基于生产动态资料确定储层渗透率非均质变化的参数反演数学模型

刘今子, 朱维耀, 张 伟, 龙运前, 岳 明

( 1. 北京科技大学 土木与环境工程学院,北京 100083; 2. 东北石油大学 数学科学与技术学院,黑龙江 大庆 163318; 3. 大庆油田测试技术服务分公司 第九大队,黑龙江 大庆 163000 )

0 引言

在油藏实际勘探与开发过程中，经常遇到相邻不远处2口井的产量和产油能力有明显差别.从油井取出的岩样，甚至用肉眼观察时，能发现其很多不同的性质.这种现象表明油藏具有不同的非均质性.油藏非均质性是油藏表征的核心内容，其研究水平将直接影响对油藏中油、气、水的分布规律和开发效果，这是油气勘探研究的热点.针对油藏非均质性研究已取得长足进步，其研究内容和所涉及的领域不断加深、扩大.研究油藏表征非均质特征的方法分为静态方法和动态方法[1-4].

常用的静态方法是岩心分析和地震测井，利用取得的数值进行空间插值，离散网格块的参数值，进而描述油藏参数的空间非均质特征[1,5-6].反问题理论提供利用实测或动态数据结合先验数据，反求地层参数分布，如孔隙度、渗透率等工具.对于研究非均质油藏表征渗流特征的反问题方面研究，主要有两大方向：一是地震测井技术(静态方法)，反演确定初始油藏参数分布；二是试井分析(动静结合方法)，根据生产历史资料，反演确定油藏参数分布的趋势[7-9].用地震测井反问题方法表征油藏参数分布的局限性在于，用地球物理方法求渗透率大都必须依据岩心分析或其他资料，而且精度不高，只能代表井底周围附近地带的情况[10-12].用试井技术动静结合历史拟合的方法表征油藏参数分布的局限性在于，只能求得与井的产能直接相关的、代表井附近一定范围的平均有效渗透率，并不能描述井网或区块的油藏参数区域性非均质分布特点，也不能充分反映非均质油藏里流体的渗流特征[13-14].笔者针对储层渗透率的不同非均质构型，建立二维单相反演优化分布数学模型，可以实现通过生产动态资料确定储层渗透率的非均质构型参数.

1 构型表征

针对储层渗透率的非均质特性，假定4种储层渗透率K的分布：

(1)K是常数.

(2)K是线性变化：(a)线性递增；(b)线性递减.

(3)K是二次函数：(a)开口向上；(b)开口向下.

(4)K是对数函数或者指数函数：(a)对数函数(上凸)；(b)指数函数(下凸).

渗透率分布构型见图1.

图1 渗透率分布不同的构型示意

2 压力梯度与流量的数学模型

针对平面径向流的情况，物理模型：水平圆盘状地层，均质等厚，r为地层任意点到井筒的距离，p为该点的压力，h为厚度，供给边界为圆形，pe为供给压力，re为供给半径.在圆的中心打1口水力完善井，rw为井的半径，pw为井底压力.同时，假设流体为牛顿流体，μ为黏度，与井轴垂直的每一个平面内的运动情况相同.在平面径向流时，流线是1组流向点汇(生产井)或由点源(注水井)发散出来的直线，平面径向渗流模型和平面径向流压力分布曲线分别见图2和图3.

图2 平面径向渗流模型

图3 平面径向流压力分布曲线

2.1 储层渗透率是常数

由已知条件，K(r)=K，代入达西定律，得

简化得

(1)

2.2 储层渗透率是线性变化

2.2.1 线性增加

由已知条件K(r)=a+br，a>0，b>0，代入达西定律，得

即

(2)

2.2.2 线性递减

由已知条件K(r)=a-br，a>0，b>0，代入达西定律，得

即

(3)

2.3 储层渗透率是二次函数变化

2.3.1 上凸

由已知条件K(r)=-ar2+br+c，a>0，b>0，c>0，代入达西定律，得

即

(4)

2.3.2 下凸

由已知条件K(r)=ar2-br+c，a>0，b>0，c>0代入达西定律，得

即

(5)

2.4 储层渗透率是对数函数或者指数函数变化

2.4.1 对数函数上凸

由已知条件K(r)=alnr+b，a>0，b>0，代入达西定律，得

即

(6)

2.4.2 指数函数下凸

由已知条件K(r)=aebr，a>0，b>0，代入达西定律，得

即

(7)

3 反演模型

基于反演思路，建立针对储层渗透率非均质特性的反演算法：

(2)输入预估储层渗透率的分布函数K(r)，得到预估压力梯度p，流量q(取实际流量q*).

(3)如果预估储层渗透率分布K(r)满足实际的压力梯度p*，应有

(8)

(4)如果满足式(8)，预估值即可作为真实值；如果不满足式(8)，由压力梯度与储层渗透率有判别函数关系为

校正预估储层渗透率K(r)，校正函数关系为

(5)将校正值作为预估值重新计算，得到压力梯度，代入式(3)进行迭代.

(6)校正值K(r),满足真实值K*(r)要求的精度.

4 数值模拟

以某低渗油田单井井史为例，进行储层渗透率非均质性反演.油藏参数：井底的渗透率Ka=2×10-3μm2,边界的渗透率Kb=8×10-3μm2，可以预估储层渗透率非均质变化形态为3种形态：(1)线性递增；(2)对数上凸；(3)指数下凸.当已知井底到边界某一个点的压力和产量时，可以进一步判断是二次曲线上凸或下凸的形态.孔隙度为0.15；黏度为7.4 mPa·s；泄压半径为1 km；井筒半径为0.1 m；储层厚度为2 m.假定稳态情况时，井底流压pw=7×106Pa，边界压力pe=17×106Pa，流量q=0.358 m3/d.利用文中建立的参数反演数学模型进行参数优化，其结果见表1.

表1 渗透率非均质性反演数值结果

由表1可见，储层渗透率非均质变化形态为指数下凸时，迭代数值最稳定，其余的2种情况数值发散现象严重.据此可以判断，此算例下的储层渗透率非均质变化是呈指数下凸的构型.

5 结束语

根据储层渗透率非均质构型的特点，建立不同储层渗透率非均质构型下的渗流数学模型.考虑储层渗透率非均质构型下，结合生产动态实际数据，建立反演储层渗透率非均质变化的反演算法.算例表明，所建的结合生产动态资料反演储层渗透率非均质变化的算法可以实现较高的精度，可以作为建立三维两相反演储层渗透率非均质变化和分区相渗曲线的数学模型的理论基础，以及一种辅助历史拟合的方法.