立体几何中动点轨迹常见问题及解题策略

郝以静

【摘要】动点轨迹是一个重要的主题.它涉及许多几何概念，如点、线、面、平行和垂直等.解决动点轨迹问题需要深入理解这些概念，并能够熟练运用各种解题策略.以下是立体几何中动点轨迹的常见问题和相应的解题策略.

【关键词】立体几何；动点轨迹；高中数学

立体几何中的动点轨迹问题是一类较为复杂的题目，是对学生计算能力、空间思维等核心素养的综合考查，因而常常出现在高考试题中.为帮助学生建立相关问题的解题思路，本文结合实际问题，对常见轨迹问题进行分类辨析，以提高学生的解题效率.

1  由动点保持定距（或等距）求轨迹

在这类题型中，通常为空间中一动点，距离两直线或是面距离相等.此时学生可以通过建立空间坐标系，确定各点的坐标，而后根据等量关系结合点到线、面的距离公式进行列式，便可得到动点的轨迹方程.

例1  正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为底面ABCD内一动点，若P到棱AB，A1D1距离相等，其轨迹为（  ）

（A）圆.      （B）椭圆.

（C）直线.  （D）双曲线.

图1

解析  如图1，过P做PE⊥AB于点E，

过P做PF⊥AD于点F，

过F做FG∥AA1交A1D1于点G，连接PG；

可知PE=PG，

以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设P（x，y，0），由PE=PG，

可得|1－x|=y2+12，即（x－1）2－y2=1，

故点P的轨迹为双曲线，答案为（D）.

点评  解答本题的重点在根据P是到棱AB，A1D1的距离相等的点这一信息，建立空间坐标系，而后用两点间距离公式进行列式整理，进而便可得到动点轨迹方程（x－1）2－y2=1.

2  由动点保持垂直性求轨迹

在动点P与一定点A形成的直线AP与某直线l保持垂直，求动点P軌迹的问题中，学生可以将线线垂直问题，转化为线面垂直进行解题，即过点A做平面α，使l⊥α，α与动点P所在面的交线即为其轨迹.另外，学生也可以借助法向量垂直进行分析动点轨迹问题，即通过坐标系，得到AP，而后由AP·a=0（a为直线l的方向向量），得到其运动轨迹.

例2  正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，且始终保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（   ）.

解析  以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，

图2

设正方体棱长为1，

则A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），P（x，1，z），

则AP=x-1，1，z，

BD1=（-1，-1，1），

因为AP⊥BD1，

所以AP·BD1=0，

即1－x－1+z=0，

解得x=z.

在空间中，x=z表示平面A1DCB1，又点P在侧面BCC1B1内，显然平面A1DCB1与侧面BCC1B1的交线为线段B1C，故点P的轨迹为线段B1C.

点评  在本题中，点P在侧面BCC1B1上运动过程中始终保持AP⊥BD1，因为几何图形是正方体，建立空间直角坐标系较为简单.而后确定各点坐标，依托AP⊥BD1，得到AP·BD1=0，进而求出P点的轨迹.

3  翻折与动点求轨迹

在翻折问题中，学生一定要掌握几何图象翻折前后的特点，如折线同侧的量，翻折前后不会发生变化；跨线的量则会发生改变等.在实际解题中，学生可以借助空间坐标系进行解答问题.

例3  如图3，矩形ABCD中，AB=1，AE=2，将△ABE沿BE翻折，使点A，S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内，则动点S的轨迹长度（  ）

（A）3π18.  （B）6π18.

（C）3π9.  （D）6π9.

解析  如图4（1），作AM⊥BE于点M，交BC于点G，

则S在面BCDE的射影N在线段MG上.

在Rt△ABE中，AB=1，AE=2，

则BE=3，

可得AM=63，

翻折中，SM=63，则S轨迹为以点M为圆心，63为半径的圆弧，

可得BM=33，EM=233，

△AME∽△GMB，

则MGMA=MBME=12，

则MG=66

如图4（2），在圆M中，S0M⊥AG，S1G⊥AG，

所以点S的轨迹为弧S0S1，

且cos∠S1MG=MGMS1=12，

则∠S1MG=π3，∠S1MS0=π6，

从而可得点S的轨迹长度为π6·63=6π18.

答案为（B）

点评  在解答本题中，首先过点A做AM⊥BE于点M，交BC于点G，同时，在翻折过程中，其垂直关系不发生改变，逐步得到平面SMG⊥平面BCDE，从而确定点S在平面BCDE上的射影位置.在此基础之上，根据翻折特点，确定动点S的轨迹，进而求出圆心角，并求出弧长.

4结语

综上所述，本文总结了立体几何常见的三种动点轨迹题型，并介绍了相应解题思路.在日常学习中，学生应积极练习，以保证在考试中能够快速解答相关问题.

参考文献：

［1］刘海涛，谢贝贝.谈立体几何中动点轨迹问题［J］.中学生理科应试，2022（10）：13-15.

［2］宋宜东.立体几何中动点轨迹问题的解题方法分析［J］.高中数理化，2015（23）：13.

［3］武增明.立体几何中动点轨迹的长度问题［J］.中学数学研究（华南师范大学），2018（05）：32-34.