如何在数学教学中渗透“变与不变”的思想方法

福建晋江第二实验小学（362200） 杜晓晴

苏轼在《赤壁赋》中写道“盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也”，他从哲学的角度感慨人生中变与不变的道理。从数学的角度来看，世界上的事物也是千变万化的，而变化中又蕴含着变与不变的因素。其中，如何从“不变中抓变”“变中抓不变”是我们解决问题的突破口，也是重要的数学思想方法之一。

小学数学教材中蕴含着许多变与不变的素材，教师钻研教材时应深入挖掘，并在教学之中无形渗透，有助于培养学生求同又求异的思维品质，帮助学生解决繁琐复杂的问题，提高学生的数学素养。下面，笔者结合自己的教学实践，谈谈教学中如何渗透“变与不变”的数学思想方法。

一、在“变与不变”中辨析概念

数学概念是构成数学知识的基础，是基础知识和基本技能教学的核心，所以正确理解数学概念是掌握数学知识的前提，但数学概念的抽象性使得数学概念的教学相对棘手。因此，教师在教学中应捉住“变与不变”的关系，引导学生去比较辨析，从而更清晰地理解概念的本质特征。

例如，教学“面积”一课时，不少教师把周长和面积割裂开来进行教学，从而导致学生容易把面积与周长两个重要概念混淆。在分别教学周长与面积的概念后，我们可以设计一系列相关联的数学活动，让学生观察围成图形的线的变化是如何引起周长和面积的变化，从中体会到周长与面积之间既有密切的联系，又有本质的区别。

片断1：

师（出示下图）：观察这两个图，什么没变，什么变了？

生1：周长不变，面积变了。

生2：图形的周长相等，面积不一定相等。

师：面是线围成的，围成图形的线的变化，既会引起图形周长的变化，又会引起图形面积的变化。那么，你认为周长的变化会引起面积怎样的变化呢？

生3（猜测）：周长越长，面积越大。

片断2：

师（出示下图）：图形的周长有变化吗？是怎样变化的？面积呢？

生4（归纳）：周长变长，面积变大。

师：是否真的周长变长，面积都会变大呢？

片断3：

师（出示下图）：图形的周长有变化吗？是怎样变化的？面积呢？

生5：周长变长，面积反而变小。

师：那是不是周长不变，面积就不会变呢？

（学生讨论并提出各种猜测，大多数学生认为周长不变，面积也不变）

片断4：

（多媒体出示一个能活动的平行四边形框架，演示平行四边形变成长方形再变成夹角更小的平行四边形的过程，如下图）

师：在这个过程中，周长的长短有变化吗？

生6：周长不变。

师：面积有什么变化呢？

生7：周长不变，但是面积变了，可能会变大，也可能会变小。

师：想一想，我们刚才的猜测“周长不变，面积也可能不变”对吗？

……

通过一系列猜测、验证、比较、发现的过程，学生不仅清晰地理解了面积与周长两个不同的概念，而且学会了全面思考问题和辨析事物的方法。

二、在“变与不变”中探究规律

课程改革实施以来，不同版本的数学实验教科书都对探索规律的内容进行了合理选择和精心设计。数学教材中的一些规律、性质或公式，几乎都可以通过“变与不变”思想方法来引导学生进行探究、发现。

例如，教学“商不变的性质”一课时，教师让学生在观察一系列的算式后思考：“被除数和除数变了，但商不变，这里面隐藏着什么规律呢？”在学生发现规律和归纳出性质以后，教师可以适当指导学生用“什么变了，什么不变，变化的量是按照怎样的规律变化”的模式来进行归纳总结。以此类推，在后面的学习中，学生就会有意识地按照“变与不变”的思想方法来观察和总结，一样能够推导出分数的基本性质、比的基本性质。

同样，在“空间与图形”这一领域教学中，教师常用到转化这一数学方法，但在转化的过程中，教师应及时引导学生寻找“变与不变”的关系，从而发现规律。例如，教学“平行四边形的面积计算”一课时，教师先让学生通过割补、剪拼等方法，将平行四边形转化成长方形，再引导学生抓住“什么变了”和“什么不变”来探究。学生通过认真观察、仔细对比后发现：平行四边形的底与转化成的长方形的长相等，平行四边形的高与转化成的长方形的宽相等，平行四边形的面积与转化成的长方形的面积相等。而长方形的面积公式是学生已经掌握的，即长方形的面积=长×宽，因此学生通过迁移发现：平行四边形的面积=底×高。就这样，在“变与不变”思想方法的指导下，学生通过操作就能独立地推导出平行四边形的计算公式。同样，在推导三角形、梯形、圆的面积计算公式以及圆柱体积计算方法时，学生会自觉地运用“变与不变”的思想方法去发现、去探究。

三、在“变与不变”中解决问题

世界上的事物总是在不断变化、发展着的，而变化中又蕴含着联系和不变的因素，从错综复杂的变化中发现这种联系和不变，往往是解决问题的突破口。如“盈亏问题”“年龄问题”“立体图形中等积变化问题”“牛吃草问题”以及其他较复杂的计算问题等，都是学生感觉比较困难的问题，但如果学生学会了在变化中寻找不变的规律，问题就变得相对简单了。

例如：“科技书和文艺书共有630本，其中科技书占20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？”这里，变化的是科技书的本数与总本数，不变的是文艺书的本数。解决问题时，教师应引导学生紧扣住不变的量——文艺书的本数，最后得出：文艺书的本数为630×（1-20%）=504（本），变化后的总本数为504÷（1-30%）=720（本），增加的科技书为720-630=90（本）。这样，在纷繁复杂的变化中，以不变的量为突破口，使问题迎刃而解。

总之，“变与不变”是数学学习与日常生活中分析问题、解决问题的一种常用的思想方法。教师要以学生为本，根据学生的发展需要，从整体、本质上理解教材，注重挖掘教材中蕴含的这一教学资源，科学、灵活地设计教学，从而提高学生的思维品质和数学素养。