在重分形谱的边界处对水平集拓扑熵的估计

徐 兰

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

设(X，d)是紧度量空间，f：X→X是X上的连续变换，φ：X→R是X上的连续函数(有时也称φ为势函数)，考虑空间X的重分形分解

式中：Kα为水平集；为Birkhoff平均不存在的点组成的集合.称集合Lφ={α∈R|Kα≠φ}为φ的重分形谱.

对水平集Kα的研究是动力系统的热点问题之一，比如通过水平集Kφ的拓扑熵htop(f，Kα)[1]来刻画集合Kα的“尺寸”等.记εφ(α)=htop(f，Kα)，称εφ(α)为函数φ的重分形熵谱，关于εφ(α)的一些性质，比如光滑性、凸性、与动力系统其他动力学特征的关联性等，目前已有很多研究成果[1-4].

2003年Takens和Verbitski证明了如果f具有specification性质，且满足熵映射μ→hμ(f)上半连续，则当α是集合Lφ的内点时，εφ(α)是(拓扑)压函数Pφ(q)=P(qφ)的勒让德变换，其中P(·)是拓扑压.当α是Lφ的边界点时，此形式的勒让德变换是εφ(α)的一个上界[5].

本文主要工作是将Takens和Verbitski的结论从Lφ内部推广至整个Lφ，证明了当α是Lφ的边界点时，压函数Pφ(q)=P(qφ)的勒让德变换同时也是εφ(α)的一个下界，从而在Lφ的边界上，进而在整个Lφ上，εφ(α)仍然是压函数Pφ(q)=P(qφ)的勒让德变换.

1 连续函数的重分形熵谱

以下总假设f有有限的拓扑熵.先介绍一些定义和现有结果.

1.1 specification 性质和重分形谱

记M(X)是X上所有Borel概率测度的集合，M(X，f)是X上所有f-不变的Borel概率测度的集合.

定义1设f：X→X是连续函数，如果对任意ε＞0，存在整数m=m(ε)，使得对任意满足dist(Ii，Ij)≥m(ε)(i≠j)的有限区间Ij= [aj,bj]⊆N(j= 1,2,… ,k)和任意x1，x2，…，xkX，存在xX，使得对任意p=0，…，bj-aj和任意j=1，…，k，总有d(fp+aj(x),fpxj)＜ε成立，则称f具有specification性质[5].

定理1设f：X→X连续且满足specification性质，φ是X上的连续函数，则φ的重分形谱Lφ是一个非空有界区间，即Lφ=[a，b]，其中：a= inf { ∫φdµ|µ∈M(X,f)}；b= sup { ∫φdµ|µ∈M(X,f)}[5-6].

1.2 对重分形熵谱εφ(α)的估计

对熵谱εφ(α)有类似于熵的变分原理[7]的结论.

定理2设f：X→X连续且满足specification性质，φ是X上的连续函数，则对任意αLφ，总有εφ(α)=Hφ(α)，其中Hφ(α)= sup {hµ(f)|µ∈M(X,f)且 ∫φdµ=α}[5].

下面介绍熵谱εφ(α)与压函数Pφ(q)的勒让德变换之间的关系.

设φ：X→R是连续函数，P(φ)是φ的拓扑压，根据经典变分原理[7]有

因为f有有限的拓扑熵，所以由式(1)可知对任意X上的连续函数φ，P(φ)＜+∞.

定理3设f：X→X连续且满足specification性质，φ是X上的连续函数，则有

1)对任意αLφ有Hφ(α)≤(α)；

2)如果熵映射μ→hμ(f)是上半连续的，则对任意αintLφ(Lφ的内部)，有

定理4设f：X→X连续且满足specification性质，φ是X上的连续函数，如果熵映射μ→hμ(f)是上半连续的，则对任意αintLφ，有

2 主要定理

本文主要工作是在Lφ的边界点上，即α=a，b时，证明仍然成立.先给出一些引理.

引理1

证明由式(1)可知

引理2当αLφ时，有0≤(α)＜+∞.

证明当αLφ时，显然(α)＜+∞，只需证明(α)≥0.

从而

所以当αLφ时，Pφ*(α)≥0.

引理3P[q(φ-a)]，P[q(φ-b)]分别是关于q的单调递增和单调递减函数，从而

证明只证P[q(φ-a)]关于q单调递增，P[q(φ-b)]的递减性可类似证明.

对任意q1，q2R，q1＜q2，

因为a=inf { ∫φdµ|µ∈M(X,f)}，所以对任意μM(X，f)，总有 ∫ (φ−a)dµ≥0，从而(q1−q2)∫(φ−a)dµ≤0，所以P[q1(φ−a)]≤ s up {hµ(f)+ ∫q2(φ−a)dµ|µ∈M(X,f)} =P[q2(φ−a)]，这说 明P[q(φ-a)]关于q单调递增.

本文的主要结果是定理5和定理6.

定理5设f：X→X是满足specification性质的连续变换，φ：X→R连续，如果熵映射μ→hμ(f)是上半连续的，则有Hφ(a)=(a)，Hφ(b)=(b).

证明根据定理3，只需证明Hφ(a)≥(a)，Hφ(b)≥(b).

对任意q＜0，设μαM(X，f)是q(φ-a)的一个平衡态(因为熵映射的上半连续性可以保证任意连续势函数都至少有一个平衡态)，也即

一方面，因为q＜0，且对任意μM(X，f)有 ∫(φ−a)dµ≥0，所以P[q(φ−a)]≤hµq(f).设μ0M(X，f)是{µq} (q→ −∞)的极限点，不妨假设µq=µ0(否则只需以qk(qk→ −∞ )替代q即可)，由熵映射的上半连续性可知

综上所述，存在μ0M(X，f)满足 ∫φdµ0=a，且有hµ0(f)≥Pφ*(a)，所以Hφ(a)≥(a).同理可证H(b)≥(b).

φ

定理6设f：X→X连续且满足specification性质，φ是X上的连续函数，如果熵映射μ→hμ(f)是上半连续的，则对任意αLφ有εφ(α)=(α).

证明由定理3和定理5即得.

3 结论

文中主要讨论了当α是重分形谱Lφ的边界点时，压函数Pφ(q)=P(qφ)的勒让德变换不仅是εφ(α)的一个上界[5]，同时也是εφ(α)的一个下界，从而在Lφ的边界上，进而在整个Lφ上，以(α)的形式给出了熵谱εφ(α)的精确估计。

[1]Pesin Y B.Dimension Theory in Dynamical Systems： Contemporary Views and Applications[M].Chicago：University of Chicago Press，1997.

[2]Pesin Y，Weiss H.A multifractal analysis of equilibrium measures for conformal expanding maps and Moran-like geometric constructions[J].J.Stat.Phys.，1997，86(1/2)：233-275.

[3]Takens F，Verbitski E.Multifractal analysis of local entropies for expansive homeomorphisms with specification[J].Commun.Math.Phys.，1999，203(3)：593-612.

[4]Barreira L，Pesin Y，Schmeling J.On a general concept of multifractality： Multifractal spectra for dimensions，entropies，and Lyapunov exponents.Multifractal rigidity[J].Chaos，1997，7 (1)：27-38.

[5]Takens F，Verbitskiy E.On the variational principle for the topological entropy of certain non-compact sets[J].Ergodic Theory and Dynamical Systems，2003，23(1)：317-348.

[6]Thompson D.A variational principle for topological pressure for certain non-compact sets[J].J.London Math.Soc.，2009，80(3)：585-602.

[7]Walters P. An Introduction to Ergodic Theory[M].New York：Springer，1982.