基于伪寿命分布的电主轴极小子样可靠性研究

蒋 喜，刘宏昭，刘丽兰，訾佼佼

(西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安 710048)

随着科学技术的不断发展，整个社会对于机械产品的可靠性要求越来越高。电主轴作为当今世界高速加工技术领域较为典型的装备之一，对其可靠性问题进行研究必不可少。由于电主轴属于高精度、长寿命、高可靠性产品，在短时间内对其进行可靠性实验难以获得失效寿命数据。虽然传统的有故障情形下的可靠性数据处理已有一套比较成熟的方法，但这种方法只适合于样本数较多，且有部分失效寿命数据的场合。因此，针对本课题涉及到的这类无故障情形下的电主轴可靠性评估的问题，可采用基于性能退化数据的可靠性分析方法进行研究。

Lu等［1］基于疲劳裂纹增长数据提出了一种混合效果模型和两阶段非线性参数分析方法;Zehua等［2］通过估计产品的退化轨迹外推产品的失效寿命，从而为可靠性评估提供数据基础;Crk［3］提出了基于性能退化数据的多重多变量回归模型;陈振珩等［4］研究和论述了线性模型、指数模型和幂律模型等三种基于性能退化数据的常用模型。此外，文献［5－8］等也对产品的性能退化数据进行了深入的研究。基于性能退化数据的可靠性分析方法是直接把产品的可靠性和物理特性参数联系在一起，记录了未失效产品在不同时刻的性能特征，包括监测时间、退化过程和最后一次测量值与特定失效阈值之间的差距，分析时采用这些信息来估计可靠性［9］。因此，该方法比基于失效寿命数据的可靠性评估方法更为精确。此外，由于该方法在受试样本发生失效之前就对其可靠性及寿命等方面进行评估，因此极大程度地缩短了可靠性实验时间。

目前，性能退化数据的统计分析方法一般分为基于伪寿命分布、基于性能退化量分布和基于随机系数分布三种。本文采用基于伪寿命分布的可靠性分析方法对电主轴可靠性实验所获得的性能退化数据进行统计分析，以获得各个样本的伪寿命数据。同时，由于电主轴造价较高，使得实验成本较高，因此本课题涉及到的电主轴样本只有两根。针对这类极小子样的可靠性研究，为了使电主轴可靠性评估结果的准确度更高，本文同时采用虚拟增广样本法将实验样本的伪寿命数据进行虚拟扩展。在此基础上，对伪寿命虚拟增广样本进行统计分析，以获得电主轴的一系列可靠性指标。

1 电主轴性能退化机理及退化参数的选取

1.1 电主轴性能退化机理

电主轴的性能退化失效机理是错综复杂的，其可靠性与主轴材料、支承轴承的类型及安装方式等多种因素相关。对于实际工况下电主轴的性能退化失效，可针对其主要的性能退化机理进行具体分析，从而合理施加适当的应力。

本课题的研究对象是磨削电主轴，其在实际工况下承受的作用力主要包括轴端径向力、扭矩和轴向力，其中最主要的是研究磨削电主轴在轴端径向载荷作用下的可靠性问题，该载荷引起电主轴的主要性能退化机理为:在轴端径向载荷的持续作用下，电主轴连续长期的高速运转一方面会导致前后支承轴承组的磨损、疲劳破坏等一系列缺陷，另一方面会导致转轴疲劳、断裂以及其与转子之间过盈配合的松动等不良状况，这些缺陷将引起电主轴的轴端径向跳动加大、振动加剧以及噪声的增大等现象。随着电主轴运转时间的不断延长，这些因素最终将导致其轴端径向跳动量(回转误差)和振动量等物理量超出各自允许值，即超出所谓的退化失效阈值，此时则认为电主轴发生性能退化失效。此外，润滑系统的失效将引起轴承温升急剧上升，加速轴承的磨损;冷却系统的失效将引起系统温升急剧上升，使得电主轴系统工作异常，甚至导致电机烧毁等。

1.2 电主轴性能退化特征量的选取

为了在进行电主轴可靠性实验的过程中及时掌握其退化失效状况，则需要选取适当的性能指标作为性能退化特征量，当其中某一个或者若干个性能退化特征量超过性能退化失效阈值时，即认为电主轴出现性能退化失效，其可靠性实验也随之截止。因此，电主轴性能退化特征量的选取必须满足如下所述的两个条件［10］:

(1)从电主轴投入实验开始到实验终止时刻，其性能退化特征量能够呈现出一定的变化规律，能比较客观地反映出其工作状态和退化过程;

(2)电主轴的各个性能退化特征量都应该有明确的定义且能够实时测量。

在明确了电主轴性能退化机理的基础上，结合本课题所研究设计的电主轴可靠性实验平台所具备的功能，可获知能够进行实时测量的电主轴性能指标包括前后轴承组的温升值、振动量以及轴端径向跳动量，且这些指标均符合上述两个条件。本课题所研究的是磨削电主轴，其在磨削加工过程中需要保持一定的加工精度，因此其最为重要的性能指标是轴端径向跳动量，该指标同时也是最为直接地反映电主轴回转精度的特征量，因此本文选取电主轴的轴端径向跳动量作为电主轴性能退化特征量。

2 极小子样可靠性评估的基本原理及流程

2.1 伪寿命分布法的基本原理

基于伪寿命分布的退化数据可靠性评估方法是将产品性能退化量或与之相关的参数作为时间的函数(即所谓的退化模型或者退化轨迹)，利用退化方程描述伪寿命值与应力水平的关系［9］。该评估方法的基本原理和步骤如下:

(1)对所有实验样品持续进行性能退化实验，记录性能退化数据，并根据使用方的需求及国家相关标准确定性能退化失效阈值D。

(2)运用非线性最小二乘法将步骤(1)所获得的性能退化数据与常用的退化轨迹模型进行拟合，从中选择最优的退化轨迹模型，并估计模型中的未知参数。

(3)运用步骤(2)中选取的退化轨迹模型，结合步骤(1)中确定的性能退化失效阈值D，外推获得各样品的伪失效寿命。

2.2 虚拟增广样本法的基本原理

虚拟增广样本法的立论依据为:虚拟增广后的虚拟样本的均值应与原始实验样本的均值相等，而且其标准差应与类似件的样本标准差相等［11－12］。

因此，根据上节步骤(3)中获得的产品伪失效寿命原始实验数据的均值及其以往类似件实验估计所得到的分布形式和标准差，即可应用虚拟增广样本法对其进行虚拟扩展，从而得到伪失效寿命的虚拟增广样本数据。

2.3 极小子样可靠性评估流程

在上节分析的基础上，利用以往类似件实验估计所得到的分布函数及几种常见的失效寿命分布函数对伪失效寿命虚拟增广样本数据进行分布假设检验，从中选取最为合适的失效寿命分布函数，并确定该分布函数中的未知参数。最终获得产品的一系列常用可靠性指标。

3 电主轴极小子样可靠性评估

3.1 电主轴性能退化实验方案

3.1.1 实验设备及原理

本课题所进行的电主轴可靠性实验采用的主要实验设备如图1所示。

图1 电主轴实验设备Fig.1 The electric spindle test equipment

该实验平台的主要工作原理是:在接通所有设备电源之后，先启动水冷机给电主轴通循环冷却水，再通过调节变频器控制电主轴的转速达到8 000 r/min，接着启动恒流源给电磁加载装置供电，以实现对电主轴轴端加载盘施加电磁力，并根据磨削电主轴的载荷谱控制电磁加载力的大小，由此模拟电主轴在实际磨削加工过程中的磨削力。然后，在电主轴运行稳定后，每隔一段时间通过激光位移传感器和振动速度传感器分别测量电主轴轴端径向跳动量和振动速度值，从而获得一系列电主轴性能退化实验数据。

3.1.2 实验终止条件

按照国家军用标准GJB 899A－2009关于可靠性鉴定和验收实验的规定，对于定时截尾实验截尾时间的确定方法如下:

先确定平均故障间隔时间(MTBF)最低可接收值θ1和规定值θ0，它们分别指的是装备在设计定型时所规定的必须达到的使用指标和期望达到的使用指标。由θ0和 θ1可得到鉴别比 d，根据鉴别比即可从 GJB 899A－2009中选取合适的定时实验统计方案，方案确定后即可获得所有n件受试产品总的实验时间T。此外，GJB 899A－2009规定每台产品的实验时间至少应为所有受试产品平均实验时间的1/2，由此可知每台产品的实验时间t≥T/2n。因此，定时截尾实验截尾时间应不小于T/2n。

按逐次定时截尾实验原则，结合使用方的需求、国家相关标准以及电主轴实验规范，在利用上述方法规定的截尾时间内，如果在连续若干个测量时刻点所测得的实验数据均出现以下某个或某几个现象则立即终止实验:

(1)前后轴承组温升幅度超过恒定工作温度的30%，或者前后轴承组温度超过60℃;

(2)电主轴振动速度值超过1.5 mm/s;

(3)电主轴轴端径向跳动量超过其初始值的1.6倍。

若到达规定的截尾时间时仍未出现上述现象，则按照定时截尾可靠性实验原则，即刻终止实验。

3.2 基于伪寿命分布的电主轴可靠性评估

按照上述电主轴性能退化实验方案对两根磨削电主轴分别进行为期近两个月的性能退化实验，获得一系列相关的性能退化数据，其中部分退化实验数据如表1所示。

表1 磨削电主轴部分退化实验数据Tab.1 Partial degradation test data of grinding electric spindle

3.2.1 伪寿命分布法确定伪失效寿命

应用非线性最小二乘法将2个样本的性能退化数据分别与线性函数(y=α·t+β)、指数函数(y=β·eα·t)、幂函数(y= β·tα)、对数函数(y= α·ln(t)+β)、Lloyd－Lipow(y=α－β/t)五种常见退化轨迹模型进行拟合，拟合结果的图像分别如图2、图3所示。同时返回2个样本数据与各模型拟合的误差平方和及相应模型中的未知参数，如表2所示。

图2 样本1的性能退化数据拟合图Fig.2 Fitting chart of the first sample’s performance degradation data

图3 样本2的性能退化数据拟合图Fig.3 Fitting chart of the second sample’s performance degradation data

本文选用误差平方和的值作为评价各退化轨迹模型拟合优度的指标，该值越接近零说明拟合的效果越好。因此通过比较表2中各个实验样本的退化数据与各个退化模型拟合后返回的误差平方和的大小，即可确定两个实验样本的最优退化轨迹模型均为幂函数，表达式分别为:

本文选取相对失效阈值作为电主轴轴端径向跳动量的退化失效阈值，根据使用方的需求、国家相关标准以及电主轴实验规范取该值为1.6，则令各个实验样本的最优退化轨迹模型中的y值(即式(1)和式(2)中的y值)为初始值的1.6倍，即可推导出各样本的退化失效寿命(伪失效寿命)分别为2 211 h、2 863 h。

表2 样本数据与各模型拟合的误差平方和及相应模型中的未知参数表Tab.2 Sum of error squares of sample data fitting with each model and unknown parameters of corresponding model

3.2.2 伪寿命虚拟增广样本的确定

由于电主轴的支承轴承的磨损及疲劳剥落等形式的失效对于电主轴的综合性能影响较大，也较为直接，因此选用轴承作为电主轴的类似件，则确定轴承的失效分布函数——威布尔分布函数，作为电主轴的失效分布函数。

接下来将伪寿命数据进行虚拟扩展，由相关文献可知:为了更好地获得可靠性实验评估结果，虚拟增广样本数应不小于10。因此，本文选取虚拟增广样本数为13，即将原始的2个扩展为13个。

由两个伪失效寿命原始实验数据可得其均值T0和标准差σ，根据威布尔分布的密度函数形式，易知威布尔分布的密度函数是偏态的［14］，因此在进行虚拟扩展时，考虑在其均值T0的左边取8个虚拟扩展值，右边取4个虚拟扩展值，加上T0共13个虚拟扩展值，分别记为T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T11、T12、T13，其中T9=T0。则由虚拟增广样本法的立论依据可得如下方程组:

由于式(3)中只有均值T0和标准差σ是已知的，因此其关于T1～T8、T10～T13的解有无穷多组，根据威布尔分布密度函数的偏态性，可分别取 T1=0.1T0、T2=0.3T0、T3=0.4T0、T4=0.5T0、T5=0.6T0、T6=0.7T0、T7=0.8T0、T8=0.9T0、T10=1.2T0、T11=1.4T0、T12=1.6T0、

3.2.3 电主轴可靠性评估

将所获得的伪失效寿命虚拟增广样本分别用威布尔分布、正态分布和对数正态分布进行Kolmogorov－Smirnov检验，以检验上述三种分布函数的拟合优度，获得相关参数如表3所示。

表3 分布假设检验结果Tab.3 Results of the distribution hypothesis test

表中，h=0表示接受假设，h=1表示拒绝假设;p为服从假设的分布函数的概率;k为 Kolmogorov－Smirnov检验的统计量;c为决定k是否显著的临界值，当统计量k值不超过c值时，即表示接受假设;否则就表示拒绝假设。

由检验结果可知:伪失效寿命虚拟增广样本均接受威布尔分布、正态分布和对数正态分布的假设检验，但服从威布尔分布的概率最高，因此确定伪失效寿命虚拟增广样本的最优分布函数为威布尔分布，同时获得分布函数中的形状参数m和真尺度参数η分别为1.745 8、2 493.855 6，则得磨削电主轴失效分布函数F(t)和失效分布密度函数f(t)分别为:

由式(6)可得磨削电主轴的失效分布密度函数曲线，如图4所示。

图4 磨削电主轴分布密度函数曲线Fig.4 Distribution density function curve of grinding electric spindle

在上述分析的基础上，可分别获得该型号电主轴常用的可靠性评估指标如下:

① 电主轴可靠度函数为:该可靠度函数的曲线如图5所示。

图5 磨削电主轴可靠度函数曲线Fig.5 Reliability function curve of grinding electric spindle

由所获得的磨削电主轴可靠度函数曲线可知:随着使用时间的延长，磨削电主轴的可靠度也随之不断降低。

② 威布尔分布的失效率函数，即磨削电主轴的失效率函数为:

由此可得失效率函数曲线如图6所示。

图6 磨削电主轴失效率函数曲线图Fig.6 Failure rate function curve of grinding electric spindle

由图6可知:磨削电主轴的失效率函数为递增型，在运行约8 000 h的时候，其失效率达到1.7×10－3(个)/h，该值表示每10 000根电主轴工作8 000小时后只有约17根电主轴失效。而在此时间点之前，各个时刻电主轴的失效率均低于1.7×10－3(个)/h。由此可见，该电主轴的可靠性较高。

③ 平均寿命E(t)对于不可修复产品而言，即为平均故障前时间;而对于可修复产品而言，即为平均故障间隔时间。而电主轴属于可修复产品，因此其平均寿命(平均故障间隔时间)E(t)为:

式中:Γ(1+1/m)为Γ函数，该值可由文献［9］中的表2－3中查得。

结合式(6)可求得电主轴工作到平均寿命时的可靠度 R 为0.441 8。

④ 威布尔分布的可靠寿命，即电主轴的可靠寿命表达式为:

式中，R为可靠度。

当电主轴所要求的可靠度为R时，则可通过式(9)计算获得其可靠寿命tR。其表示该型号电主轴在文中所处的实际工况下连续运转时间tR之后，无论其有无发生失效都应更换新的或者进行修复。

因此，电主轴的平均寿命也是当其所要求的可靠度为0.441 8时的可靠寿命。同时，由式(10)可计算获得中位寿命 t0.5和特征寿命 t0.368分别为:即由中位寿命t0.5可知该电主轴产品中约有一半产品的寿命低于2 022 h。

4 结论

针对采用传统可靠性分析方法对电主轴极小子样的可靠性进行评估较为困难的问题，提出了基于伪寿命分布的可靠性分析方法，本文主要工作如下:

(1)分析和研究了电主轴性能退化失效机理，选取了合适的性能退化特征量，在此条件下设计电主轴可靠性实验方案并进行可靠性实验。

(2)研究了基于伪寿命分布的退化数据可靠性评估方法的基本原理，结合电主轴实验样本的实验数据，综合虚拟增广样本法对电主轴进行可靠性评估。

(3)获得失效分布函数、分布密度函数及其曲线，以及一系列可靠性指标，包括可靠度函数及其曲线、失效率函数及其曲线、平均寿命及部分可靠寿命等。

评估结果表明，该电主轴的可靠度随时间的变化趋势基本符合机械产品的性能退化规律，同时其平均失效寿命基本符合正常工况下的一般范围。

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