注重开放与探索 培养学生创新精神

王运芹

在教学过程中注重开放与探索是培养学生创新精神的有效途径。条件的不确定性,结构的多样性,思维的多向性,解答的层次性,过程的探索性,知识的综合性,情景的模拟性,内涵的发展性,过程开放或结论开放的问题能形成学生积极探索问题的情景。解这类题的依据和方法不唯一,需要学生根据已知条件,从基础知识和基本数学思想方法出发,结合基本图形抓住本质联系,积极探索方可解决。这样的习题为开放探索性问题。开放探索性问题主要表现形式有如下几种。

条件开放与探索

给出问题的结论,让学生探寻使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不唯一。这样的问题是条件开放性问题,要求学生善于从问题的结论出发,逆向追索,多途寻因。这一过程主要培养学生的分析、归纳和发散能力。

例 如果四边形ABCD满足条件( ),那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直(只需填写一组你认为适当的条件)。解:四边形ABCD是菱形;四边形ABCD是正方形;∠ADB+∠DAC=90º,等等。解析:这是一道补充条件的开放性题,解决这类题的方法是假设结论成立,逐步探索其成立的条件,根据四边形的性质得出结论。

结论开放与探索

一般是指给出问题的条件让学生根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,这就是结论开放性问题。这类问题常用解题思路是充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍。

例 给出一个函数,甲、乙、丙3位学生分别指出这个函数的一个性质。甲说,第一象限内有它的图象;乙说,第三象限内有它的图象;丙说,在每个象限内,y随x的增大而减小。请写一个满足上述性质的函数解析式。解析:本题难度较小,主要考查反比例函数的性质的灵活运用,必须满足3个条件,例如y=1/x (注:y=k/x,只要k>0即可)

策略开放与探索

策略开放与探索性问题,一般指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题,要求学生在解题过程中不因循守旧,不墨守成规,通过积极思考创新求索,优化解题策略,活用解题方法。

例 在平面上有且只有4个点,这4个点有一个独特的性质,每2点之间的距离有且只有2种长度。正方形ABCD有AB=BD=CD=DA≠AC=BD,请画出具有这种独特性质的另外4种不同的图形,并标明相等的线段。解析:本题依据平面唯一的4点,应具有的独特性质为素材,编拟出一道以“方案设计”为背景的开放性问题。这就要求学生即善于动脑,又善于动手。因此,从题的条件和要求来说,要从平面上唯一的4点构成6条线段入手,分别设计5条、4条、3条、两条分别相等的情形。

情境开放与探索

给出问题的实际情境,要求学生建立数学模型,寻找切合实际的多种解决实际问题的方法,或运用数学设计各种方案为决策提供依据,这类问题称之为情境开放问题。它常常以实际情境或现实生活为背景,涉及到社会、生产、科技、经济以及数学本身等各个方面,着重培养学生数学化的能力。

例 白官屯镇一中九年级一班原计划用勤工俭学收入的66元钱,同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙3种纪念品奖励参加校“艺术节”活动的学生,已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件,而甲种纪念品的件数不少于10件,且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半。若购买甲、乙、丙3种纪念品恰好用了66元钱,问可有几种购买方案,每种方案中购买的甲、乙、丙3种纪念品各多少件?

解 设购买的甲、乙、丙3种纪念品的件数分别为x、x、z件。根据题意,得

∵x≥10且3x≤66/2,∴10≤x≤11。又x是整数,∴x=10或x=11。当x=10时,y=10+2=12,z=65-5×10=12;当x=11时,y=11+2=13,z=65-5×11=7。∴可有2种方案。

规律开放与探索

规律探索主要有数、式、符号及图形的变化规律。解这类题的一般方法是根据提供的若干个特例,经过由特殊到一般的推理过程,通过观察、猜想、类比、归纳、验证,得出一般性的规律和结论,从而发现题目中所蕴含的本质规律与特征。

例 1)观察一列数2、4、8、16、32…发现从第二项开始,每一项与前一项之比是一个常数,这个常数是( );根据此规律,如果an(n为正整数)表示这个数列的第n项,那么a18=( ),an=( )。答案:2,218,2n。

(作者单位:河北省唐山市丰润区白官屯镇一中)