线性代数课程教学的实践与思考

谭高山，汪忠志

（安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山234002）

线性代数课程内容主要涉及行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等六大板块。目前大部分教材把线性方程组与其他内容割裂开来，作为单独的一部分内容进行教学。虽然学生反映线性代数比高等数学、概率统计等其它课程容易学，但对知识的掌握停留在记概念、性质、公式及其相关计算的层面上，仍以做练习题为主要手段。这就导致知识枯燥抽象，学生不能理解相关概念和理论之间的内在联系，更无法应用相关知识解决问题，因此很难激发学生学习兴趣。线性方程组是整个代数理论重要的研究对象和研究工具，与其它知识板块紧密联系。其它知识为方程组理论及其求解提供有力的支持，线性方程组也为它们提供应用背景，降低抽象性，并为相关问题提供方程求解策略。另外，作为科学研究和工程实际中广泛存在的模型，方程组的求解至关重要，在教学中要对方程组AX＝b的求解进行完备。

一、线性代数课程与教材分析

长期以来我国主流的线性代数教材绝大多数属于传统的“块状”体系，课程的内容基本包括以下部分：

行列式－矩阵－线性方程组－相似矩阵与矩阵对角化－二次型。这似乎已经成为众多教材体系的一个标准模式。自然，不同教材前三章的安排次序也有互异，例如：有的教材矩阵在前，有的则方程组在前，等等。在这种块状结构下线性代数教学的情形并不像微积分那样有一条清晰的主线－极限。摆在学生面前的每一个“块”行列式、矩阵、线性方程组、特征值、二次型等等，仿佛都是一个孤立的“山包”，登上一个并不意味着就能顺利通向另一个。学生似乎总是遇到一个个陌生的面孔，还得从头认识、熟悉起来。由此看来，线性代数之所以难教、难学，在很大程度上正是源于它的这种块状结构。在多年的教学实践中，我们逐步摸索出一条以线性方程组为主线的教学模式，以此为核心贯穿整个教学过程，不仅脉络分明，而且简捷明了。

二、线性方程组在线性代数发展中的地位

线性代数起源于线性方程组的求解。早在中国古代的数学著作《九章算术》中对此就有比较完整的论述，其方法本质上就是对方程组的增广矩阵实施初等变换以消去未知量的方法，即高斯消元法。17世纪后期莱布尼茨就已开展线性方程组的研究，他曾研究具有两个未知量的三个线性方程组成的方程组的求解问题。对线性方程组的研究无疑促成了行列式和矩阵理论的发展。行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉。然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念。1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们称之为解线性方程组的克莱姆法则。行列式在18世纪已成为独立的数学课题，但并未形成统一的理论，符号记法也没有能得到很好的规范。稍后，数学家Bezout（1730～1783）将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。

19世纪，英国数学家史密斯和道奇森在研究线性方程组理论的基础上，分别引进了线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，证明了线性方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，这是现代方程组理论中的核心成果之一。现在我们讲解线性方程组求解问题正是通过对增广矩阵施行初等行变换来进行的。

三、线性方程组与线性代数相关理论的内在联系

某种程度上，线性代数是研究线性方程组求解的科学。目前大部分线性代数教材以行列式、矩阵展开教学，这样知识结构比较“干净”，教学也容易进行。但是学生不能掌握知识内在的逻辑关系，在学时普遍紧张的情况下，教师只能照本宣科，学生只能死记硬背，照搬照抄应付考试。以线性方程组为主线的线性代数教学［1］是一种有益的教学尝试。线性代数主要内容与线性方程组联系紧密，相互依存，相互发展。下面我们分述之：

（一）矩阵、行列式和向量为方程组理论及其求解提供有力的支撑

1．线性方程组与矩阵。低阶方程组可以直接用方程组的形式表示，但实际问题往往具有多个未知量，方程的阶数很高，有时甚至成千上万。因此有必要借助矩阵来表示和求解方程组。抽去线性方程组中的未知量与运算，即是线性方程组的矩阵表示。

2．线性方程组与初等变换、矩阵的秩。初等变换求解线性方程组就是去掉多余的方程，并得到方程组的标准等价形式。矩阵行阶梯型的非零行行数即独立方程的个数，也等于增广矩阵的秩。增广矩阵与系数矩阵的秩相等时，方程组才有解。

3．线性方程组与行列式、克莱姆法则。对于有n个未知量、n个方程的特殊方程组，当系数行列式不为零时，可用克莱姆法则求解，需要计算n＋1个n阶行列式。

4．线性方程组与向量组的线性表出、线性相关性以及极大无关组。方程组右端向量可由系数列向量组线性表出等价于方程组有解，且表出系数即方程组的解。向量组线性相关（无关），对应线性方程组有（无）非零解。利用解向量组的极大无关组可以表示方程组的解空间。

（二）方程组为相关概念和理论提供实例解释，便于抽象理论的理解和掌握

线性代数一般开设在大一下学期，这个时期的学生思维还是以具体形象思维为主，不习惯在一门课中短时间接触这么多抽象的数学研究对象，因此教学中要能够让这些抽象的概念“落地”，要形象，要能够落实到计算中去。教材中，矩阵的秩定义为矩阵的最高阶非零子式的阶数或者标准型的非零行数，抽象难懂，特别是前一种定义可操作性很差。教学中结合线性方程组，指出矩阵的秩就是真正的方程的个数，一些“假”的方程，可以通过方程的等价变换，也就是行初等变换消去，这样一来矩阵秩的概念变得易于理解。这种直观介绍概念的教学策略使抽象概念变得具体明了。再如，线性无关等价于对应齐次线性方程组只有零解，也就是任何一个向量都没办法用其他向量线性表出，所以向量彼此“无关”，同样的办法可以解释向量线性相关的概念。这是一种概念形象化、具体化策略。另外，矩阵逆的定义AB＝E更加抽象难懂，教学中经常会碰到有的学生甚至不知道矩阵的逆仍然是个矩阵。从方程求解入手，对于AX＝b和XA＝b，启发学生利用一元一次方程ax＝b（a≠0）的求解思想 （方程左右同时乘以1／a，消去等式左边的a）在方程组两边同乘以一个矩阵使得方程组左边为X，右边即得方程解，所以有矩阵B满足BA＝E和BA＝E，从而引入矩阵逆的概念。类比法使得抽象难懂的概念与已有知识建立关联，可以形成知识的迁移，当然也要注意负迁移。

综上，线性方程组理论贯穿整个线性代数，因此在教学中要注意抓住线性方程组这条主线。这样既可系统全面地研究线性方程组，又可清晰明了地学习矩阵、向量、行列式等知识。我们认为如下教学内容的讲授顺序比较合理：首先引入线性方程组，然后讲矩阵、初等变换、矩阵的逆、矩阵等价标准型，并由标准型定义矩阵的秩；接着介绍行列式；然后讲授向量组、线性表出、线性相关性、极大无关组；继而再完善解空间理论；最后是特征值与特征向量。如果学时较多可讲授二次型。

四、以线性方程组理论贯穿线性代数教学

线性方程组不仅是线性代数的研究对象，也是线性代数处理问题的基本工具。“人人为我，我为人人”的这种和谐关系在线性代数里得以完美体现。下面分述方程组在线性代数教学中的若干应用。

（一）利用线性方程组理论求解特征值并通过解方程计算属于某一特征值的特征向量

由特征值和特征向量的定义知，矩阵A的属于特征值λ的特征向量X满足AX＝λX，其中X≠0，即（λE－A）X＝0有非零解，由齐次线性方程组解的理论，知│λE－A│＝0，由此可得特征值，将某一特征值代入方程求非零解即得属于该特征值的特征向量。这是方程组在线性代数中最直接、最重要的应用。

（二）利用系数行列式（不）为零时方程组（没）有非零解证明向量相关性问题

利用齐次方程组的解进行判定向量组的线性相关性是相关性定义的具体化，判定更容易实施。下面举例说明之。

例1：设S是实数域上的函数空间，讨论线性空间S中函数x2，x，1的线性相关性。

解：设k1x2＋k2x＋k3＝0，其中ki（i＝1，2，3）为实数，要想得到x2，x，1的线性相关性，只要研究ki（i＝1，2，3）的取值情况，对x求一阶、二阶导数，得到方程组

这是关于未知量k1，k2，k3的线性方程组，系数行列式不为0，故只有零解，x2，x，1线性无关。

在证明一组变量全为零时，可以构造以这组变量为未知量的线性方程组，并证明方程组只有零解。

例2：已知fi（x）（i＝1，2，3，4）是实系数多项式，且满足下列整除

x4＋x3＋x2＋x＋1│（x3f1（x5）＋x2f2（x5）＋xf3（x5）＋f4（x5））

证明：f1（1）＝f2（1）＝f3（1）＝f4（1）≡0。

证：设x满足x5＝1，则五个不同根分别为ε1＝ε，ε2＝ε2，ε3＝ε3，ε4＝ε4，ε5＝1，由假设得

方程组系数行列式是一个范德蒙行列式，由于行列式不为零，故只有零解，结论得证。［2］

分析以上两个例题，很容易想到利用齐次线性方程组解的理论可以证明有关未知量全零或者不全为零的问题。

（三）利用方程组解的情况证明矩阵秩的关系

由于矩阵秩的概念非常抽象，实际计算也不好操作，所以关于秩的证明题比较难。线性方程组的解与系数矩阵、增广矩阵的秩密切相关。设系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩是r，则解空间的维数等于未知量个数减去r。

例3：证明r（ATA）＝r（A）．

证：设X（＊）是 AX＝0的解，即 AX（＊）＝0，等式两边左乘AT，得到ATAX（＊）＝0，故X（＊）也是方程 ATAX＝0的解；设X（＊）是 ATAX＝0的解，则 ATAX（＊）＝0，左边乘以（X（＊））T，得（X（＊））TATAX（＊）＝0，即（AX（＊））T（AX（＊））＝0，则AX（＊）＝0，即X（＊）是 AX＝0的解。因此AX＝0和ATAX＝0同解，两方程组的解空间维数相同，因此系数矩阵秩相同，故r（ATA）＝r（A）。［3］

例4：设A∈Rm×n，B∈Rn×S，且AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n。

证：记B＝（β1，L，βs），则 Aβi＝0（i＝1，L，s），因此βi属于AX＝0的解空间，故r（B）≤n－r（A），即r（A）＋r（B）≤n。

由以上两个例题可知，线性方程组系数矩阵的秩、解空间维数和未知量个数之间的关系是证明秩的有力工具。

（四）待定系数法求解未知量

待定系数法是一种求未知量的方法，它是解决许多问题最容易想到和理解的办法。先设未知量，然后找到未知量满足的方程组，如果方程组又恰好是线性的，解之。对于线性方程组的这一应用，大一的学生应该非常熟悉，中学有三点确定一条抛物线的题目。通过低阶线性方程组把线性代数与中学数学相联系。教学中可从学生熟悉的三点确定抛物线引入线性方程组的这一应用，让学生归纳总结待定系数法这一重要数学思想在线性方程组辅助下的实施，从而提高学生处理线性问题的能力。

例5：在R3中按通常内积定义求一单位向量与两个向量（1，1，－1），（1，－1，－1）正交。

解：设所求向量为（x1，x2，x3），由正交向量内积为零得：

方程组系数矩阵秩为2，有无穷多解（c，0，c），其中单位向量即为所求。

线性方程组的应用十分广泛，引导学生利用线性方程组求解问题，不仅丰富了线性代数解题技巧，还可以提高学生解决问题的能力，使学生体会到学以致用的乐趣，并激发学习兴趣。

五、线性方程组的求解策略

线性方程组广泛存在于科学研究和工程实际中，其教学要面向应用，满足专业需要。因此方程组求解是一个值得研究的问题。这一问题的处理可以采用探讨式教学方法，调动学生参与问题解决的积极性，引导学生对所需要讲授的课题进行探索、讨论，从而培养学生的思考能力和协作精神。这种教学方式能够激发学生的求知欲望和创新潜能，燃起创新激情。总之，探讨式教学鼓励学生亲自参加探索、研究和实践，在这个过程中学生可以提高自身发现问题、分析问题、解决问题的能力，还可能感受到知识所赋予的快乐，从而提高学习兴趣。

方程组的解的情况有三种：唯一解、无穷多解和无解，目前线性代数教材只研究了前两者的初等变换求解方法，特别地，唯一解情形也可以用克莱姆法则求解。教学中应该引导学生对线性方程组的求解进行全面分析和探讨。

（一）有唯一解的方程组求解

这类方程可以用求逆法、初等变换法、克莱姆法则和矩阵分解法求解，也可借用Excel的函数功能求解。［4］求逆法X＝A－1b中，若 A－1用初等变换求解，则求逆法与初等变化法一致；若A－1用公式法求解，则求逆法与克莱姆法则一致。Excel法本质上是初等变换。教学中可以利用软件实现方程组的求解方法，让学生体会方程求解的乐趣。有唯一解的大规模方程组常采用迭代法求数值解，迭代法属于数值计算的范畴，适当指出可以对高阶线性方程组的求解给出一个出路，也是满足工科后续课程的需要。

（二）矛盾方程求解

方程个数远多于未知量个数的情况在工程中非常普遍，可以利用创设情境法让学生求多点确定的直线。虽然按照线性代数理论，这类方程组无精确解，但可求其最小二乘解，可以利用微分法解决线性方程组的求解问题，这样学生可以建立不同学科之间的联系。当然也可从代数的角度推导ATAX＝ATb或者直接用奇异值分解法求解。

（三）有多个解的方程组求解

当方程个数不足以唯一确定未知量时，方程有多个解，此时可用初等变换法求解。

一些线性方程组也可用优化方法求解，如用牛顿法求解方程平方和最小等。线性方程组的求解策略的完备对于提高学生的应用能力和创造能力具有重要意义。使线性代数从一门由零散知识点堆积的抽象课程变成了实用的工具。

线性代数是理工科院校三大重要的数学基础课程之一，是科学研究和工程实践的重要对象，其重要性自不待言。我们在线性代数教学中要着力注重线性方程组的主导地位，使学生牢牢掌握线性方程组这一知识点，以线性方程组为主线来学习行列式、矩阵、秩以及二次型等相关知识，培养学生利用线性代数知识解决实际问题的能力。

［1］ 施武杰，戴桂生．高等代数［M］．北京：高等教育出版社，2005．

［2］ 杨成．线性方程组理论的妙用［J］．中国民航飞行学院学报，2000（1）：45－47．

［3］ 北京大学数学系．高等代数（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［4］ 张战军．用Excel求解线性方程组［J］．郑州轻工业学院学报，2006，21（3）：71－73．

［5］ 线性代数发展史［EB／OL］．Http：／／baike．baidu．com／view／1347143．htm．

［6］ David C．Lay．Linear Algebra and Its Applications［M］．北京：电子工业出版社，2010．