概率论中独立性的思考

王艳丽 李 俊

（1、2．安顺学院数理学院，贵州 安顺 561000）

概率论中独立性的思考

王艳丽1李 俊2

（1、2．安顺学院数理学院，贵州 安顺 561000）

文章从概率空间出发，分别阐述了随机事件的独立性和随机变量的独立性，结合二维随机变量这样一种特殊情形说明如何理解二者之间的关系。

随机事件；随机变量；独立性；示性函数；可测函数。

设（Ω，F，P）是一概率空间，其中Ω是样本空间，F是一σ－代数（F中集A为事件）表示A的概率。

一、事件的独立性

定义1［3］若∀A，B∈F，有P（AB）＝P（A）P（B），则称A，B两事件相互独立。

直观地说，A，B的出现对对方是否出现没有任何影响。

定理［3］若A，B独立，则A与也相互独立。

推广［1］设A1，A2，∧An是n个事件，称这些事件是相互独立的。如果独立事件常常伴随独立随机试验列而出现，设｛Ei｝是一列随机试验，｛Ei｝的基本事件空间是Ωi，设Ak是Ek中的任一事件，Ak⊂Ωk，如果Ak出现的概率不依赖于其他各次试验Ei（i≠k）的试验结果，就说｛Ei｝是独立随机试验列。典型例子就是放回和不放回抽样，如设箱子内有α（α≥2）个白球，b个黑球，在其中连续取三次，每次取一个球，若取后不放回，则依上面所说此试验就不是独立随机试验序列（因为后面的取法总数显然依赖于其前所有结果）；若取后放回再取下一个，则此试验就独立了。

二、随机变量的独立性

定义2［4］设（Ω，F，P）是一概率空间，ξ（ω）是定义在Ω上的单值实函数。如果∀x∈R，有｛ω：ξ（ω）≤x｝∈F，则称ξ（ω）为一随机变量。

三、事件独立与随机变量独立的关系（注：此处只讨论一种两维随机向量的情形）

最后由（1）（2）（3）（4）可知：随机变量与是相互独立的。

由以上讨论可得随机事件独立性的另外一充要条件：

命题3：设A，B是任意两随机事件，则A，B相互独立的充要条件是IA（ω），IB（ω）相互独立。

注：该命题可以推广到多个随机事件的情形（见［5］）。

［1］王梓坤·概率论基础及其应用［M］．北京：科学出版社．1979，27，75．

［2］陈俊雅，王秀花等编·概率论与数理统计中的反例［M］．天津：天津科学出版社，93．

［3］盛骤等·概率论与数理统计［M］．高等教育出版社，74．

［4］程士宏编著·测度论与概率论基础［M］．北京：北京大学出版社，20．

［5］吴俊·关于随机事件独立性的若干性质［J］．安徽广播电视大学学报，2000．2．

Thinking of Independence in Probability Theory

Wan Yanli1Li Jun2
（1、2．The School of Math ematics and Science，Anshun University，Anshun 561000，Guizhou，China）

This paper starts from probability space；describes the independence of random event and the independent of random varible respectively；indicates how to comprehend their correlation combining random vector of two-dimension．

random event；random varibe；independence；indicator function；measurable function．

王德红）

G641

A

1673－9507（2014）01－0123－03

2013－10－30

贵州省教育厅自然科学研究青年项目 （项目编号：黔教科2010067）

1．王艳丽 （1976～），河南新乡人，安顺学院数理学院讲师，硕士。研究方向：应用数学。

2．李俊 （1981～），湖南邵东人，安顺学院数理学院讲师，硕士。研究方向：基础数学。