一道“高难度”中考压轴题探析

☉湖南省常德市芷兰实验学校初中部 陈金红

一道“高难度”中考压轴题探析

☉湖南省常德市芷兰实验学校初中部 陈金红

陈金红，男，1968年生.中学数学高级教师，湖南省教育学会中学数学专业委员会会员.在 《中学数学》、《中学数学教学参考》、《中国数学教育》、《中学数学研究》、《湖南教育·数学教师》、《中学数学杂志》、《中学生数学》、《数理天地》、《教育科学论坛》、《中小学数学》发表数学教育教学专业论文数篇.曾荣获湖南省常德市优秀青年骨干教师称号，在全国初中数学竞赛中辅导学生数人次获得全国一、二、三等奖，多次荣获全国初中数学竞赛优秀教练员称号.湖南省教育学会课题NH4—21主要参研员，多篇相关论文获省级一、二等奖.主要研究方向：初中数学教育教学、中考数学、初中数学竞赛.

通观2011年全国各地中考数学考试题，紧跟时代步伐，唱响时代旋律、反映社会风貌的试题层出不穷，可谓精彩纷呈！本文仅就浙江湖州市第24题第3小问作一探析.

“如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0，m）是线段OC上一个动点（点C除外），直线PM交AB的延长线于点D.

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△ADP是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）.当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长（不写解答过程）.

一、第3小问这道“高难度”题为何而“高”

首先出题者可谓良苦用心，“不写解答过程，请直接写出点H所经过的路径长”.可猜呀！再就是公布的参考答案却没有过程；过程复杂，线路多，不如不写，言外之意考考你，会吗？！

二、如何解答？作如下探析

（1）过点P、M、B的抛物线，其中点M、B是定点，仅点P是有范围运动的动点.又定点M、B的纵坐标相同，均为2，故抛物线的对称轴是线段MB的垂直平分线，即x=，始终不变.

（3）一般地，P点从线段OC上的点O向点C运动（点C除外）时，抛物线被x轴截得的线段长度逐渐增大，从而直线ME与x轴的锐角夹角∠MEO逐渐变小，于是由“过点O作直线ME的垂线，垂足为H”可知，∠HOE逐渐变大，（因Rt△OHE中两锐角∠HEO、∠HOE互余！）故有垂足H点逐渐“升高”的态势！于是告知须找出点H的“开始”与“结束”的“两端”位置！显然点P在O点时产生的垂足H是“开始”位置！

（5）最后重心落在点H所经过的路径的“结束”点上：由⑷知，⊙O′上的点不全是H点，其中⊙O′与y轴的交点（见图3）不能当H，否则由∠OHM=90°⇒直线ME∥x轴（因∠yOx=90°），使得与“过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E”条件矛盾了！

三、简评

第3小问本质上是一个已移到高中再讲的轨迹问题.本小题考察了抛物线、正方形与圆的基本知识、对称性知识、弧长公式、圆周角与圆心角关系、直径所对的圆周角是直角、勾股定理等知识；考查了运动与静止、特殊与一般、猜想与分类、综合与反证法等主要数学思想方法，是一道高水平的好压轴题！

1.2011年全国各地中考数学试题.

2.2000年全国各地中考数学试题评析.中学数学教学参考（初中）（杂志上多篇文章）.