多频激励Duffing-van der Pol 系统振动状态研究

赵志宏，张 明，杨绍普，邢海军

(1.石家庄铁道大学 信息科学与技术学院，石家庄 050043;2.石家庄铁道大学 机械工程学院，石家庄 050043)

非线性系统的分岔与混沌的研究自20世纪80年代就引起了人们的广泛关注，已取得大量的研究成果。许多典型的例子具有相同或相似的非线性动力学行为，对这些行为的研究是非线性动力学的主要课题。Duffing方程作为典型的非线性动力学模型，是研究重力摆和端部有集中质量的弹性梁的典型例子，而van der Pol系统是自激系统的例子。为了得到更多的动力学行为，人们开始研究在非线性振动系统的模拟中有广泛应用的Duffing和van der Pol方程的组合Duffingvan der Pol方程，在对此系统的研究中，大多数研究的是单频激励下某一参数变化的振动状态［1］，在实际工程中，外部激励多为多频激励，即系统存在两个或两个以上的激励源，或者是机械运动导致路面对系统产生的激励加上机械本身的动力系统产生的激励所形成。多频激励产生的混沌行为往往会导致系统振荡或不规则运动，甚至会使系统彻底崩溃。因此，有必要研究多频激励对系统振动状态的影响，这对解决工程实际问题也有很大的帮助。

杨德森等［2］研究了多频激励Duffing系统的振动状态，本文主要对Duffing-van der Pol系统进行研究，Duffing-van der Pol系统已经作为物理学、电子学、机械工程学等许多领域的研究模型。例如，用于模拟流量导致的结构的振动问题。人们对Duffing-van der Pol系统进行了大量的研究工作［3－6］，Maccari［5］利用渐进摄动法研究了Duffing-van der Pol系统的主共振，给出了产生倍周期运动的充分条件。董建宁等［6］利用数值方法研究了多频激励作用下Duffing-van der Pol的系统参数对近似解幅频曲线的影响，并利用奇异性理论得到了系统的全部分岔响应曲线。本文对比研究了多频激励幅频曲线与单频激励幅频曲线，利用多尺度法分析Duffing-van der Pol系统在多频激励下的主共振幅频特性，并通过数值仿真研究了Duffing-van der Pol系统在不同多频激励对振动状态的影响。

1 多频激励Duffing-van der Pol系统的解析分析

Duffing-van der Pol系统在两个频率的激励作用下的运动方程为［7－8］:

其中:ω0为系统的固有频率，β为非线性阻尼系数，F1，F2，ω1和ω2分别为两个外激励的幅值和频率，ε为小参数。如果系统阻尼较小，这时很小的激励幅值F1也会激发出强烈的共振，因此研究主共振时要对系统的外激励幅值和频率加以限制。本文主要研究主共振时系统的振动状态，对方程(1)进行如下变换:

则变换为:

运用多尺度法得到方程(3)的平均方程为:

其中:

当系统作定常运动时，有a=0，φ=0，此时:

方程(5)消去φ，可以得到:

方程组(6)得到的是Duffing-van der Pol系统在多频激励条件下，作定常运动时的主共振幅频和相频特性。通过对式(6)进行大量的数值仿真得到，系统主共振的解有多值特性，在一定的频率范围内，幅频方程具有不稳定解。不稳定的解出现在中间解，稳定解出现在两边较大或较小的解处。通过系统主共振幅频特性曲线，能够分析出多频激励参数对系统振动状态的影响。

2 多频激励Duffing-van der Pol系统主共振状态的幅频特性曲线分析

选取Duffing-van der Pol系统(1)的一组参数为:α=5，f=1，β =0.3，ω0=1，F2=0，ω2=0。图 1 给出了不同激励条件下系统的主共振幅频响应曲线。对比在不同参数下的主共振幅频响应曲线，可以得到各参数对系统振动状态响应的影响。

首先，考虑多频激励幅值参数的变化对系统主共振幅频特性的影响。图1(a)中虚线表示的是Duffingvan der Pol系统受到单频激励F1cos(ω1t)作用下的主共振幅频响应曲线;两条实线表示的是，系统在两项外部激励作用下的主共振幅频响应曲线，选取的参数为F2=2，ω2=2 和F2=3，ω2=2。由图1(a)可知，与单频激励条件下系统的主共振振幅相比较，加入第二项激励F2cosω2t以后，系统的振动状态会改变，并且随着外激励的振幅的增大，系统振动状态的改变越大。

系统在两个频率外激励作用下主共振曲线和系统的共振域发生变化，主共振曲线向右发生移动。随着第二项外激励幅值的增加时，系统幅频响应曲线偏移量变大，系统的幅值相应变小。

接着研究多频激励频率参数对系统振动状态的影响。图1(b)中虚线表示的是单频激励条件下，Duffingvan der Pol系统主共振幅频响应曲线;两条实线表示的是，系统在两个频率外部激振作用下的主共振幅频响应曲线，选取的参数为 F2=2，ω2=2和 F2=2，ω2=1.5。从图中可以得到，当外激励频率ω2变大，且与ω1越接近时，幅频曲线的偏移量越大，系统的共振域改变也相应越大，系统的幅值变化越大。相反，当外激励频率ω2继续变大，且与ω1相差越来越多时，幅频曲线的偏移量越小，系统的共振域改变也相应越小，系统的幅值变化越小。

通过分析可知，与单频激励相比，多频激励的加入使主共振曲线也相应的发生变化，即影响到系统振动状态的变化。而且，当系统加入外激励以后，系统的振动状态会改变，并且随着外激励振幅越大，系统振动状态的改变越大;当加入多频激励的频率与原频率接近时，系统可能发生共振，导致系统的振动状态变化明显。换句话说，加入多频激励的频率与原频率相差的越大，系统的振动状态改变的越小，越接近原来的运动状态。

图1 Duffing-van der Pol系统主共振幅频响应曲线Fig.1 Curve of amplitude-frequency response characteristics of Duffing-van der Pol system

3 数值分析

分岔是当系统的参数发生变化时，对于一定的参数值，系统(方程)的解失去稳定性而同时出现两个或多个解的现象。本文采用最大值法画出分岔图，并计算相应条件下的Lyapunov指数谱。分别在单频激励和多频激励条件下，对Duffing-van der Pol系统的运动状态进行分析。非线性系统的振动状态具有十分复杂的动力学特性，可以用最大Lyapunov指数表示系统振动状态空间轨迹的发散率，如果Lyapunov指数为正，意味着在系统的相空间中，无论初始两条轨迹的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测，系统运动具有混沌特征［9］;若为负值则系统对初值不敏感，系统运动收敛到平衡点。Duffing-van der Pol系统一阶微分方程如下式所示［10］:

利用 F1作为分岔参数，参数选取 ω1=1，应用MATLAB求解式(7)，采用最大值法画出分岔图如图2、图3、图4 所示。

图2(a)是单频外激励条件下ω1=1振动状态随激励幅值F1变化的分岔图，图2(b)是单频激励下振动状态随激励幅值F1变化的Lyapunov指数曲线，从Lyapunov指数曲线图中，可以清楚地看到与分岔图所揭示的系统状态一致的变化规律。当F1在0到3，4到6，9到12时，系统的振动主要处于混沌状态，此参数区内的Lyapunov指数多为大于零的值，说明此时系统振动状态不稳定。3到4，12到15时，系统比较稳定，其运动收敛到平衡点。

图2 单频激励Duffing-van der Pol系统的分岔图和Lyapunov指数曲线Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under single-frequency excitation

图3 多频激励Duffing-van der Pol系统的分岔图和Lyapunov指数曲线Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under multi-frequency excitation

图4 多频激励Duffing-van der Pol系统的分岔图和Lyapunov指数曲线Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents of the Duffing-van der Pol system under multi-frequency excitation

图3(a)是系统多频激励条件下振动状态随激励幅值F1变化的分岔图，图3(b)是多频激励下振动状态随激励幅值F1变化的Lyapunov指数曲线，与单频激励ω1=1相比，系统增加了 F2=2，ω2=0.9的外激励项。可以看出ω2与ω1很接近时，系统在绝大部分区域呈现出来的混沌状态，说明此系统与单频激励的系统相比系统稳定性大大减弱了。多频激励对系统的振动状态的影响比较明显。图3与图2的差异性是因为当ω1=1，F2=2，ω2=0.9 时，频率接近，系统可能发生共振，振动最强烈，所以系统的振动状态改变明显。

图4(a)是多频激励条件下振动状态随激励幅值F1变化的分岔图，图4(b)是多频激励下振动状态随激励幅值F1变化的的Lyapunov指数曲线，与单频激励ω1=1相比，系统增加了F2=2，ω2=10的外激励项。从Lyapunov指数曲线图中，可以看到与图2(a)分岔图所揭示的系统状态一致的变化规律。当F1在0到3，4到6，9到12时，系统的振动主要处于混沌状态，此参数区内的Lyapunov指数多为大于零的值，说明此时系统振动状态不稳定。3到4，12到15时，系统比较稳定，其运动收敛到平衡点。通过图4和图2系统的分岔图和Lyapunov指数曲线可知，两种激励条件下，在各参数的区间上Duffing-van der Pol系统的振动状态基本相同，也就是说所加入的外激励项对系统振动状态改变较小。这种情况是在两个外激励的频率相差较大时出现的，与上面的解析分析的结果相符。图4与图2一致性的原因是当ω1=1，F2=2，ω2=10时，频率相差较大，系统不会发生共振，所以系统的振动状态改变不明显。

4 结论与展望

本文通过分析多频激励对Duffing-van der Pol系统的振动状态的影响可知，幅频特性曲线、分岔图、Lyapunov指数曲线可以表示系统的振动状态。并且随着两个激励项的振幅和频率的改变，系统的振动状态呈现出一定规律的改变。与杨德森等人提出的多频激励Duffing系统相比，Duffing-van der Pol在加入多频激励时幅频特性曲线更复杂，除了发生平移，幅值还发生了一定规律的减小，即减小幅值的一种方法。Duffing-van der Pol系统在加入的多频激励的幅值较大和加入的多频激励的频率与单频激励的频率相差较小时，系统的振动状态改变的越大。通过数值仿真可知，以上两种情况与解析得出的结论比较一致。

本文利用 MATLAB对Duffing-van der Pol系统的主共振的幅频响应特性进行了研究，Duffing-van der Pol系统的次共振情况还有待进一步研究。

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