例析“三线”问题中的数学思想

☉江苏高邮市龙虬初中 王麦香

例析“三线”问题中的数学思想

☉江苏高邮市龙虬初中 王麦香

“三线”（线段、射线、直线）是最基本的几何图形，是学好几何知识的重要基础，它们的应用十分广泛，对于初学者来说也是一个难点.因此同学们在学习时，不仅要理解概念，灵活运用，还应当体会其中所蕴含的数学思想方法.

一、数形结合思想

例1 在数轴上的点A、B位置如图1所示，则线段AB的长度为（ ）.

图1

A.-3 B.5 C.6 D.7

解：线段AB的长度就是点A与点B分别到原点的距离之和，即2的绝对值与-5的绝对值之和，故答案选D.

评注：这道例题既考查了线段的和、差关系，又反映数轴与绝对值的几何意义，充分体现了数形结合的思想.

二、分类讨论思想

例2 已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.

评注：分类讨论思想方法是初中数学的重要内容，漏掉第二解是本题最容易出错的地方，要全面考虑C点是在线段AB上，还是在AB的延长线上，对所出现的位置关系进行讨论.同时要认识到本题最根本的错因是未分清“线段AB”和“直线AB”两个概念，因此，同学们今后要在基本概念的准确性上下功夫.

三、转化思想

例3 如图4，是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，在A处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点.请你结合圆锥的侧面展开图，设计一条最短路线.

解：将圆锥体的侧面的展开如图5所示，点A是弧线的中点，连接EA，那么线段EA就是蚂蚁爬行的最短路线.

评注：在立体图形中研究两点之间的最短路径时，通常把立体图形的表面展开，转化为平面图形中的两点间的距离问题.

四、归纳思想

例4如图6所示.（1）当直线上有4个点时，数一数共有几条不同的线段.（2）当直线上有n个点时，想一想共有几条不同的线段.

解：（1）图中有6条线段，按照一定顺序依次数，分别是线段AC、线段AD、线段AB、线段CD、线段CB、线段DB.

图6

评注：本题要按照一定的顺序进行计数，要求做到不能重复和漏数，找出计数的规律，归纳出计数公式，这个公式同样适用于数角、数交点等等，同学们不妨试试.

五、方程思想

例5 如图7，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是线段AD的中点，CD=8，求MC的长.

图7

评注：本题在求解线段的长度时，通过设出未知数，根据已知与未知之间的等量关系，用方程解决问题，体现了方程的思想.使实际问题方程化，这一思想方法是初中数学常用方法，同学们在今后的学习中将渐渐体会到.