时滞不确定系统的H∞控制器设计

贺 娟，袁颂岳

(1. 湖南人文科技学院 物理与信息工程学院，湖南 娄底 417001；2. 桂林电子科技大学 信息科技学院，广西 桂林 530022)

时滞不确定系统的H∞控制器设计

贺 娟1，袁颂岳2

(1. 湖南人文科技学院 物理与信息工程学院，湖南 娄底 417001；2. 桂林电子科技大学 信息科技学院，广西 桂林 530022)

针对多时滞不确定系统，用Riccati和LMI相结合的方法设计了一个H∞控制器。该方法的要旨在于只要相应的ARE 和LMI存在正定解，就能设计出H∞控制器。同时用仿真验证了该H∞控制器不但保证了闭环系统鲁棒渐近稳定，而且对于所有容许的不确定性，其H∞范数小于某一常数r，并且其系统响应都趋向稳定。

鲁棒H∞控制 ；不确定系统；时滞；LMI

随着H∞控制理论[1]的迅速发展,鲁棒H∞控制器的设计方法受到许多学者的关注[2-7]。文献[2]首次采用代数黎卡提方程(ARE)设计出了一类无时滞确定性系统的H∞控制器;文献[3,4]分别针对存在控制或状态时滞的线性确定性系统,也是采用ARE设计出了H∞控制器;文献[5]在[3,4]的基础上研究了一类同时含有状态和时滞的不确定系统,同样使用ARE方法设计出了H∞控制器。本文用LMI和ARE相结合的方法，针对同时含有状态和控制滞后的不确定系统，给出了H∞控制器的又一种设计方法。

1 问题描述

考虑不确定时滞系统模型:

z(t)=Ex(t)

x(t)=0，tlt;0，x(0)=x0

(1)

上式中x(t)∈Rn是状态向量；u(t)∈Rm是控制向量；w(t)∈Rp是平方可积的干扰输入矢量；z(t)∈Rq是被控输出；A，A1,B,B1,D和E为适当维数的常数矩阵；d1为状态时滞，d2为控制输入时滞；假设参数不确定性满足匹配和范数有界条件

(2)

其中G，H和H1为一组定义了不确定性结构的具有适当维数的常数矩阵，F(t)∈Ri×j为未知Lebesgue可测函数，且满足

F(t)TF(t)≤I

(3)

对系统(1)，考虑构造线性状态无记忆反馈控制器

u(t)=-Kx(t)

其中K∈Rm×n为一常数矩阵，则从w到z的传递函数为

Gzw(s)=E(SI-A-BK-ΔA-A1e-Sd1-ΔA1e-sd1-B1Ke-sd2)-1D

(4)

因此，设计问题可表述为构造一个控制器u(t)使系统：

(1)闭环渐进稳定；

(2)保证对所有容许的不确定性，有Gzw(s)≤r，其中r是一预先给定的正标量。

2 主要结果

定理1 对于系统(1)，当采用控制律

(5)

时，闭环系统是渐进稳定的，其中ε为一正标量，P和R是正定矩阵，且满足如下的LMI：

(6)

证明：在w(t)=0的情况下，当采用控制律(5)时闭环系统可写成：

(7)

利用Lyapunov函数：

把(7)式代入整理后可以得到：

Q23=0

Q32=0

式(6)隐含

因此可得Qlt;0

因此，闭环系统是鲁棒渐近稳定的。

定理2：给定正常数r，考虑系统(1)，假设对于某正标量ε和正定矩阵R和Q，存在正定解P，满足如下的Riccati方程：

(8)

则当采用控制律(5)时，闭环系统是鲁棒渐进稳定的，且对于所有容许不确定性闭环传递函数Gzw的H∞范数不大于r，即 ：Gzw∞≤r。

证明：由引理1可知系统(1)在控制器(5)的作用下鲁棒渐进稳定，同时由Riccati方程(8)不难得到：

G*zw(jw)Gzw(jw) = r2I-[V(jw)-rI]*[V(jw)-rI]

-rDTW-1(jw)[εQ + S1+ S2+ S3+ S4]W-1(jw)D，其中

S1= PGGTP + HTH-PGFH-HTFTGTP

根据不等式X*Y+Y*X≤X*X+Y*Y,得

S1=PGGTP+HTH-PGFH-HTFTGTP≥PGGTP+HTFTFH-PGFH-HTFTGTP

≥PGFH+HTFTGTP-PGFH-HTFTGTP≥PGFH+HTFTGTP-PGFH-HTFTGTP=0同理可得S2≥0,S3≥0,S4≥0 。所以，Gzw*·Gzw≤r2I

即：Gzw∞≤r。

3 仿真

取r=0.5，考虑系统(1)：

取R=1 ，Q=I2，ε=0.0625 ,Riccati方程(8)的正定解为：

无记忆状态反馈控制器：U(t)=-3.049x1(t)-8.735x2(t)。

分别取r=0.5，ε=0.0625和r=0.1，ε=0.0125。用MATLAB仿真，仿真图形如下：

图1 阶跃响应曲线

图1中实线表示当不确定系统的参数取r=0.5，ε=0.0625时的阶跃响应曲线，虚线表示当不确定系统的参数取r=0.1，ε=0.0125时的响应曲线。不管参数怎么变化，系统最终趋向稳定。

4 结论

本文通过LMI和Riccati方程，针对同时具有状态与控制滞后不确定系统提出了一种H∞控制器的设计方法。并通过仿真验证了该H∞控制器不但保证了闭环系统鲁棒渐近稳定，而且对于所有容许的不确定性，当其H∞范数小于某一常数r，系统都是趋向稳定的。

[1]王德进.H2和H∞优化控制理论[M].哈尔滨：哈尔滨工业出版社，2001：56-58.

[2 ]PETERSEN I R. Disturbance and H∞ optimization:a design method based on the algebraic Riccati equation [J].IEEE Trans Autom.Control,1987(32):427-429.

[3] LEE J H ,KIN S W,KWON W H.Memoryless H∞ controllers for state delayed systems[J]. IEEE Trans Autom.Control,1994(39):159-162.

[4]CHOI H H,CHUANG M J.Memoryless H∞ controller for state delayed systems[J].IEEE Trans Autom.Control,1995(31):917-919.

[5]顾永如，等.线性不确定时滞系统的H∞无记忆控制器设计[J].自动化学报，1999，25(3)：429-431.

[6]张友刚，等. 基于LMI方法的线性不确定时滞系统鲁棒镇定[J].西南交通大学学报，2009，44(5)：682-687.

[7]谭冲，等. 不确定时滞广义线性系统的有记忆状态反馈鲁棒H∞控制[J].黑龙江大学自然科学学报，2009，26(4)：459-464.

(责任编校：光明)

DesignofH∞InfiniteControllerforUncertainSystemswithTimeDelay

HEJuan1，YUANSong-yue2

(1. Department of Physics and Information Engineering, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi， 417001, China; 2. School of Information Science and Technology, Guilin University of Electronic Science and Technology, Guilin, 530022, China)

For uncertain systems with time delay, with the methods of combining of Riccati and LMI , a H∞ controller is designed. The main ideas of this method are that the relevant ARE and LMI are solvable, H∞ controller can be designed. We have proved that the designed H∞ can is robustly stable for closed-loop systems. At the same time, its norm is smaller than a constant “r” for all uncertain systems and response of the system is steady.

robust H∞ control; uncertain system; time delay; line matrix inequation

2010-07-01.

湖南省科技计划项目(2009SK3041),湖南省教育厅项目(09C545),湖南人文科技学院青年基金项目(2008QN014).

贺娟(1974——)，女，湖南双峰人，湖南人文科技学院物理与信息工程学院讲师，硕士，研究方向：鲁棒控制、数字信号处理。

TP273

A

1673-0712(2010)04-0085-03