“动手”学几何——简谈立体几何教学中宜加强手工实验操作

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(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

“动手”学几何
——简谈立体几何教学中宜加强手工实验操作

●陈尧明

(上虞市教研室 浙江上虞 312300)

先从一道2010年浙江省数学高考试题说起：

图1

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长.

分析第(1)小题不难用传统方法或者向量法求解.第(2)小题是翻折问题，观察翻折之前和翻折之后的不变量，就可以找到解决问题的突破口.利用A′M=CM和A′N=CN，再在空间直角坐标系中就可以求出点M,N的坐标，从而求出线段FM的长度.

此题属于中档题.从学生的答题情况看，得分率并不高，不少学生对于第(2)小题束手无策，不知从何下手．笔者私下问过几个考生，大多感觉图形经过2次翻折后很难想象空间图形是怎样的，空间线段之间的数量关系自然无从谈起，也就是说学生空间想象能力相当缺乏．在此,不禁要追问并反思我们的教学行为，为什么从小在积木堆里长大的学生通过若干年的课堂教学(尤其是高中教学)，空间想象能力反而弱化了呢？我们的教学方式是不是太形式化了？是不是被公理化体系“绑架”了呢？还美其名曰：提高学生的逻辑思维能力？

课标理念强调：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动、活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里”.“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程”.

数学学习理应是学生自己的生活实践，数学教学则更应与学生的生活充分地融合在一起.从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学，让其置身于现实的问题情境之中，充分体验数学就在我们身边，从而增强学习的动力．几何直观能力是课标提出的立体几何教学目标之一，直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算更是课标对立体几何提出的教学要求.

在立体几何课堂教学中，让学生有意识地动手操作，比一比，量一量，折一折，做一做，让学生在具体的操作情境中，理解几何概念与性质的形成和发展，进而领悟数学的本质，提高课堂教学的实效性,这对当代学生显得更有价值.那么目前立体几何教学中学生实验操作的现状又如何呢？为此,笔者有意识地从当地随机选取了2所高中就此问题作一调查.

调查问卷的结果不容乐观.在“立体几何哪一部分较难掌握”中,有39.7%的学生选择了“点、线、面的位置关系”；在“根据叙述准确画出图形”中,有68%的学生选择“有时要画错”，有16%的学生选择“经常画错”；在平时考试中有31%的学生认为涉及空间想象时失分较多．在与任课教师的访谈中，他们深有感触地说：“在讲解异面直线时，学生画不出异面直线的几种常见形式，而且常常将异面直线画成相交直线，将应该画成虚线的地方画成了实线”．

由此可见，帮助学生逐步形成空间想像能力，建立良好的空间观念，是立体几何教学的中心．那么如何建立良好的空间观念呢？笔者以为在教学中不妨加强手工实验操作．因为从数学本质上讲，“数学是一个‘动态思维的实验过程’，是数学真理的抽象概括过程，逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果．在数学实验的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示”.在此,笔者就立体几何教学过程中如何加强手工实验操作谈谈自己的几点看法.

1 在认识空间几何体的结构特征中加强手工实验操作

三维空间是人类生存的现实空间.人们认识周围的事物，常常需要通过描述事物的形状、大小，并用恰当的方式表达事物之间的关系．通常采用直观感知、操作确认来认识空间图形.

学生在义务教育阶段只是对圆柱(锥)体、正(长)方体有了一个初步的接触和整体的了解.而在“认识空间几何体的结构”这一节中，学生的整体认知的对象却大大延拓了，不仅要认知它们的结构特征，而且还要求能画出空间几何体的三视图、直观图，目的是培养学生的空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力．因此在教学中若能从操作实践角度入手，先布置学生用积木或纸板搭建各种类型的几何体模型,从制作过程中认识相同类型的几何体，让学生体会“有6个面，12条棱，8个顶点”的“几何体”并不一定是长(正)方体，还可能是一般棱柱或是平行六面体等等．然后,再引导学生进行深层次地观察、比较、交流，引导学生思考空间几何体的分类方法，分别指出柱、锥、台、球的结构特征，逐步归纳并形成各种几何体的结构概念框架．这样以已有的知识和经验为基础，展示知识的形成过程，强调学习者的参与及对学习过程的体验，不但能激发学生探求的兴趣，而且还能使他们从被动学习变为主动吸收，增强了学生吸纳应用知识的灵活性.

需要指出的是，在“认识空间几何体的结构”这一节中,教材还设置了“观察”、“思考”、“探究”等栏目，教师都应充分利用．同时,还应借助图片、幻灯、计算机等多媒体向学生展示更多的具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的直观感.

2 在探究点、线、面的位置关系时加强手工实验操作

为了让学生对点、线、面的关系获得清晰的直观印象，传统教学往往采用演示法.这在一些定理的阐述上显得尤为明显．尽管有的借助了现代化的教学手段——多媒体演示，有的还借助于一大堆教具，但这些“演示”，学生只能看，不能动手操作，直观形象仍停留在形式上，点、线、面之间关系的难点仍未有效化解,学生的主体作用仍未突出，至于自主探究、开展合作学习、发展学生的个性品质就更不用说了.

数学教学是数学活动的教学，数学活动是数学思维的活动．一堂课是否成功，其中一个指标就是:学生有没有主动的高水平的思维活动.笔者认为自主实践活动应该成为课堂教学的主旋律.

案例1直线与平面垂直的判定定理

课本在研究直线与平面垂直的判定定理之前，设置了一个探究过程(以下摘自教科书):

如图2，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个试验：

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)．

(1)折痕AD与桌面垂直吗？

(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？

图2

图3

图4

可以说老教材在探究线面垂直判定定理时，采用的是发现式教学,教科书给出的“图形”往往是“标准”的(如图3).新课程提倡的是放手让学生去做，去试验，学生通过自己动手操作，亲手“演示”，多角度、多侧面、全方位的观察、体验和归纳，合情推理出线面垂直这一判定定理．也正因为放手让学生翻折，只要能使翻折后的折痕所在直线与桌面所在的平面垂直就行，于是给学生的探究创设了广阔的空间，学生的探究欲望强烈.

当然,对于较复杂的图形可通过多媒体的动画演示、旋转，让学生观察到它们的位置关系，但应注意多媒体只能是教学的辅助手段，千万不可为了多媒体而多媒体.

3 在具体的演绎推理中加强手工实验操作

波利亚认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西.由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学”．数学基础教育既要重视数学内容形式化、抽象化的一面，又要重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面，全面提高学生的数学素质．

“强调本质，注意适度形式化”是此次高中数学课程改革的一个基本理念．但形式化是数学的基本特征之一，学会形式化的表达是数学教学的一项基本要求．所谓形式化的表达无非就是演绎推理的具体体现，当学生遇到一个立体几何问题时，会对其图形的空间构成一时无法在大脑中呈现，此时通过手工实验是解决问题的一种有效手段.

案例22009年浙江省数学高考理科试题第17题.

如图5，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是________．

图5

此题以折叠为大背景，但命题者将固定的折叠模式改成了动态(即折痕AF的变化)的折叠．事实上，学生只要将自己的草稿纸折叠一下(现场确实也有学生这么做)，就会发现此题是将立体几何的三角关系(cosα·cosβ=cosγ)中的3个角处在“反置”的背景下.

总之，在实施立体几何教学过程中，需要学生手工实验操作，教学时机比比皆是，譬如研究几何体的表面积、截面等等.教材的编写本身基于培养学生的自主设计、自主探索、自主归纳和总结，立足于培养学生的思维和能力．诚然，制作模型与实验操作过程需要花费一定的教学时间，有时甚至会影响一堂课的教学任务，但这都只是暂时的.只要教师立足学生的发展，在课堂上作适时、必要的引导，再以多媒体辅助，这样会使教学内容更充实、更形象，必定会提高学生的学习效率．另一方面，给学生手工实验操作的机会，它不仅能唤醒学生的主观能动性，使学生的情感得以交流，个性得到张扬，而且也使学生的主体地位得以实现．

教师教得轻松活泼，学生学得扎扎实实，这不就是新课程所倡导的吗？动手学几何，何乐而不为呢？

[1] 徐利治.徐利治谈数学方法论[M].大连:大连理工大学出版社，2008.

[2] 波利亚.怎样解题：数学思维新方法[M].上海:上海科技教育出版社，2007.