分解因式新题型赏析

高俊元

分解因式是每年中考必考的内容之一．近年来，中考中出现了一些有关分解因式的新题型．这类题不仅可以考查学生的发散思维能力，而且可以开阔学生的视野．现举例说明．

一、辨析型

例1 （2007年·福建）下列分解因式正确的是（）.

A． 4－x2＋3x＝（2－x）（2＋x）＋3x B． －x2＋3x＋4＝－（x＋4）（x－1）

C． 1－4x＋x2＝（1－2x）2 D． x2y－xy＋x3y＝x（xy－y＋x2y）

解析：A中结果不是积的形式，C不能运用完全平方公式，D分解不彻底，还可以提公因式，所以选B．

评注：分解因式结果的几个整式之间必须都是积的形式．在分解因式后，如果其中有些因式是两次或两次以上的多项式时，应当考虑它们是否还能继续分解，如能再分解，就应当分解到不能再分解为止．

二、自编开放型

例2 （2007年·山东）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果． ．

解析：本题分三步：第一步，写一个能运用完全平方公式分解因式的多项式，例如a2＋2ab＋b2；第二步，考虑到能提公因式，再乘以一个常数或字母即可，例如2（a2＋2ab＋b2）；第三步，展开，即2a2＋4ab＋2b2．

评注：这类题结论不唯一，只需写出符合要求的结论即可．常见错误有三种：1．只考虑一个方面，例如只能用公式分解，而不能提公因式；2．写出的是分解后的式子，而没有展开，例如2（a2＋2ab＋b2）；3．写出的是二项式而不是三项式.

三、组合开放型

例3（2007年·温州）给出三个多项式：x2＋x－1，x2＋3x＋1，x2－x．

请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式.

解析：这是一道组合开放型题目．三个多项式两两相加，有三种情况：

（1）

x2＋x－1＋

x2＋3x＋1＝x2＋4x＝x（x＋4）；

（2）

x2＋x－1＋

x2－x＝ x2－1＝（x＋1）（x－1）；

（3）

x2＋3x＋1＋

x2－x＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2．

评注： “不同的人在数学上得到不同的发展”，组合开放题因能充分体现这一新课程理念而成为最近两年中考命题的一道亮丽的风景线．这类问题突破了常规的题型模式，要求学生从已知的条件中选取合适的式子进行运算．这类问题看似简单，但在实际考试时得分率并不是很高，其原因在于不少同学忽视了题目的具体要求，答非所问．

四、阅读探究型

例4（2007年·淄博）根据以下10个乘积，回答问题.

11×29；12×28； 13×27； 14×26； 15×25；

16×24；17×23； 18×22； 19×21； 20×20.

（1）试将以上各乘积分别写成“□2-○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明）

解析：（1）把一个乘积写成平方差的形式，难度不大，有两种方法.一是直接根据乘积的特点观察得出答案；二是利用因式分解，通过解方程组求出答案.

11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；

15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；

19×21=202-12；20×20=202-02.

例如，11×29的思考过程有如下两种.

方法1：11×29=（20-9）（20+9）=202-92.

方法2：假设11×29=□2-○2，因为□2-○2=（□+○）（□-○），所以，可以令□-○=11，□+○=29.解得□=20，○=9.故11×29=202-92.

（2）直接计算两数相乘的结果，或者根据所写成的平方差的形式，都能得出这10个乘积的大小关系.

这10个乘积按照从小到大的顺序排列是：

11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.

（3）答案不唯一，只要正确就行.根据评分标准，按照所得结论的难易程度及普遍性的不同，所得分值相应也不同，因此解答时，要写出具有普遍意义的结论.

① 若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400.

② 若a+b=40，则ab≤202=400.

③ 若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤

2.

④ 若a+b=m，则ab≤

2.

⑤ 若a、b的和为定值，则ab的最大值为

2.

⑥ 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且| a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥| an-bn|，则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

⑦ 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且| a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥| an-bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn.

⑧ 若a+b=m，a和b的差的绝对值越大，则它们的积就越小.

评注：第（3）问的评分标准是“给出结论①、②之一的得1分；给出结论③、④、⑤之一的得2分；给出结论⑥、⑦、⑧之一的得3分”.这一点值得同学们注意.

实质上，第（3）问的结论①~⑧概括起来只有两个重要的结论：④和⑧.这两个结论的得出都用到一个重要公式——完全平方公式.下面就是得出④和⑧的过程.

结论④：因为（a-b）2≥0，所以a2-2ab+b2≥0，a2+2ab+b2-4ab≥0，所以（a+b）2≥4ab，所以ab≤，所以ab≤

2.因此，若a+b=m，则ab≤

2.其他的结论①，②，③，⑤都是④的特殊形式或变形.

结论⑧：因为（a+b）2-（a-b）2=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）=4ab，所以ab=.若a+b=m，则ab=.因此，a、b差的绝对值越大，则它们的积就越小.其他的结论⑥，⑦都是⑧的特殊形式.

阅读探究型问题是近几年中考出现的新题型．学生通过阅读，学习新的知识，感悟数学思想和方法，形成科学的思维方式与思维策略．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文