双裂纹转子系统非线性动力学特性研究

于 涛，孙 伟，韩清凯

(1.烟台大学 机电汽车工程学院，山东 烟台 264005;2.山东省高校先进制造与控制技术重点实验室，山东 烟台 264005;3.大连理工大学 机械学院，辽宁大连 116024)

转子轴系是大型旋转机械设备如汽轮机、航空发动机等的重要部件，通常工作在高温、高压和高速运转的环境中会产生疲劳裂纹。这些疲劳裂纹如不及时发现，就会在交变载荷的作用下扩展、突变以至引起灾难性的断裂事故。双裂纹转子系统作为裂纹转子系统的一种特殊情况，其在实际工程中的危害是显而易见的。文献［1］对具有两条横向裂纹的转子系统动力学特性进行仿真分析，研究了不同裂纹夹角的转子动力学行为，得到转动过程中两条裂纹开闭的关系。与实验结果对比，验证了模拟的有效性。文献［2］采用较为简单的余弦型裂纹呼吸模型，利用有限元方法，分析了含两条裂纹的转子系统动力学特性。文献［3］采用有限元方法建立了双盘双呼吸型裂纹转子系统的动力学方程，研究了双裂纹转子振动响应的特点，以及在一个稳态旋转周期内裂纹轴刚度时变规律，分析了不同裂纹深度和裂纹夹角对转子振动响应的影响。文献［4］通过实验方法研究具有两条裂纹转子系统的振动特性。Chasalevris［5］建立了转子裂纹的柔度矩阵，利用小波分析的方法，研究了弯矩作用下双直裂纹梁上裂纹深度、位置及角度的检测方法。文献［6］采用集中质量法建立转子模型，研究了含双呼吸型裂纹转子的动力学特性。以上研究对双裂纹转子系统的非线性动力学及其故障诊断提供了重要参考。

但是，在裂纹转子系统的动力学特性分析及故障诊断中，通常采用简化的Jeffcott转子模型作为研究对象，而在裂纹转子系统动力学方程建模过程中，往往将转子系统简化为具有少量自由度的集中质量模型，多将裂纹置于转子系统中心位置，即转盘附近。这种分析方法具有建模过程简单，分析快速等优点，为进行裂纹转子系统的动力学特性研究提供了极大的方便，得到了一系列有价值的研究结果［7－19］。但这种方法也具有不足和缺陷，即无法最大限度的模拟实际转子系统的结构和动力学特性。因为，采用集中质量的简化模型虽然适用于理论分析，但在进行实际旋转机械建模过程中往往容易丢失轴系的关键信息，如变截面轴的简化，多级叶轮的简化等;再者，将裂纹置于中心位置，认定裂纹的存在对整个转子系统刚度产生影响也并不合理，根据Saint－Venant原理可知，裂纹只对其周围局部区域的应力场产生影响，故可认为，在一定的局部尺寸下，裂纹只对其附近的轴段刚度产生影响，而其它转子系统其它部位刚度不变。在裂纹转子故障研究的过程中，学者们提出了多种模拟实际转子裂纹的方法，著名的有Papadopoulos与Dimarogonas提出的局部柔度计算法［14］等。

本文在考虑裂纹界面剪力引起的弯矩情况下，从断裂力学理论和局部柔度理论出发，研究了转子裂纹位置及裂纹方向角等因素的变化对双裂纹转子系统固有特性造成的影响。得到了丰富的双裂纹转子动力学行为。

1 双裂纹转子系统动力学模型

基于虚功原理及局部柔度理论建立裂纹单元的柔度矩阵，然后组集无裂纹单元刚度、质量、阻尼矩阵，以及轴承、外激励等得到关于裂纹转子轴系的整体有限元动力学方程［20］。如图1所示为含单裂纹的转子系统有限元模型。

图1 裂纹转子有限元模型Fig.1 Finite element model of single-crack rotor system

1.1 无裂纹转轴有限单元模型

图2 转子轴段单元有限元模型Fig.2 Finite element model of rotor shaft

如图2为无裂纹轴单元，单元的广义坐标为两端节点的位移，仅考虑弯截面横向位移和偏转角，忽略扭转变形和轴向变形，则两端点的广义坐标为:

采用三次多项式插值函数的形函数矩阵，得到相应的移动惯性单元矩阵MeT、转动惯性单元矩阵MeR、陀螺力矩矩阵Ge、刚度单元矩阵Ke。

1.2 含横向裂纹轴段的有限单元模型

图3 裂纹单元有限元模型Fig.3 Finite element model with transverse crack

如图3所示为含横向裂纹轴段有限单元模型，单元两端面分别受到剪力 Pix、Piy、Pjx和 Pjy，弯矩 Piθx、Piθy、Pjθx和 Pjθy，轴向力 Piz和 Pjz，以及扭矩 Piθz和 Pjθz的作用。

根据Castingliano定理和柔度理论得结果为:

令 P1=Pix，P2=Piy，P3=Piz，P4=Piθx，P5=Piθy，P6=Piθz，则裂纹单元总柔度可表示为:

其中:ui为由于广义力Pi在i方向产生的柔度，u0i为无裂纹单元柔度，可直接根据有限元法得出;uci为裂纹引起的附加柔度。则裂纹单元总柔度为:

需要指出的是，关于附加柔度矩阵的建立，Prabhakar等使用了如下的无裂纹柔度矩阵CUC、裂纹附加柔度阵COP和刚度转换矩阵KUC，它考虑了裂纹截面两个方向的弯矩和剪力:

其中:

为由平衡关系得到的转换矩阵。

基于如上柔度矩阵得到的刚度阵，所对应的系统自由度顺序(不考虑轴向位移和扭转位移)为{xiyiθixθiyxjyjθjxθjy}［4］。本文在裂纹开口方向与质量偏心同侧假设下，只考虑与裂纹开口方向ξ一致的截面弯矩P4引起的Ⅰ型裂纹和剪力P2引起的Ⅱ型裂纹混合情况，则无裂纹时应变能W0为:

无裂纹时单元柔度系数为:

图4 转子裂纹横断面示意图Fig.4 The cross section of rotor crack

对于转子轴系发生的表面弓形裂纹，如图4所示，图中各变量所代表意义如下，R为转轴半径，a为裂纹深度，2b为裂纹宽度，h为裂纹条高度在由裂纹截面六个广义力引起的附加柔度的计算公式中［14］，关于弯矩引起的裂纹强度因子没有考虑剪力在裂纹截面处的影响，从而忽略了裂纹在所划分的单元内部的位置因素，这种影响虽然在实际工程中对裂纹的发生、以及程度的诊断不会引起太大的误差，但在理论研究中，应当将这种因素考虑在内。

对应弯矩P4和剪力P2的应力强度因子K14和KⅡ2分别如式(12)和式(13)所示:

其中:

根据上式得到深度为z，宽度为dw的矩形裂纹条引起的附加应变能为:

那么，对于深度为a，宽度为2b的圆形截面裂纹，其应变能为:

由(2.18)式，可得由弯矩P4和剪力P2引起的局部附加柔度c44和c22为:

则裂纹附加柔度阵cc为:

若给定转子半径R=5 mm，则附加柔度随裂纹深度的变化如图5所示。

从图5(a)中可以看出，随着裂纹深度的扩展，不考虑剪力在裂纹截面引起弯矩的附加柔度明显小于考虑了剪力在裂纹截面引起弯矩的情况，这种差别将在裂纹较深时对裂纹单元的刚度矩阵产生较大的误差。

得到裂纹单元总柔度阵为:

T为平衡关系得到的变换矩阵:

图5 附加柔度随裂纹深度扩展的变化Fig.5 Additional flexibility with the propagation of a crack

1.3 呼吸裂纹模型

考虑图6给出的裂纹截面在固定坐标系中的转动情况。在几何分析和实验研究的基础上，目前被广泛采用的的模型有方波模型、余弦模型、及综合模型等。本文采用图7给出的裂纹余弦开闭模型。

图6 裂纹截面转动示意图Fig.6 The rotating crack section

图7 裂纹余弦开闭规律示意图Fig.7 The cosine open-close law of crack

设全开裂纹柔度矩阵为c0，半开裂纹柔度矩阵为ch。显然，全开裂纹时有c0=c。

故有:

由于裂纹具有呼吸开闭特性，裂纹转子在旋转过程中，刚度随时间或转角变化，用四阶余弦展开表达:

且有:

于是求得:

1.4 双裂纹转子系统整体有限元模型

将图2.1所示的裂纹转子轴承系统划分为具有n个梁单元，n+1个节点的有限元模型。转盘质量和轴承质量集中在相应的节点上。组集各单元质量、刚度、阻尼、及陀螺力矩构成转子系统的动力学模型如下:

其中:M为质量矩阵，D包括转子轴承阻尼和陀螺力矩，K为刚度矩阵，Q为由不平衡量、油膜力等外力引起的激振力。

2 双呼吸裂纹转子系统亚临界共振特性

双呼吸裂纹，即转子系统两裂纹在转子运转过程中随着转角变化均做规律性的开闭运动，本节重点研究了双呼吸裂纹不同位置和不同裂纹方向角情况下，转子系统亚临界共振特性。按照图1所示的有限元模型，双裂纹在转子系统上的分布情况共有31种，考虑到情况较多，故选取若干具有代表性的位置加以研究。以转盘为界，按裂纹所处位置将诸多情况划分为同侧与异侧裂纹，同侧裂纹包括:1－2、1－4、1－6、2－3、2－6、3－4、3－6、4－5、4－6、5－6，计10种。异侧裂纹包括:1 －7、1 －9、1 －10，1 －12、2 －7、2 －9、2 －12、3 －7、3 －9、4 －7、4 －9、5 －7、6 －7，计15 种。

2.1 同侧裂纹情况

图8 双呼吸裂纹转子系统亚临界共振特性(同侧裂纹情况)Fig.8 Subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(cracks in same side)

图8给出了转速为1/3(为双裂纹转子系统一阶临界转速)条件下，同侧、同裂纹方向角(与偏心方向夹角为0)双裂纹转子系统轴心轨迹和频谱图(对应情况详见表1)。从图8(a)至图8(d)可以看出，当两裂纹中一条裂纹位于近转子系统端部，即支撑位置时，另一条裂纹随着向转子中心位置移动的过程中，其轴心轨迹变化如箭头方向所示，当第二条裂纹与第一条裂纹较为接近时，其频谱图中以工频和3倍工频成分为主;当第二条裂纹移动至支撑与转子中心之间中点单元位置时，频谱图中工频成分迅速减小，2倍、3倍工频成分变大，其中转子系统亚临界稳态运转所引起的3倍工频成分最大，即转子系统出现超谐波共振;第二条裂纹继续向中心位置移动的过程中，转子系统频谱图中高次谐波成分仍然以工频、2倍、3倍频成分为主，且工频与3倍频成分占优。因此，可以得出结论，对于同侧双裂纹转子系统，若其中一条裂纹近支撑端，另一条裂纹在向转子中心位置移动的过程中，工频成分先较小后增大，2倍、3倍频成分单调增大，且当第二条裂纹位于支撑端与转子系统中心之间中点位置附近时，3倍频成分占主导，转子系统出现超谐波共振。考察其它同侧双裂纹情况，当双裂纹分别位于2－6、3－6、4－6、5－6时，其轴心轨迹与频谱图与双裂纹位于1－6时类似，这种现象说明:对于双裂纹情况，当其中一条裂纹位于转子中心附近时，另一条裂纹位置的改变对转子系统时频响应的改变影响较小，且这种影响随着两裂纹之间的距离缩小而更趋变小。另外，从图中可以看出，当双裂纹互相接近且位于转子系统支撑端与中心之间位置时，如2－3和3－4时，系统也出现超谐波共振现象，因此对于同侧双裂纹情况，转子中心附近和支撑端与中心之间中点附近的裂纹应引起足够的重视。

表1 轴心轨迹和频谱图说明(同侧裂纹情况)Tab.1 Illustration of obit and spectrum(cracks in same side)

2.2 异侧裂纹情况

图9给出了转速为1/3Ω(Ω为双裂纹转子系统一阶临界转速)条件下，异侧、同裂纹方向角(与偏心方向夹角为0)双裂纹转子系统轴心轨迹和频谱图(对应情况详见表2)。

表2 轴心轨迹和频谱图说明(裂纹不同侧情况)Tab.2 Illustration of obit and spectrum(cracks in different side)

从图中可以看出当两裂纹中一条裂纹位于转子中心两侧3、4、9或10单元，即转子中心至支撑端中间部位时，另一裂纹位于近支撑端时，转子系统亚临界转速下出现超谐波共振现象，说明:由于近支撑端的约束作用，使近支撑的裂纹对转子系统的影响降低。当两裂纹均位于接近两支撑端位置时，如图9(g)，(h)所示，由于约束的局部刚度加强作用，降低了裂纹对转子系统的影响，使得系统响应频率成分中出现以工频和3倍频为主的现象，这一点从其轴心轨迹图中也可看出缺少高次谐波成分，而使轴心轨迹形式相对简单。

2.3 裂纹角影响

裂纹角作为裂纹模型中的一个重要参数，对裂纹转子系统的动力学行为有着重要影响。迄今为止，关于裂纹角对单一裂纹转子系统动力学响应的研究较多，而其对双裂纹转子系统的影响却较少见诸文献。考虑到双裂纹在转子系统上的分布情况复杂，此处仅以异侧双裂纹为例进行讨论。

取裂纹位置为3－9，由图10可见当两裂纹方向角均与偏心方向成0°夹角时的轴心轨迹和频谱图(对应情况详见表3)。当保持裂纹3(位于单元3处的裂纹)方向角不变，即 0°时，裂纹 9方向角按 0、π/6、π/3、π/2、2π/3、5π/6、π 依次变化，转子系统亚临界转速下稳态轴心轨迹和时频响应如图2.49至图2.55所示。从图中可以清楚地看出，随着两裂纹方向角交错角度的增大，轴心轨迹表现出明显的高次谐波成分减小的趋势，裂纹角相差至π时，轴心轨迹形式达到最简。另从频谱图中可以看出，当两裂纹差角较小(小于π/6)时，系统亚临界转速下激起超谐波共振，随着裂纹差角的扩大，工频成分逐渐变大占主导，3倍频成分逐渐减小，值得注意的是，当两裂纹角反向，即裂纹角相差π时，系统频谱成分中高次谐波成分较工频成分相差很大，工频占绝对主导地位。综合以上分析，可以得出这样的结论，当双裂纹差角相差较小时，在双裂纹的共同作用下，相当于加强了裂纹的非线性影响，其轴心轨迹和频谱图中，出现了丰富的高次谐波成分，随着裂纹差角的扩大，工频成分持续增大，2倍以上高次谐波成分相对减小，至裂纹差角反向时，高次谐波成分达到最小，说明反向裂纹在一定程度上起到了互相抵消影响的作用。

表3 轴心轨迹和频谱图说明(不同裂纹方向角情况)Tab.3 Illustration of obit and spectrum(different crack angles)

图9 双呼吸裂纹转子系统亚临界共振特性(裂纹不同侧情况)Fig.9 Subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(cracks in different side)

图10 裂纹方向角对双呼吸转子系统亚临界共振特性的影响(不同裂纹方向角情况)Fig.10 The influence of crack orientation angle on subcritical resonance characteristics of double-breath-crack rotor system(different crack angles)

3 结论

本文从断裂力学理论出发，考虑了裂纹强度因子中剪力因素在裂纹截面处的影响，通过建立的裂纹转子精细有限元动力学模型，分析了不同裂纹位置对双裂纹转子系统亚临界、主共振区，及超临界转速下的非线性动力学响应，以及双裂纹转子系统不同裂纹方向角对双裂纹转子系统动力学响应的影响，得到以下结论:

(1)对于同侧双裂纹情况，转子中心附近和支撑端与中心之间中点附近的裂纹应引起足够的重视。

(2)由于近支撑端的约束作用，使近支撑的裂纹对转子系统的影响降低。当两裂纹均位于接近两支撑端位置时，由于约束的局部刚度加强作用，降低了裂纹对转子系统的影响，使得系统响应频率成分中出现以工频和3倍频为主的现象。

(3)当双裂纹差角相差较小时，在双裂纹的共同作用下，相当于加强了裂纹的非线性影响，其轴心轨迹和频谱图中，出现了丰富的高次谐波成分，随着裂纹差角的扩大，工频成分持续增大，2倍以上高次谐波成分相对减小，至裂纹差角反向时，高次谐波成分达到最小，说明反向裂纹在一定程度上起到了互相抵消影响的作用。

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