初中数学对称性解题方法探讨

☉广东省深圳市南山区桃源中学 谭炜东

1.引言

20世纪德国著名数学家赫尔曼·外尔说过：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它的根本.”初中数学题目中有不同类型的对称，像代数中，有对称多项式、对称方程式、对称恒等式、对称不等式等；而几何中，有等腰三角形、正方形、平行四边形、圆柱、球等轴对称图形和中心对称图形.不仅如此，在一些数学问题中还会潜在涉及到对称，像数学题目中往往存在关系、逻辑、位置等的对称.在分析、解决与对称相关的数学题时，就可以运用对称思想来解题，不仅可以避免思路、步骤的烦琐，使解题又快又简，还能发散学生的思维，提高学生的动脑能力.

2.对称思想

数学中的对称法，就是依据对称原理，应用抽象或者形象思维，建立具有对称特点的数学模型、几何图形或者代数表达式，在代数和几何解题中发挥着重要的作用.古希腊的雕塑家波利克里托斯在公元前五世纪最早提出了对称这个名词，后来毕达哥拉斯、弗赖、赫尔曼·外尔、徐一鸿等都从不同角度给出了各自的解释.

数学中的对称一般是指代数对称和几何对称.伟大的数学家泰勒斯在公元前就提出了“圆的直径将其平分”、“等腰三角形的两个底角相等”等，这在我们目前的初中数学中已经是作为定理来使用的，但是在公元前泰勒斯就意识到这种对称的思想，并且用论证的方法证明这些命题的正确性.我国的张奠宙教授就从对称的视角出发，列举了中学数学中关于对称的例子，像（a+b）n=a·n+b·n，a+b=b+a等.

3.对称法在初中数学解题中的应用

目前，在代数和几何的解题过程中，都运用了大量的对称思想.下面就初中数学中比较典型的对称问题进行解释分析，探讨如何在代数和几何解题中运用对称思想的.

3.1 对称法在代数中的应用

（1）运用对称求最值

例1 已知a>0，b>0，且z=ab，则当a+b=2时，求z的最大值.

分析：首先寻找解题的关键点.本题中的关键就是条件a+b=2，a与b的和是一个定值，那么就会想到当a大时，b就小；b大时，a就小；或者a、b是相等的，即a、b在关系上是对称的.其次，寻找到解题点后，就开始思考如何能恰当地利用a、b的对称来解题.因为a、b的和是2，那么让a=1-r，则b=1+r，这样就能合理应用a、b的对称性.最后，z=ab=（1-r）（1+r）=1-r2，而r2是永远大于等于零的，所以只有r=0的时候，z的值最大，z=1.

解：设a=1-r，b=1+r，所以z=ab=（1-r）（1+r）=1-r2.

而r2≥0，所以z=1-0=1，可知z的最大值是1.

（2）运用对称证明不等式

例2 已知0

分析：通过观察，发现这个式子有对称存在，所以要证明整个不等式成立，只需要证明或者即只需要证明其中一个式子成立即可.接下来考虑怎么创设条件，证明成立.

3.2 对称法在几何中的应用

图1

（1）运用对称证明两个角之间的关系

例3 如图1，AD是锐角三角形ABC的高，其中AB+BD=CD，求证∠B=2∠C.

分析：这个证明题中，只有AB+BD=CD和AD是高这两个条件，那么可以思考是否能根据对称创设另一个关于线段的关系，可以相互替代，从而证明角之间的关系，并且∠B和∠C也能联系起来.因此，可以考虑做AB关于高AD的对称线AE，创建一个轴对称图形，那么AB=AE，则可以知道AE+BD=CD.又因为轴对称，所以BD=DE，因此，AE+DE=CD，所以AE=EC，进而得出∠EAC=∠C，∠AEB=2∠C.最终∠B=2∠C的结论就可以成立了.

图2

（2）运用对称求代数几何相结合的问题

例4 如图2，在△ABC中∠A=90°，点D为BC中点，点E、F分别在AC、AB上，且∠EDF=90°，试说明：BF2+CE2=EF2.

分析：要求证明三角形中边的关系，并且三条边不在一个三角形中，因此，考虑如何创设一个三角形，并且利用边角的关系来证明.如图2，延长FD，作FD=DG，又因为BD=CD，可以发现三角形BDF和三角形CDG全等，所以GE=EF，BF=CG，进而再通过直角三角形中角的关系，证明ECG是个直角三角形，最终就可以证明结论的成立.

4.结论

综上所述，在数学解题过程中如果合理的使用对称法，不仅可以使问题得到简化，还能发散学生的思维，提高学生的创造力.因此，教师在平时的教学中，要重视和提高学生对称性思维解题的能力.