基于自适应多尺度形态梯度与非负矩阵分解的轴承故障诊断

刘东升，李 元，杨博文，张 帅，李 兵

(1.军械工程学院四系，石家庄 050003;2.武汉军械士官学校弹药导弹系，武汉 430075)

作为机械设备中应用最为广泛的部件之一，滚动轴承的状态监测及故障诊断一直受到广大科技工作者的重视。在众多的轴承故障诊断技术中，振动信号分析方法是目前应用最为广泛和有效的方法之一［1－3］。

滚动轴承的故障诊断过程实质上就是一个模式识别的过程，而振动信号处理与特征参数提取是实现轴承故障诊断的关键与核心。信号处理的目的是降低原始振动信号中噪声及其他无关分量的干扰，以增强信号中能够反映轴承状态的信号分量的检测能力;特征提取的目的是将高维空间的数据映射到低维特征空间，且低维空间中的数据最大可能地保存被压缩数据的信息。

近年来，传统的傅里叶频谱分析、包络解调分析、小波分析、经验模态分解和统计特征参数、分形维数、时间序列建模等信号处理与特征提取方法已经在轴承故障诊断中得到了广泛的应用［4－9］，取得了较好的效果。

笔者在前期工作中研究了自适应多尺度形态梯度(AMMG)方法在轴承轮信号处理中的应用［10］，结果表明，自适应多尺度形态梯度变换在抑制噪声的同时，较好的保持了信号细节，且计算简单、快速，是轴承故障信号处理的一种十分有效的方法。但经处理后的信号空间维数仍然非常高，不能直接用来进行分类。为节省存储空间，降低计算复杂度，避免“维数灾难”，必须对信号进行进一步的特征提取。

因此，本文提出在采用AMMG对轴承振动信号处理基础之上，进一步采用非负矩阵分解技术(NMF)对处理后的信号进行压缩，计算用于轴承故障诊断的特征参数。采用实测的轴承在七种状态下的振动信号对本文提出的信号处理与特征参数计算方法进行了验证，并与传统的方法进行了对比。

1 自适应多尺度形态梯度变换

有关数学形态学、形态梯度和多尺度结构元素的详细描述可参见文献［10］，这里就不再赘述。

自适应多尺度形态梯度变换的主要思想是利用大小不同的结构元素提取信号冲击特征，小尺寸的结构元素去噪声能力弱，但能保留到好的信号细节，大尺寸的结构元素去除噪声能力强，但会模糊信号边界，因此将各种不同尺度下的信号结合起来可提取出较理想的冲击特征。

首先采用多尺度结构元素分别对信号进行形态梯度变换，得到s个尺度下系列处理信号:

然后运用多尺度合成算法得到最终的梯度信号:

其中:ws为各尺度信号的权重，其计算过程如下，首先计算各尺度下的形态梯度信号fgs，计算fgs与原信号之间的差值:

则ws可由下式所得:

由式(3)、式(4)可以看出，小尺度下信号的权重较小，大尺度信号权重稍大，由此即可保持细节又可有效的抑制噪声。

2 非负矩阵分解

虽然自适应多尺度形态梯度能够有效的提取出原始信号中包含的故障信息，但处理后的空间维数仍然非常高，不能直接用来进行分类。为节省存储空间，降低计算复杂度，避免“维数灾难”，必须对信号进行进一步的特征提取。

非负矩阵分解(NMF)算法是由Lee等［11］在Nature上提出的一种新的特征提取方法。非负矩阵分解的心理学和生理学构造依据是:对整体的感知是由对组成整体的部分的感知构成的(纯加性的)，这也符合直观的理解:整体是由部分组成的，因此它在某种意义上抓住了智能数据描述的本质。此外，这种非负性的限制导致了相应描述在一定程度上的稀疏性，稀疏性的表述已被证明是介于完全分布式的描述和单一活跃分量的描述之间的一种有效数据描述形式。非负矩阵分解算法实现简便，分解的结果中不出现负值，具有可解释性和明确的物理意义，以及占用存储空间少等优点，已经引起许多科学家和研究人员的广泛重视。

2.1 非负矩阵分解主要思想

非负矩阵分解的主要思想为:已知非负矩阵V，寻找适当的非负矩阵因子W和H，使得:

即给定数据向量集合Vn×m，其中n为数据样本的维数，m为集合中数据样本的个数，这个矩阵可以近似的分解为矩阵Wn×r和矩阵Hr×m的乘积。一般情况下，r的选择要满足(n+m)r＜nm，从而W和H的维数都会小于原始矩阵V，由此可得实现对原始数据维数压缩。

2.2 非负矩阵分解的算法实现

Lee等［12］提出了简化的计算非负矩阵分解的两种算法。一种算法以最小化剩余的Frobenius-Norm为目标函数，另一种算法则是以最小化修正的Kullback-Laebler散度为目标函数。

本文采用最小化修正的Kullback-Laebler散度为目标函数，给定非负矩阵 Vn×m，寻找矩阵 Wn×r和矩阵Hr×m，使得矩阵 V和矩阵 WH 的Kullback－Laebler散度最小，因此非负矩阵分解算法可转化为如下的带约束的优化问题:

Lee等提出了采用乘性迭代规则对上述优化问题进行求解，为了消除尺度对于基矩阵的影响，对基矩阵W限制其L－1范数为1。

对应于式(6)的乘性迭代规则为迭代公式如下所示:

由式(7)－式(8)可以看出，在上述算法的每一步迭代过程中，W和H的新值可以通过其当前值与一些因子的乘积来获得，式(9)保证了基矩阵的范数为1。Lee和Seung对算法的迭代规则的收敛性进行了证明，从理论上保证了算法的收敛性。

3 轴承故障信号分析

为验证提出的信号处理和特征提取算法的有效性，本文采用实测的轴承故障信号进行分析。试验数据来自于美国Case Western Reserve University(CWRU)所建立的轴承数据中心网站。

图1 轴承在七种状态下的振动信号时域波形Fig.1 Vibration signals from bearing under seven states

本文将轴承状态分为七类，分别为正常、滚动体轻微损伤、滚动体严重损伤、内圈轻微损伤、内圈严重损伤、外圈轻微损伤和外圈严重损伤，局部损伤故障采用电火花机分别在滚动体、内圈和外圈表面加工制作，轻微损伤故障地损伤直径为0.007 in(0.178 mm)，严重损伤故障损伤直径为0.021 in(0.533 mm)，试验中载荷为0 hp，转速为1 797 r/min，采样频率为12 000，采样点数为6 000。试验中在每种轴承运行状态下采集20个样本，共140个轴承振动信号样本。

图1为轴承在七种状态下的时域波形。

3.1 轴承故障信号的自适应多尺度形态梯度处理

图2为采用尺度为1∶11共11个尺度下的结构元素对轴承振动信号进行AMMG分析的结果。图3给出了对应的频谱。

图2 轴承在七种状态下的振动信号AMMG处理结果Fig.2 Vibration signals from bearing under seven states processed by AMMG

图3 轴承在七种状态下的振动信号AMMG处理后对应频谱Fig.3 Frequency spectrums of vibration signals from bearing under seven states processed by AMMG

由图2可以看出，AMMG能够非常有效地提取出轴承故障信号中的周期性脉冲信号，极大的降低了噪声的干扰，其对应的频谱图3中能够非常明显的看出不同的故障部位所对应的特征频率，比如内、外圈故障的特征频率162 Hz和108 Hz非常明显，但滚动体故障信号的特征频率不是很明显。

从图3中还可以发现，当轴承发生严重损伤时，会引起转频对特征频率的调制，而且转频30 Hz本身也非常明显，这是严重故障与轻微故障最明显的区别。

3.2 基于非负矩阵分解的特征参数提取

由于轴承故障信号在频域内更加具有可区分性，因此在采用AMMG对原始轴承故障信号进行处理后，进一步采用快速傅里叶变换技术将信号变换至频域;在频域选取0～750 Hz范围作为分析范围，这样就得到一个375×140的样本集。

每类状态下选择5个样本作为训练样本，这样可得到训练矩阵X375×35，图4给出了轴承故障信号经AMMG处理后的训练样本向量集，图中每行对应轴承的一种状态。

首先采用PCA对X进行分解以初始化基向量矩阵和编码矩阵，基向量秩根据PCA分解定，由于前30个特征值的累积贡献率超过了99%，因此本文选择r=30，由此可得到基向量矩阵 W375×30和编码矩阵 H30×35。图5为非负矩阵分解后得到的基向量集，对应于基向量矩阵W375×30;图6为编码向量集，对应于编码矩阵H30×35，图6中各子图与图 4中各子图为一一对应关系。

图4 非负矩阵分解的训练集(每行代表一种轴承状态)Fig.4 Training samples for NMF(Every row represents one state)

对于训练样本来说，可用编码矩阵对其进行描述，对于剩余的测试样本Xtest，可用下式得到编码矩阵:

即样本向基向量矩阵的投影系数作为编码矩阵。

图5 非负矩阵分解得到的基向量Fig.5 Basis vectors obtained by NMF

图6 非负矩阵分解得到的编码系数(每行代表一种状态)Fig.6 Coding coefficients obtained by NMF(Every row represents one state)

由此可得到基于AMMG和NMF的描述轴承故障信号的特征参数集，记为FAMMG_NMF。

为证明提出的特征提取方法的有效性和优越性，本文还采用广泛应用的小波分析和统计特征来提取信号的特征，本文采用的统计特征参数包括四个有量纲统计特征参数(均值、标准差、均方根和峰－峰值)和六个无量纲特征参数(偏度、峭度、峰值指标、脉冲指标、波形指标和裕度指标)。首先采用常用的’db5’小波对信号进行三层分解，然后计算各层分解系数的统计特征参数，共40个特征参量，将其记为FWAV_STAT。

3.3 轴承故障诊断

为验证结果的通用性，我们采用三种常见的分类器，即最近邻分类器(KNNC)、朴素贝叶斯分类器(NBC)和支持向量机分类器(SVM)和前述的两个特征集对七类轴承状态进行分类，这三种分类算法均采用Matlab 工具箱 PRTools 4.1［13］实现，在试验中各种分类器均采用工具箱默认的参数。

在分类试验中，每类状态下随机选择10个样本作为训练样本，剩余的10个样本作为测试样本。为保证结果的有效性，将此随机选择过程重复20次，并将20次运算结果的平均值作为评价标准。

表1给出了各特征子集的分类精度。

表1 各特征子集的轴承故障诊断精度Tab.1 The accuracy of bearing fault diagnosis by different feature subsets

由表1可以看出，在轴承故障诊断中，本文所提出的基于多尺度形态梯度和非负矩阵分解的特征子集取得了比传统的统计特征参数更高的分类精度。

此外，形态学计算只涉及简单的加减运算，非负矩阵分解技术采用乘性迭代规则也能够快速收敛，因此本文提出的信号处理与特征提取方法的计算代价可满足实际的工程需要。

4 结论

(1)自适应多尺度形态梯度综合利用小尺度下能保留信号细节和大尺度下抑制噪声能力强的优点，能够最有效的保留信号中的冲击特征信息同时抑制噪声;在轴承故障信号中的应用表明自适应多尺度形态梯度能够在强噪声背景下有效地提取振动信号中能够反映轴承故障状态的冲击特征;

(2)在自适应多尺度形态梯度对轴承振动信号处理的基础上，采用非负矩阵分解技术对信号进行特征参数提取，实际的故障诊断结果表明，与传统的信号处理与特征提取技术相比，本文提出的基于自适应多尺度形态梯度与非负矩阵分解的特征参数具有更高的分类精度。

［1］Tandon N，Choudhury A.A Review of vibration and acoustic measurement methods for the detection of defects in rolling element bearings［J］.Tribology International，1999，32(8):469－480.

［2］Carden E P，Fanning P.Vibration based condition monitoring:A review［J］.Structural Health Monitoring，2004，3(4):355－377.

［3］Orhan S，Akturk N，Celik V.Vibration monitoring for defect diagnosis ofrolling elementbearings as a predictive maintenance tool:Comprehensive case studies［J］.NDT and E International，2006，39(4):293 －298.

［4］Tandon N.A comparison of some vibration parameters for the condition monitoring ofrolling elementbearings［J］.Measurement，1994，12(3):285 －289.

［5］Baillie D C，Mathew J.A comparison of autoregressive modeling techniques for fault diagnosis of rolling element bearings［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1996，10(1):1 －17.

［6］Rubini R，Meneghetti U.Application of the envelope and wavelet transform analyses for the diagnosis of incipient faults in ballbearings［J］. MechanicalSystemsand Signal Processing，2001，15(2):287 －302.

［7］Lou X，Loparo K A.Bearing fault diagnosis based on wavelet transform and fuzzy inference［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2004，18(5):1077 －1095.

［8］Junsheng C，Dejie Y，Yu Y.A fault diagnosis approach for roller bearings based on EMD method and AR model［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2006，20(2):350－362.

［9］Yang J，Zhang Y，Zhu Y.Intelligent fault diagnosis of rolling element bearing based on SVMs and fractal dimension［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(5):2012－2024.

［10］李 兵，张培林，刘东升，等.基于自适应多尺度形态梯度变换的滚动轴承故障特征提取［J］.振动与冲击，2011，30(10):104－108.LI Bing，ZHANG Pei-lin，LIU Dong-sheng，et al.Feature extraction for roller bearing fault diagnosis based on the adaptive multi-scale morphological gradient transform［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(10):104 －108.

［11］Lee D D，Seung H S.Learning the parts of objects by nonnegative matrix factorization［J］.Nature，1999，401(6755):788－791.

［12］Lee D D，Seung H S.Algorithms for non-negative matrix factorization［J］.Advances in Neural Information Processing Systems，2001，13:556 －562.

［13］Duin R P W，Paclik P，Pekalska E，et al.4.1，A Matlab Toolbox for Pattern Recognition［M］.Delft University of Technology，2007.