中考数学探究规律题型解法初探

☉江苏省扬州市江都区实验初中 姚 凯

近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力.题目一般分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律.这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律.是中考的一个难点，越来越引起考生重视.

所谓规律探究型问题，就是根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型.

下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析.

一、规律探索型问题的分类

1.数列、代数式运算规律猜想型探究题

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴涵的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.

如：有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，那么第n个单项式是_______.

例1 （2011年湖南益阳，16题）观察下列算式：

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

……

（1）请你按以上规律写出第4个算式.

（2）把这个规律用含字母的式子表示出来.

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.

解：（1）4×6－52=24－25=－1.

（2）答案不唯一.如n（n+2）－（n+1）2=－1.

（3）n（n+2）－（n+1）2=n2+2n－（n2+2n+10=n2+2n－n2－2n－1=－1.

猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.

2.图案变化规律探究题

图案变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能力，题型可涉及填空、选择或解答.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.

例2 如图1是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.

图1

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_________块石子.

答案：n（n+4）.

例3 （2011年浙江省，10题）如图2，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）.

A.28 B.56 C.60 D.124

图2

答案：C.

图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想.

3.几何变化规律探究题

观察几何图形，根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变化和所求的结果、归纳总结发现规律.

例4 对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=_____________.

图3

分析：几何变化规律探究题往往是根据计算推理、验证.

如图3，连接A1C，因为A1B=2AB，根据等高求面积，得到S△A1BC=2S△ABC，

同理S△A1B1C=2S△A1BC，所以S△A1B1B1=6S△ABC，S△C1B1C=6S△ABC，S△A1C1A=6S△ABC.

所以S△A1B1C1=19S△ABC，根据推理运算，不难计算出S5=195=2476099.

二、规律探索型问题常用解法

1.抓住条件中的变与不变

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.

例5 观察下面两行数：

2，4 ，8 ，16 ，32，64，..（1）

5，7 ，11 ，19 ，35，67，..（2）

根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程）

解：第一组可以看出是2，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2+3，则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相加得2051.

2.化繁为简，转形为数

有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.

例6（2011年内蒙古乌兰察布）将一些半径相同的小圆按如图4所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有_________个小圆.（用含n的代数式表示）

图4

通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律.

3.寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.

例7（2011年玉林市中考）“观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：

从第1个球起到第2004个球止，共有实心球________个.

解：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○.每个循环节里有3个实心球.我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数.因为2004÷10=200（余4）.所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球.200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球.所以，一共有602个实心球.

规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法.它既能充分地考查学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考查学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识，因而成为中考的热点.这就启发广大数学教师必须注重过程教学，用科学的方法引导学生亲身参与、经历探索规律的过程，在这样的过程中让学生认识数学之美，感受探索的愉悦，逐步培养学生的独立探究能力.