修正相场晶体(MPFC)模型的二阶无条件能量稳定数值格式

郝婉蓉,贾宏恩

(太原理工大学数学学院,山西 晋中 030600)

1.引言

结晶是相变的一个典型例子,在此过程中,溶质从液态溶液转变为固态结晶相.为了研究晶体生长过程,人们建立了大量的数学模型来描述这一过程.比如: 经典相场晶体(PFC)模型[1-2],修正相场晶(MPFC)模型[3-4],带强非线性空位势的修正相场晶体(VMPFC)模型[5]和方形相场晶体(SPFC)模型等.PFC模型可以描述扩散时间尺度上原子晶体生长的动力学,相比于PFC模型,MPFC模型在这一基础上纳入了弹性相互作用.

不变能量二次化(IEQ)方法是在文[11-16]中提出的,并在文[17]中应用.在文[18-20] 中,作者开发了标量辅助变量(SAV)法,由此方法,参考文[21-23]提出了无条件能量稳定的线性数值格式.针对MPFC模型,文[8-9]提出了二阶能量稳定的凸分裂格式,文[6]提出了一种能量稳定且收敛的有限元格式,文[7]提出了3种无条件能量稳定的IEQ格式,文[10]发展了一阶和二阶的能量稳定格式,采用自适应时间步进策略.

2.模型介绍

数学模型MPFC的自由能为:

3.半离散格式

同时,MPFC模型(2.2)重写为:

模型具有周期边界条件和初始条件

其中H∗=H(ϕ∗),ϕ∗=2ϕn-ϕn-1.

数值解ϕ1,ψ1,Q1可以通过以下的一阶(BDF1)格式解出:

其中H0=H(ϕ0).

最近几年，在公路桥梁工程建筑设计过程中越来越注意考量预应力技术的使用。在桥梁施工过程中，预应力技术可以减轻桥梁主体材料的荷载，因此，在一定程度上降低桥梁发生裂变的风险，提高防渗透能力。因此，预应力技术在桥梁施工过程中有重要的存在意义，合理使用有利于桥梁工程建筑的整体质量提升，可以有效促进交通安全，提高桥梁工程质量。本文立足于预应力技术在桥梁工程中的具体使用情况，以期为我国桥梁工程的发展提供有效理论支持。

这意味着格式是质量守恒的.

定理3.1格式(3.7)-(3.10)是唯一可解的,无条件能量稳定的,并满足以下的能量耗散定律:

其中,对于任何整数n ≥0,离散能量En+1(ϕn+1,un+1)定义为:

证我们首先证明唯一可解性,将(3.10)重写为

将(3.18)代入(3.8),得到

结合(3.7)和(3.19),得到

定义一个线性算子L-1使得对任意的ψ ∈L2(Ω),ϕ=L-1(ψ)由L(ϕ)=ψ所定义.在(3.20)的左右两边作用算子L-1,得到

(3.21)与H∗作L2内积,得到

接着由从(3.9)可以计算得到ψn+1.

通过使用分部积分公式和(3.9),得到等式的左边等于

使用分部积分公式和(3.10),得到等式的右边等于

以上,我们利用了公式

结合(3.25)-(3.27),导出

显然,这意味着(3.16)式成立.

4.全离散格式

网格函数空间Sh={u|u={uij|(xi,xj)∈Ωh}},半离散解un(x,y) 可以被近似为

5.数值算例

本节进行数值模拟,验证格式的准确性和能量稳定性,我们利用高精度傅里叶谱方法,当然,也可以利用有限元和有限差分等方法.

Ⅰ精确度测试 首先,测试时间收敛阶,我们使用1282傅里叶方法来离散二维计算域Ω=∫[0,128]2,使得空间离散产生的误差可以被忽略.取B=1e+10以确保对于任意的ε有ΩF(ϕ)dx+B是正数.设置参数

表5.1 ϕ的时间收敛阶数值结果

Ⅱ能量稳定性测试 我们设置二维计算域Ω=[0,128]2,参数设置为ε=0.9,α=0.01,β=1,M=1,T=500.我们使用初始条件

其中rand(x,y)是[-1,1]范围内的随机数.我们使用1282傅里叶方法来进行空间离散.在图5.1中,绘制了原始能量(2.6)在不同时间步长下的演化曲线.由图可以看出,能量是随时间耗散的.

图5.1 能量曲线

Ⅲ二维相分离模拟 我们在二维区域Ω=[0,32]2上模拟MPFC模型的相分离,设置δt=0.01,使用初值条件:

图5.2 t=10

图5.3 t=50

图5.4 t=500

图5.5 t=1000

Ⅳ晶体生长 我们在二维区域上模拟MPFC模型的晶体生长,设置二维区域Ω=[0,800]2,使用5122傅里叶方法离散二维区域,终止时间T=2000.设置ϕ(x,0)=是一个常数,然后通过设置三个小晶格改变的值.定义每个小晶格为

通过使用全局坐标(x,y)的仿射变换来定义笛卡尔坐标的局部系统(xl,yl)

这样会产生一个旋转角度θ=-π/4,0,π/4.设置其他参数

图5.6-5.9分别给出了t=0,t=300,t=500,t=2000的晶体生长时刻图.

图5.6 t=0

图5.7 t=300

图5.8 t=500

图5.9 t=2000

6.结论

本文针对MPFC模型,通过标量辅助变量(SAV)方法提出了一种线性,无条件能量稳定的数值格式,证明了该格式的质量守恒,唯一可解和无条件能量稳定性质,再利用谱方法进行空间离散,通过数值算例验证了其精度和稳定性.