弱Taft代数

程东明，贾鹏鹏，周佳惠

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)



弱Taft代数

程东明，贾鹏鹏，周佳惠

(河南科技大学 数学与统计学院，河南 洛阳 471023)

引入对应于Taft代数的弱Hopf代数，分别刻画了它们的代数结构和余代数结构。作为代数，对应于Taft代数的弱Hopf代数可分解为两个代数的直和，其中一个直和项就是Taft代数。用Ext箭图刻画了这些弱Hopf代数的余代数结构，发现它们都有一个子Hopf代数与Taft代数同构。

弱Hopf代数；Taft代数；Ext箭图

0 引言

作为Hopf代数的推广，文献[1-3]引入了弱Hopf代数的概念。随后,文献[4]发现了最初的两个弱Hopf代数的例子，即对应于Uq(sl2)的弱Hopf代数。文献[5]组合了文献[4]的两种方法,并推广到了对应于Uq(sln)的弱Hopf代数。文献[5]总共有4种不同构的对应于Uq(sl2)的弱Hopf代数。文献[6]进一步考虑了生成元的乘法和余乘法的16种组合,经逐一计算得知其中有9个构成弱Hopf代数。文献[7]又将这一结果推广到对应于Uq(sln)的弱Hopf代数。另一方面，文献[8]用同样的方法研究对应于Sweedler代数的弱Hopf代数。文献[9]也提供了构造弱Hopf代数的其他方法。

Taft代数是Sweedler代数的推广，Sweedler代数是Taft代数的特例。本文构造所有可能的对应于Taft代数的弱Hopf代数,总共有3个不同构的对应于Taft代数的弱Hopf代数，分别研究了它们的代数结构和余代数结构。

1 对应于Taft代数的弱Hopf代数

首先，回顾一下Taft代数的定义。令n>2是一个整数，q是n次本原单位根。Taft代数Hn2(q)是由G和X生成的，满足关系Gn=I,GX=qXG,Xn=0的代数。它的余乘法由下式定义：

△(G)=G⊗G, △(X)=G⊗X+X⊗I。

而余单位定义为:

ε(G)=1=ε(I),ε(X)=0。

它的对极S定义为：

S(G)=G-1,S(I)=1,S(X)=-G-1X。

对应于Taft代数的弱Hopf代数有多种可能的定义。令n>2是一个整数，q是n次本原单位根。对应于Taft代数的弱Hopf代数有两个生成元x，g，它们满足

gn+1=g,xn=0。

(1)

对于x和g之间的关系，有两种选择。如果x和g满足关系

gx=qxg,

(2)

就说x的乘法是第一类的。如果x和g满足关系

gxgn-1=qx,

(3)

就说x的乘法是第二类的。余代数结构由以下算式所诱导：△(g)=g⊗g,ε(1)=ε(g)=1,ε(x)=0。而x的余乘法有两种方式:如果△(x)=g⊗x+x⊗1，就说x的余乘法是第一类的;如果△(x)=g⊗x+x⊗gn，就说x的余乘法是第二类的。无论x的乘法和余乘法是什么类型，弱对极总是由以下算式所诱导：

T(1)=1,T(g)=gn-1,T(x)=-gn-1x。

2 弱Hopf代数结构

本节验证上节所述,对应于Taft代数的Hopf代数关于所定义的乘法和余乘法的确构成弱Hopf代数。无论x的乘法是什么类型的，式(2)总是成立。事实上,如果x的乘法是第一类的,式(2)就是定义。当x的乘法是第二类的时候,x=q-1gxgn-1,因此,

xgn=(q-1gxgn-1)gn=q-1gx(gn-1gn)=q-1gxgn-1=x。

(4)

由式(3)和式(4)可得：

qxg=gxgn=gx。

下列的定理给出对应于Taft代数的弱Hopf代数的代数结构和余代数结构的关系。

定理1 令W是任何类型的对应于Taft代数的弱Hopf代数。

(Ⅰ)如果x的乘法是第一类的,那么x的余乘法可能是第一类的或第二类的。

(Ⅱ)如果x的乘法是第二类的,那么x的余乘法只可能是第二类的。

证明 由于W是由g，x所生成，W的余乘法是由生成元g，x的余乘(△(g)=g⊗g，△(x)=g⊗x+x⊗1)所诱导。要证明它的确诱导了W上的满足余结合律的余乘运算，只需证明它保持关系(1)、(2)和(3)。

易见g余乘法保持关系(1)、(2)、(3)。容易证明，无论x的乘法是什么类型,余乘法总保持关系(1)。

(Ⅰ)如果x的乘法是第一类的,而且x的余乘法是第一类的,那么，

△(gx)= (g⊗g)(g⊗x+x⊗1)=

gg⊗gx+gx⊗g=

gg⊗(qxg)+(qxg)⊗g=

q(g⊗x+x⊗1)(g⊗g)=

△(qxg)。

如果x的乘法是第一类的,而且x的余乘法是第二类的,那么，

△(gx)= (g⊗g)(g⊗x+x⊗gn)=

g2⊗gx+gx⊗ggn=

g2⊗(qxg)+(qxg)⊗ggn=

q(g⊗x+x⊗gn)(g⊗g)=

△(qxg)。

(Ⅱ)如果x的乘法是第二类的,而x的余乘法是第二类的,那么，

△(gxgn-1)= (g⊗g)(g⊗x+x⊗gn)(gn-1⊗gn-1)=

gggn-1⊗gxgn-1+gxgn-1⊗ggngn-1=

g⊗(qx)+(qx)⊗gn=

q(g⊗x+x⊗gn)=

△(qx)。

如果x的乘法是第二类的,而x的余乘法是第一类的,那么，

△(gxgn-1)= (g⊗g)(g⊗x+x⊗1)(gn-1⊗gn-1)=

gggn-1⊗gxgn-1+gxgn-1⊗ggn-1=

g⊗(qx)+(qx)⊗gn=

q(g⊗x+x⊗gn)。

但是，

△(qx)=q(g⊗x+x⊗1)。

所以，如果x的乘法是第二类的,而x的余乘法是第一类的，则它不能诱导W上的余乘法。

现在证明T诱导了W上的弱对极，即T×id×T=T,id×T×id=id。首现将它们作用在生成元g，x上。有：

T×id×T(g)=M(T⊗id⊗T)(g⊗g⊗g)=gn-1ggn-1=gn-1=T(g)。

id×T×id(g)=M(id⊗T⊗id)(g⊗g⊗g)=ggn-1g=g=id(g)。

T×id×T(x)=M(T⊗id⊗T)(g⊗g⊗x+g⊗x⊗1+x⊗1⊗1)=

gn-1g(-gn-1x)+gn-1x+(-gn-1x)=

-gn-1x+gn-1x-gn-1x=-gn-1x=T(x)。

id×T×id(x) =M(id⊗T⊗id)(g⊗g⊗x+g⊗x⊗1+x⊗1⊗1)=

ggn-1x+g(-gn-1x)+x=x=id(x)。

为了证明T诱导了W上的弱对极，还需证明它保持关系(1)、(2)、(3)，即:

T(gn+1)=T(g),T(xn)=0,T(gx)=T(qxg),T(gxgn-1)=T(qx)。

前3个等式较容易，而第4个等式证明如下：注意到T是反代数同态，

T(gxgn-1) =T(gn-1)T(x)T(g)=(gn-1)n-1(-gn-1x)(gn-1)=

-gn(n-2)gn-1(gxgn-1)=-gn-1(qx)=T(qx)。

这样就完成了定理的证明。

表1 对应于Taft代数的弱Hopf代数

把这3个对应于Taft代数的弱Hopf代数称为弱Taft代数。

3 代数结构

定理2W可被写成双边理想的直和：W=W1⊕W2,而且作为代数

(Ⅰ)W1同构于Taft代数Hn2(q)。

(Ⅱ)如果x的乘法是第一类的,那么W2同构于由单个元素y生成的n-维代数An，满足yn=0。

(Ⅲ)如果x的乘法是第二类的,那么W2同构于平凡代数k。

(Ⅱ)因为(x(1-gn))n=xn(1-gn)n=0。并且

(x(1-gn))n-1=xn-1(1-gn)n-1=xn-1(1-gn)≠0。

(Ⅲ)因为x是第二类的,xgn=q-1gxgn-1gn=q-1gxgn-1=x。因此,x(1-gn)=0。

证明 因为△(1-gn)=1⊗1-gn⊗gn=1⊗1-gn⊗1+gn⊗1-gn⊗gn=(1-gn)⊗1+gn⊗(1-gn),以及

T(1-gn)=T(1)-(T(g))n=1-(gn-1)n=1-gn，

4 余代数结构

△(gx)=△(g)△(x)=(g⊗g)(g⊗x+x⊗1)=g2⊗gx+gx⊗g，

△(gix)=△(gi)△(x)=(gi⊗gi)(g⊗x+x⊗1)=gi+1⊗gix+gix⊗gi，i=1,2,…,n。

△(gx)=△(g)△(x)=(g⊗g)(g⊗x+x⊗gn)=g2⊗gx+gx⊗g，

△(gix)=△(gi)△(x)=(gi⊗gi)(g⊗x+x⊗gn)=gi+1⊗gix+gix⊗gi,i=1,2,…,n。

△(gx)=△(g)△(x)=(g⊗g)(g⊗x+x⊗gn)=g2⊗gx+gx⊗g，

△(gix)=△(gi)△(x)=(gi⊗gi)(g⊗x+x⊗gn)=gi+1⊗gix+gix⊗gi，i=1,2,…,n。

下面证明3个弱Taft代数都有同构于Taft代数Hn2(q)的子Hopf代数。图4、图5和图6分别是图1、图2和图3子箭图，它们所对应的子Hopf代数分别记为U1、U2和U3。

定理4 U1、U2、U3均同构于Taft代数Hn2(q)。

图1 H1n2(q)的Ext箭图 图2 H2n2(q)的Ext箭图 图3 H3n2(q)的Ext箭图图4 H1n2(q)的子Ext箭图图5 H2n2(q)的子Ext箭图图6 H3n2(q)的子Ext箭图

5 结论

按现有的方法，把Taft代数作弱扩张。乘法和余乘法各有两种定义，得到4种可能的弱Taft代数，经检验有3种构成弱Hopf代数。作为代数，这3个弱Hopf代数均有一个直和项，它同构于Taft代数。作为余代数，这3个弱Hopf代数均有一个子Hopf代数，它同构于Taft代数。

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国家自然科学基金项目(11171296)

程东明(1961-),男,福建福州人,副教授,博士,研究方向为量子群.

2014-07-06

1672-6871(2015)03-0086-04

O153

A