垂径
- 张卫明：专题复习 图形的认识
直，故D错误；由垂径定理可得C正确。故选C。【点评】本题考查垂径定理的运用，需要借助圆的轴对称性才能真正理解垂径定理。对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个条件。二、圆中位置关系分类不清例2 已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）。A.[25] B.[45]C.[25
初中生世界·九年级 2023年5期2023-06-14
- 寻根求源 变式探究
论。【解析】构造垂径定理基本图形。如图4，连接OD，过点O作OH⊥AF于点H，易证四边形ODEH为矩形，所以OD=EH。∵OH⊥AF，∴HF=[12]AF。∴OD=EH=EF+HF=EF+[12]AF，∴2OD=2EF+AF，即AB=2EF+AF。【点评】本题是2017年盐城市中考题第25题的第（3）小题。我们利用垂径定理也能解决长度的计算问题。（作者单位：江苏省盐城市康居路初级中学）
初中生世界·九年级 2023年5期2023-06-14
- 追根溯源探本质 思维提升辨易混
，故D 错误；由垂径定理可得C正确。故选C。【点评】本题考查垂径定理的运用，需要借助圆的轴对称性才能真正理解垂径定理。对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个条件。二、圆中位置关系分类不清例2已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）。【解析】连接OA。∵AB⊥CD，∴A
初中生世界 2023年19期2023-05-25
- 操作活动背景下一道圆的作图题的拓展
OM过圆心，根据垂径定理，得（2）作法一：连接OA，取格点C，连接MC并延长，交⊙O于点M＇，交AB于点P，则点P即为所求，见图5。图5证明：可证OA⊥MM＇，∴∴∠AMP=∠ABM。又∠MAP=∠BAM，∴△APM∽△AMB。∴AM2=AP·AB。作法二：取格点C、D，连接CD交AB于P，则点P即为所求，见图6。图6总结本题用到的知识较为广泛，有全等三角形、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等，是一道以操作活动为背景的综合题。除这道题外，各地2
初中生世界 2023年19期2023-05-25
- 唤醒结构意识 探寻生长路径*
——以圆“垂径定理”的结构化教学设计为例
下面以“圆”中“垂径定理”的内容为素材进行结构化教学设计和分析.1 垂径定理的结构化特征分析垂径定理是圆的重要性质，是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为与圆有关的其他计算、证明、作图等提供重要的方法和依据.垂径定理的结构化特征主要体现在两个方面，即外联模块结构化特征与内部元素结构化特征.1.1 垂径定理的外联模块结构化圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的基础前提.垂径定理正是圆的轴
中学数学 2023年2期2023-03-23
- 唤醒结构意识 探寻生长路径*
——以圆“垂径定理”的结构化教学设计为例
下面以“圆”中“垂径定理”的内容为素材进行结构化教学设计和分析.1 垂径定理的结构化特征分析垂径定理是圆的重要性质，是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为与圆有关的其他计算、证明、作图等提供重要的方法和依据.垂径定理的结构化特征主要体现在两个方面，即外联模块结构化特征与内部元素结构化特征.1.1 垂径定理的外联模块结构化圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的基础前提.垂径定理正是圆的轴
中学数学杂志 2023年2期2023-02-15
- 立足“三个理解” 促进“四能”发展
——以“垂径定理”的教学设计为例
力.下面笔者以“垂径定理(第一课时)”为例谈谈基于“三个理解”的教学设计.一、“三个理解”理念下的“垂径定理”的教学价值1.高位理解数学,把握知识的生长点理解数学,就是要求教师深度解读教材、高位理解教材用意、溯本求源、把握知识的生长点,梳理清楚数学知识的系统性和逻辑结构.垂径定理是苏科版九年级上册的第二章的内容,是继八年级下册“中心对称图形平行四边形”之后的几何章节,也可以理解为对特殊的中心对称图形进一步的深入研究.垂径定理是圆的轴对称性的具体化结论,更是
初中数学教与学 2022年18期2022-12-02
- 深入题目本质，避免题海战术系列谈之一
——垂径定理及其推论的应用小妙招
途径.下面，我以垂径定理及其推论的相关应用题的解题规律为例，浅谈上述问题.简单说，此类题大多数需要作辅助线来解决，学生只需要作辅助线构造“一个那样的直角三角形”，再应用垂径定理及其推论和勾股定理，就可解题了.因此，学生只要记住如何作出“一个那样的直角三角形”，就能解决大部分此类问题，达到事半功倍的效果.下面举两个例子说明.例1 (人教版教材九上90页12题)，如图1，一条公路的转弯处是一段圆弧(图1中的弧ACB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=300 m
数学学习与研究 2022年5期2022-06-19
- 弄清问题 踩点得分
的弦，则考虑使用垂径定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所对的两条弧。直接由[BD]=[CD]推出圆周角相等。（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，（1分）∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD。（2分）【点评】运用垂径定理需要注意写出直径和垂直于直径的弦，缺一不可。【分析】（2）解题的关键是证明△AFO∽△CFG，然后根据相似三角形的性质求出OF。（2）解：在Rt△BOE中，∠BEO=90°，【点评】我们来看得分点：运用勾股定理，要指明直角三角形，写出已知
初中生世界·九年级 2022年5期2022-05-27
- 圆中有“法” 线段可“度”
解析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论。（2）根据勾股定理求出BE=4，由垂径定理求出BC=8，由圆周角定理得到∠BCG=90°，再次根据勾股定理求出GC=6，利用AD∥GC，证明△AFO∽△CFG，利用相似三角形的性质求出【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、垂径定理是解题的关键。例2（2021·湖北鄂州）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为BC边上一点，以O为圆心
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- 弄清问题 踩点得分
的弦，则考虑使用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。直接由推出圆周角相等。（1）证明：∵AD是⊙O的直径，【点评】运用垂径定理需要注意写出直径和垂直于直径的弦，缺一不可。【分析】（2）解题的关键是证明△AFO∽△CFG，然后根据相似三角形的性质求出OF。（2）解：在Rt△BOE中，∠BEO=90°，【点评】我们来看得分点：运用勾股定理，要指明直角三角形，写出已知的边长；运用圆周角定理，要写出直径；证明相似三角形，运用相似的性质，注意要对应。在
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- “圆”来如此
——圆中典型易错题分析
M、ON。图3由垂径定理，得OM⊥AB，ON⊥AC。∵∠BAC=48°，∴∠MON=132°。（2）当圆心在两条弦所夹角的外部时。如图4，连接OM、ON。图4由垂径定理，得OM⊥AB，ON⊥AC。∵∠BAC=48°，∴∠MON=∠BAC=48°。综上可得，∠MON=132°或48°。三、圆心与圆内接三角形的位置关系例3已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O半径为6，圆心O到底边BC的距离为2，则AB的长为________。【错误分析】一些同学在解决此题
初中生世界 2022年19期2022-04-19
- 圆的常见考点展示
所帮助.考点1：垂径定理例1（2021·四川·自贡）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE = 3，OB = 5，则CD的长度为（ ）.A. 9.6 B. 4[5] C. 5[3] D. 10分析：由垂径定理可知AE = CE，由AO = BO，OE = 3，可求出BC和AC，再运用面积法求出CF，即可由垂径定理得到CD的长度.解：如图1，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠A
初中生学习指导·中考版 2021年12期2021-12-12
- 圆锥曲线中的垂径定理
中考查类似于圆的垂径定理的题目不时出现，值得深入探究.垂径定理是数学平面几何(圆)中的一个定理，它的通俗表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法.如果能将圆的垂径定理所涉及的思想和方法迁移到椭圆、双曲线、抛物线上，那无疑是一种创新的研究思路.一、试题呈现题1 已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0)，过点F2并垂
数理化解题研究 2021年31期2021-11-24
- 椭圆与两焦点弦有关的几个重要性质及其推论
B不为E的长轴和垂径(过焦点且垂直于焦点轴的弦) 时,CD亦不为E的长轴和垂径,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB、CD的斜率分别为k1、k2, 则直线AB、CD的方程分别为y=k1(x+c)、y=k2(x+c), 将y=k1(x+c) 代入E的方程整理得(a2k21+b2)x2+2a2ck21x+a2(c2k21-b2)=0.图1由于x1,x2为以上关于x的二次方程的两个根,故由韦达定理得x1+x2=所以,同理,由于AB⊥CD,故k1k2=-
中学数学研究(广东) 2021年19期2021-11-19
- 浅谈初中数学章节复习课的有效性
——以圆的基本性质复习为例
想到什么？生1：垂径定理。加一条弦和AB垂直。教师：给出图形。如图1，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，OE=3，CD=8，求圆的半径。图 1图 2生2：连接OC，根据直径AB⊥弦CD，得CE=ED=4（垂径定理），根据勾股定理可得圆的半径等于5。教师追问：解题依据？生2：利用垂径定理。师生共同回顾垂径定理的相关内容，并将数学文字语言转化为几何语言。变式1：如图1，若已知直径AB平分弦CD于点E，CD=8，AB=10，试求OE的长度。生3：利用垂径定理逆定
科学咨询 2021年30期2021-10-11
- 圆周角定理求角“四结合”
点. [二、结合垂径定理、“三个量”的关系]过圆心垂直于弦的直径，是垂径定理的条件，同圆中的弧、弧所对的弦及弧所对的圆心角这三个量中若有一组量相等，则其余两组量分别相等.例2（2020·湖北·荆门）如图2，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，则∠BOC的度数为（ ）.A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是∠AOC = ∠BOC. 由圆周角定理得∠AOC = 2∠APC = 56°，进而得
初中生学习指导·中考版 2021年4期2021-09-10
- 圆周角定理应用的“两融合”
例介绍.一、融合垂径定理，转化三量关系过圆心且垂直于弦的直径，是垂径定理的条件，同圆中的弧、弧所对的弦及弧所对的圆心角这三个量中若有一组量相等，则其余两组量分别相等.例1（2020·湖北·荆门）如图1，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，则∠BOC的度数为（ ）.A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是可想到连接OA，得到∠AOC = ∠BOC. 由圆周角定理得∠AOC = 2∠APC=5
初中生学习指导·中考版 2021年8期2021-08-28
- 三角形中考综合考点追踪
构造辅助线，利用垂径定理证明角相等，继而利用SAS证明三角形全等，最后根据角的互换，结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解。解：连接OA、OB，作OH⊥AC、OM⊥AB，垂足分别为H、M，如图3所示。∵在等边三角形ABC中，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理，得AH=AM。又∵OA=OA，∴△OAH≌△OAM（HL），∴∠OAH=∠OAM。∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAD=∠OBE。又∵AD=EB，∴△ODA≌△OEB（SAS），∴∠DOA
初中生世界·九年级 2021年4期2021-05-14
- 三角形中考综合考点追踪
构造辅助线，利用垂径定理证明角相等，继而利用SAS证明三角形全等，最后根据角的互换，结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解。解：连接OA、OB，作OH⊥AC、OM⊥AB，垂足分别为H、M，如图3所示。图3∵在等边三角形ABC中，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理，得AH=AM。又∵OA=OA，∴△OAH≌△OAM（HL），∴∠OAH=∠OAM。∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAD=∠OBE。又∵AD=EB，∴△ODA≌△OEB（SAS），∴∠D
初中生世界 2021年15期2021-04-15
- 圆的两类常见辅助线
接[OA]，根据垂径定理得到[OM⊥AB]，然后根据勾股定理求出[AM]，得到答案.解：如图1，连接[OA]，∵M为弦[AB]的中点，∴[OM⊥AB]，∴[AM=OA2-OM2=52-42=3]，∴[AB=2AM=6]，故填6.點评：求弦长时，常常借助垂径定理及推论，构造直角三角形，利用勾股定理进行解题.二、见直径，构直角;见切点，构直角例2（2019·北京）如图2，四边形ABCD为菱形，以[AD]为直径作[⊙O]交[AB]于点[F]，连接[DB]交[⊙O
初中生学习指导·中考版 2020年11期2020-09-10
- 构造圆心角 解题好巧妙
的关键.二、利用垂径定理等量代换例2（2019·内蒙古·赤峰）如图2，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（ ）.A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°解析：如图2，∵∠ADC = 30°，∴∠AOC = 2∠ADC = 60°.∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴[AC] =[ BC].∴∠BOC = ∠AOC = 60°. 故选D.点评：熟练掌握垂径定理实现等量代换是解
初中生学习指导·中考版 2020年11期2020-09-10
- 利用“垂径定理”重观圆锥曲线中一类对称问题
故也被称为椭圆的垂径定理.证明如图1，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由将两式作差后整理可得图1记直线AB 和直线OM 斜率分别为k1，k2，则解法2利用上述垂径定理，本题中椭圆的两相关斜率之积为，若斜率为的平行线束与椭圆相交，则所有弦中点的轨迹必为去掉两端点的线段，如图2所示，则直线l：y＝4x＋m 只需与该线段有交点即可(这时l 是过交 点 且 斜 率 为的弦的对称轴)，故图2上述思考方式是先确定对称点的所在弦中点需具备的条件再考虑垂直，利用
高中数理化 2020年12期2020-08-17
- 由圆周角例题谈解题策略
助圆的轴对称性（垂径定理）例1如图1，AD是半圆的直径，点C是的中点，∠ADC=55°，则∠BAD是多少？【解析】由点C是的中点，联想到垂径定理，连接OC、BD可得OC⊥BD。方法1：借助等腰△COD，可得∠OCD=55°；由OC⊥BD，得∠CBD=35°，则问题解决。方法2：借助圆内接四边形对角互补，求得∠ABC=125°，可得∠CBD=∠CDB=35°，∠ADB=20°，可得∠BAD=70°。【延伸】如图2，AB是⊙O的直径，C为上一点，∠BOC=50
初中生世界 2020年19期2020-06-13
- 由圆周角例题谈解题策略
助圆的轴对称性（垂径定理）例1 如图1，AD是半圆的直径，点C是[BD]的中点，∠ADC=55°，则∠BAD是多少？【解析】由点C是[BD]的中点，联想到垂径定理，连接OC、BD可得OC⊥BD。方法1：借助等腰△COD，可得∠OCD=55°;由OC⊥BD，得∠CBD=35°，则问题解决。方法2：借助圆内接四边形对角互补，求得∠ABC=125°，可得∠CBD=∠CDB=35°，∠ADB=20°，可得∠BAD=70°。【解析】看到CA=CB=CP，联想到定长;
初中生世界·九年级 2020年5期2020-06-01
- 几种常见的有关圆的最值问题
点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，难度适中。掌握辅助线的作法，得到当OC⊥AB时，OC最短是关键。二、利用对称求最值例2 如图的直径是AB上一动点，则CM+DM的最小值是cm。图2【分析】如图3，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM最小时的位置，根据垂径定理可得然后求出C′D为直径，从而得解。解：作C关于AB的对称点C′，连接C′D，与AB相交于点M，如图3，此时，点M为CM+DM最小时的
初中生世界 2019年39期2019-11-16
- 追根溯源 “圆”来如此
B、OC，再利用垂径定理，可以进行相等角的转化，最后解直角三角形即可。解：如图4，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC。图4故选：D。【点评】在非直角三角形中求一个角的三角函数值，我们的常用方法是构造直角三角形或是通过相等角的转化思想来解决问题。二、圆中重要的定理——垂径定理例3 如图5，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知BD=5，则OH的长度为 _____。图5【分析】由条件“直径经过弦CD的中点H”，根据垂径定理得出AB⊥CD，连接O
初中生世界 2019年39期2019-11-16
- 关于圆的对称性命题可逆性的研究
握.这里,我们以垂径定理及推论的教学设计为例,说明(圆的性质轮换不变性)猜想的教学价值.垂径定理及推论的教学设计如图1,垂径定理可以表示如下：根据(圆的性质轮换不变性)猜想,其条件与结论等量交换后所得逆命题(共九个)皆为真命题(称为推论),于是垂径定理及九个推论,可用一句话概括如下：图1“对一个圆和对一条直线来说,如果具备下列条件中的任何两个,那么也具有其它三个：(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧”(经证明本
中学数学研究(广东) 2019年16期2019-10-19
- 以“不变”应“万变”
最短弦问题。运用垂径定理和勾股定理，求解步骤如下：解：∵y=kx-3k+4，∴k（x-3）=y-4，∵k有无数个取值，由x-3=0、y-4=0，可得x=3，y=4，∴直线一定过点D（3，4）。如图3，根据勾股定理，可求得OD=5。∵最短的弦BC是过点D且与⊙O垂径垂直的弦，∴连接OC，OC=OA=13，OD=5，在Rt△COD中，可求得CD=12。∵OD⊥BC，∴BC=2CD=24。【解题感悟】在求解有关含参数的函数表达式的问题时，往往需要在变化的参数中找
初中生世界·九年级 2019年4期2019-05-05
- 再谈垂径定理及其应用
，准确理解、掌握垂径定理及其推论，会进行相关计算，并会运用垂径定理及其推论解决现实生活中的问题，提升学生分析、探索和证明的能力.课前准备好三角板、圆规等部分教具、自制课件和个人电脑.以下是垂径定理的应用这节课的课堂实录.师：今天我们复习圆的垂径定理及其应用！请问，圆的重要性质是什么？生1：圆既是中心对称图形又是轴对称图形.师：根据圆的轴对称，可得圆的垂径定理，什么是垂径定理？生2：在圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.教师画图示意.师：垂径
中学数学杂志 2019年4期2019-03-15
- 巧用平面几何性质，解决与圆有关的问题
就比较低。 圆的垂径定理和苏教版选修4-1《几何证明选讲》中割线定理、切割线定理、相交弦定理在考试大纲要求中属于“理解”。如果我们能够熟练应用圆的这几个定理，则一定会为我们解决解析几何中直线与圆的有关问题提供更为广阔的思维空间。方法二：取弦AB的中点M，由垂径定理，设OA=x，AB=2x，两次利用勾股定理，得评注：本题如果设直线方程后和圆方程联立来求弦长，AB=2OA这个条件用起来比较困难，而且计算比较复杂。这里巧妙利用圆的相交弦定理或垂径定理，使问题得到
数学大世界 2018年32期2018-12-11
- 圆的对称性等价性研究及分类标准探索
映圆的轴对称性的垂径定理与作为反映圆的旋转不变性的圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理应具有等价关系,应可互相证明,即:预测2垂径定理⇔圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理事实确实如此,我们既可由垂径定理推出关系定理(“圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理”,简称为“关系定理”),也可由关系定理推出垂径定理(注意,我们是不利用“圆的定义”的前提下,两个定理的互推).1、垂径定理→圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系定理如图1,已知∠A′OB′=∠AOB,OE⊥
中学数学研究(广东) 2018年20期2018-11-08
- 垂径定理的综合应用
学目标：1.理解垂径定理的概念，掌握垂径定理的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明；2.进一步掌握垂径定理的基本图形，并会综合运用知识进行有关的计算和证明，3.学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。重点难点：综合运用知识进行有关的计算和证明教学方法：自主、探究、合作交流结语1.图形之间的关系体现从一般到特殊；2.第（3）问挖掘隐含条件（1）图形中隐含线段间关系或角的关系（2）利用上述關系推导出特殊角或图形形状（3）考查几何直观（渗透
新教育时代·教师版 2018年13期2018-07-21
- 一道课本练习题的研究性学习案例一则
别为其弦心距.由垂径定理,在同圆或等圆中,等弦对等弦心距.所以OE=OD,故四边形ADOE是正方形.图1图2当我们将“AC=AB”这一条件变为不相等时,我们看:例2 (2005年中考四川省卷第12题4分)如图2,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且AB=8cm,AC=6 cm,那么⊙O的半径OA长为___.分析与略解这时,正方形ADOE变为矩形ADOE,AD=4,OD=3,所以⊙O的半径OA长为5 cm.当我们将垂
中学数学研究(广东) 2018年12期2018-07-11
- 分类讨论 巧妙解题
⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC.解：有两种情况：图1图2①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，同理∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图2所示：∴∠BAC=45°-30°=15°；故答案为：75°或15°.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用.解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条
初中生世界 2018年23期2018-06-21
- 垂径定理的综合应用
学目标:1.理解垂径定理的概念，掌握垂径定理的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明；2.进一步掌握垂径定理的基本图形，并会综合运用知识进行有关的计算和证明，3.学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。重点难点:综合运用知识进行有关的计算和证明教学方法:自主、探究、合作交流教学流程【合作探究，释疑解惑】1.垂径出角分线习题1、已知：△CDE内接于⊙O，半径OB⊥CD，垂足为H，连接BE(1)求证：∠CEB=∠DEB(2)如图，BM⊥CE
新教育时代电子杂志(教师版) 2018年13期2018-06-05
- 浙教版九上第三章圆的轴对称性复习课教学实录及感悟
对称性2. 运用垂径定理解决相关问题能力目标：通过错题教学，进一步培养学生的探索能力和运用知识解决实际问题的能力情感目标：在运用圆的知识解决问题的活动中，培养学生乐于探究的良好品质及解决问题的能力二、 教学重点难点重点： 圆的轴对称性 垂径定理难点： 运用垂径定理及逆定理解决问题三、教学过程1.知识回顾师：圆是怎么样的图形？中心对称图形还是轴对称图形？生：既是中心对称图形又是轴对称图形师：圆是轴对称图形，那么它的对称轴是什么？生1：直径。生2：不对，直径所
考试与评价 2018年5期2018-05-14
- 垂径定理牵手勾股定理
律解题过程中涉及垂径定理和勾股定理．在图1中，OA是半径，我们把OE叫做弦心距(即圆心到弦的距离)，AE叫做半弦，求解与垂径定理相关的圆类计算问题时，通常需要把相关数量集中到由它们所组成的直角三角形中，运用勾股定理解决．思考1 将条件与结论互换位置思考．如图2，⊙O的半径为5 cm，CD为直径，弦AB⊥CD于点E，OE=3 cm，求弦AB的长．点评典例是已知半弦、弦心距，求圆的半径问题，而本题是已知半径、弦心距，求半弦的问题．探究几何问题的一种常用方法就是
数理化解题研究 2018年5期2018-05-09
- 落实“五步六学” 打造高效课堂
我以九年级数学《垂径定理》为例，结合自己的教学实践谈谈“五步六学”教学法的具体实施策略。第一步：新课导入——“导学”。这是一堂课的起始环节，大约三到五分钟一个艺术的新课导入，不仅能培养学生的学习情感，激发学生的学习兴趣和强烈的的求知欲，还能让学生从中体会到本节课的学习目标。新课导入有好多方式，在教学中我经常采用实例引入法、温故知新法等。比如学习《垂径定理》一节就从大家都感兴趣的“你能算出赵州石拱桥的半径吗”引入，学生们自然很好奇，激发学生的求知欲，让学生体
课程教育研究·学法教法研究 2017年17期2017-11-18
- 《垂直于弦的直径》教学设计
）教学重点：探究垂径定理及其推论，并运用这些结论解决一些与圆有关的证明和计算问题。（二）教学难点：分清垂径定理及其推论的条件和结论。（三）教学关键点：圆的轴对称性。二、教学目标（一）知识与技能：理解圆的轴对称性，掌握圆是轴对称图形的证明方法；掌握垂径定理及其推论，并学会运用这些结论解决与圆有关的证明和计算题。（二）过程与方法：主要采用设疑激趣、讲授、直观演示、引导发现的教法。学生历经“实验、观察、猜想、证明”的探索过程、体会探索问题的一般方法和由一般化为特
广西教育·A版 2016年8期2016-09-29
- 微专题：“圆”中常见定理及常见辅助线
知识和定理：比如垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质定理和判定定理、切线长定理等，导致部分一线教师对“圆”这一章内容的教学有所淡化，这是极其严重的错误；当然也出现了一个更为极端的现象，有的教师把已经删掉的内容又搬回了课堂.对于上述两种极端，在教学中应该引起一线教师的足够重视.一、原题呈现如图1，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）.说明：所选试题为2013年四川省内江市的一道中考选择题，题目的题干叙述简
中学数学杂志 2016年16期2016-09-09
- 浅谈提高初中学生的几何语言表达能力
要的知识内容——垂径定理在应用到实际问题中时，有些问题的已知条件的呈现顺序给学生把实际问题转化成数学问题的表述带来了困难.有好多学生在解这类题目时，干脆不写出实际问题转化成数学问题的过程，有的即使写了，也是漏洞重重.下面就我在教学中收集到的解题范例来谈谈自己的想法.例 如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，当洪水泛滥时，跨度小于30 m时，要采取紧急措施.（1）求拱桥的半径，（2）若拱顶离水面有4 m时，问是否要采取紧急措施？在上述
数学学习与研究 2016年7期2016-05-14
- 无浮托引张线的发展和技术特点
析了引张线长度与垂径、线体材料特性的关系，认为采用高强度、轻密度的新型材料，可使无浮托引张线长度达到500 m，并提出无浮托引张线的主要技术指标要求。水平位移；无浮托引张线；技术指标0 前言水平位移监测是大坝安全监测重要监测项目之一，为准确掌握大坝水平位移变化情况，经过近几十年的发展，目前已有视准线法、交会法、引张线法、垂线法等多种监测方法和手段，其中引张线法工作原理是在两基准点张拉一根直线钢丝作为基准线，用以测量各被测点位置的相对偏移值，由于具有观测精度
大坝与安全 2016年5期2016-02-10
- 圆中的考点透视
弧、弦关系定理和垂径定理.例2 （2014·广东珠海）如图2，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）.A. 160° B. 150°C. 140° D. 120°【分析】先求∠BOC，再利用垂径定理求∠BOD，然后由邻补角得答案.【点评】这类问题常在半径、边心距和边长之间构成的直角三角形中求解.（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）
初中生世界·九年级 2015年6期2015-09-10
- 巩固展示课在数学教学中的应用
）知识回顾。复习垂径定理及推论。（2）巩固应用。这一部分内容主要利用垂径定理进行简单的计算，题型较全面。（3）综合应用。习题设计分为两个层次，1、2题是利用垂径定理进行证明，3题要求学生能画出符合题意的图形，渗透数学分类讨论思想。（4）提升应用。这部分内容与实际联系比较紧密，通过这些知识的教学，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题。（5）习题超市。这部分内容主要是为了尖子生，引导尖子生提高。（6）课堂测评。目的是检查学生对本节内容的掌握情
黑河教育 2015年9期2015-09-07
- 关联呼应：源自理解数学和苦心经营
——对“垂径定理”教学的再设计
心经营 ——对“垂径定理”教学的再设计☉江苏省如东县岔河中学 季卫东一、写在前面最近参与某区一次大型教学研讨活动（参与听课的来自该地区所有初三数学教师，200多人），其间开设了一节初三“垂径定理”的公开课，活动流程清晰，学生思维活动量较大，教师“基本功”（传统意义上的“三字一话”）扎实，课后是应景式的、标签式的、客套式的赏析评课，一节优秀课就这样被定义了，似乎各自回到教学岗位后，以后的新授课就可以这样上了．然而近年来笔者阅读喜欢与涉猎所限，颇受人民教育出版
中学数学杂志 2015年22期2015-03-22
- 优选“数学现实”，注重变式教学
——以“垂径定理”教学为例
式教学 ——以“垂径定理”教学为例☉江苏省海安县李堡镇初级中学 陶然“垂径定理”一直是教学研究的热点，过往的教学常常是从折纸操作出发，感受轴对称图形，并在此基础上证明垂径定理和推论，再以例、习题应用定理的流程进行.笔者最近有机会执教该课，基于轴对称视角引导学生研究圆，并从证明圆是轴对称图形出发，顺便获得垂径定理和相关推论，也取得了较好的教学效果，本文记录该课的教学设计，并阐释教学立意，供研讨.一、“垂径定理”教学设计（一）教学目标（1）从轴对称角度研究圆，
中学数学杂志 2015年10期2015-03-17
- 课例“垂径定理”教案赏析
它是轴对称图形，垂径定理是圆对称性衍生出的一个重要性质，在圆的很多问题中都需要用到垂径定理及其推论. 上好这节课事关学生的后续学习，值得仔细探究与学习.[关键词] 垂径定理;激疑引趣垂径定理是苏教九年级上册圆的对称性这一节的重要内容，它是圆对称的具化反映，是圆对称性的延伸与拓展，揭示了圆的弦与直径、弧与弧之间的几何关系和代数关系. 通过垂径定理的探究与运用，会向学生渗透“特殊—一般—特殊”的数学思想，培养学生观察分析、归纳概括的能力.联系语文，激疑引趣1.
数学教学通讯·小学版 2014年11期2014-12-13
- 如何灵活应用垂径定理及其推论
杭静垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要灵活应用却非易事.现举例说明.1. 利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆心（周）角例1 （2013·广西梧州）如图1，AB是☉O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（ ）.A. 20° B. 46°C. 55° D. 70°【解析】连接OD，∵AB垂直于弦CD，∴=，∠BOD=∠BOC=70°；∵OB=OD，∴∠ABD=×（180°-70°）=
初中生世界·九年级 2014年10期2014-10-29
- 百密不疏防漏解
D⊥AB于D，由垂径定理得所以∠OAB=30°.同理∠OBD=30°.因为∠AOB=120°.因为弦AB所对圆周角等于是∠AOB的一半，所以弦AB所对圆周角为60°.分析：由于圆周角的顶点位置可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上（如图2），所以弦AB所对的圆周角有两种可能.因为∠APB+∠AP1B=180°，所以∠AP1B=120°.所以AB所对圆周角的度数为60°或120例 2 如图3，半径为2的⊙O中，弦上一点，且PA=PB，求S△ABP.错解：作PD
中学数学杂志 2012年2期2012-08-27
- 浅谈引张线观测的布置与计算
明，引张线越长，垂径f值越大。为了减小引张线的垂径采用安装浮托装置的办法，以解决垂径过大的问题。加入浮托装置后，整个线段的水平投影仍为一直线，如图二。图 二1）悬垂线的垂径计算：近似计算公式： （1）式中：l 为线段长度，以m计；g 为悬线单位重（kg/m）；H 为水平张力，近似于锤重，以kg计。朱庄水库的引张线，采用不锈钢丝φ为0.9毫米，悬线单位重g为0.005kg/m，锤重w是40kg，在没有浮托支撑情
城市建设理论研究 2011年28期2011-12-31
- 垂径定理在圆锥曲线中的推广和运用
很重要的性质叫“垂径定理”：若AB为⊙O的一条弦，P为AB的中点，则k㎡P•k〢B=-1.这一性质可以在圆锥曲线中进行推广，而且有很好的应用价值.(为叙述方便，下文把推广的结论都称作定理.)定理1 若点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过椭圆中心O的弦AB的中心，则k㎡P•k〢B=-b2a2.定理2 若点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过双曲线中心O的弦AB的中点，则k㎡P•k〢B=b
中学数学研究 2008年1期2008-12-10
- 垂径定理的应用
丁广琳垂径定理及其推论，是圆一章最重要的定理，在计算、证明、作图、生产生活等各个方面都有广泛的应用.一、确定圆心和半径确定圆心的常用方法有：① 用垂径定理 作任意两条弦的中垂线，这两条中垂线的交点就是圆心；② 利用垂径定理的推论 90°的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点就是圆心.例1 有一块圆形木板，小军要在它的正中间打一个小孔，制一个玩具，而身边只有一块三角板（三角板的斜边大于圆的直径），你能帮他找到圆心吗？解析： 借助三角板的直角，可以利用垂径定理
中学生数理化·中考版 2008年9期2008-12-01