型分析:四边形EFGH是菱形.理由如下:

因为点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,所以EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,EF∥AC,AC=2EF,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EFGH是平行四边形.又AC=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH是菱形.

模型3 已知四边形的对角线垂直,但是不相等,中点四边形是矩形

如图3,已知四边形ABCD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,AC⊥BD,问四边形EFGH是什么四边形?说明理由.

图3 模型3图

模型分析:四边形EFGH是矩形.理由如下:

因为点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,所以EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,EF∥AC,AC=2EF,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EFGH是平行四边形,又因为AC⊥BD,所以∠AJD=90°,所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°,所以四边形EFGH是矩形.

模型4 已知四边形的对角线既相等又垂直,中点四边形是正方形

如图4,已知四边形ABCD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,AC=BD,AC⊥BD,问四边形EFGH是什么四边形?说明理由.

图4 模型4图

模型分析:四边形EFGH是正方形.理由如下:

因为点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,所以EH∥BD,BD=2EH,FG∥BD,BD=2FG,EF∥AC,AC=2EF,所以EH∥FG,EH=FG,所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AC⊥BD,所以∠AJD=90°,所以∠EFG=∠EID=∠AJD=90°,所以四边形EFGH是矩形.又因为AC=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH是菱形,所以四边形EFGH是正方形.

2 应用例举

例1 如图5,四边形MNOP中,I,J,K,L分别是MN,NO,OP,PM的中点,若四边形IJKL是菱形,那么四边形MNOP的对角线满足什么条件?

图5 例1题图

解析根据模型1,易知四边形IJKL是平行四边形.又因为若四边形IJKL是菱形,根据模型2,易知四边形MNOP的对角线相等,所以若四边形IJKL是菱形,所以四边形MNOP的对角线满足的条件是MO=PN.

例2 如图6,四边形DEFG是菱形,点H,I,J,K分别是边DE,EF,FG,GD的中点,请问四边形HIJK是什么图形?

图6 例2题图

解析因为四边形DEFG是菱形,所以四边形DEFG对角线互相垂直.根据模型3,易知四边形DEFG是矩形.

例3 如图7,在四边形BCDE中,F、J、H、I分别是各边的中点,则四边形FJHI是( ).

图7 例3题图

A. 正方形 B.矩形

C.菱形 D.平行四边形

解析因为在四边形BCDE中,F、J、H、I分别是各边的中点,根据模型1,易知四边形FJHI是平行四边形,故选D.

例4 如图8,点G、H、I、J分别是四边形CDEF的边CD、DE、EF、FC的中点,若四边形GHIJ是矩形,则四边形CDEF的对角线CE和DF有何关系?

图8 例4题图

解析因为点G、H、I、J分别是四边形CDEF的边CD、DE、EF、FC的中点,四边形GHIJ是矩形,根据模型3,易知四边形CDEF的对角线CE和DF互相垂直,即CE⊥DF.

例5 如图9,四边形EFGH四条边上的中点分别为I、J、K、M,顺次连接点I、J,K、M,得到四边形IJKM.

图9 例5题图

(1)四边形IJKM的形状是________.当四边形EFGH的对角线满足____(填入位置关系或数量关系)时,四边形IJKM是矩形.

(2)当EG=FH时,四边形IJKM的形状是____.

(3)若EG⊥FH且EG=FH,求证:四边形IJKM为正方形.

解析(1)因为四边形EFGH四条边上的中点分别为I、J、K、M,根据模型1,易知四边形IJKM是平行四边形.根据模型3,易知四边形EFGH的对角线满足EG⊥FH.故四边形IJKM是平行四边形,EG⊥FH.

(2)因为四边形EFGH对角线EG=FH,根据模型2,易知四边形IJKM是菱形.

(3)证明:因为四边形EFGH对角线EG⊥FH.根据模型3,四边形IJKM是矩形,又因为四边形EFGH对角线EG=FH,根据模型2,四边形IJKM菱形.综上所述,四边形IJKM是正方形.

3 结束语

综上所述,不论已知四边形是什么四边形,其中点四边形的形状只与已知四边形的两条对角线有关.当已知四边形的两条对角线既不相等也不垂直时,顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是平行四边形;当已知四边形的两条对角线相等,但是不垂直时,顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是菱形;当已知四边形的两条对角线垂直,但是不相等时,顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是矩形;当已知四边形的两条对角线既相等又垂直时,顺次连接已知四边形各边的中点得到的中点四边形是正方形[2].中点四边形的这些特殊性在解题中有着广泛的应用.