关于求参量取值范围的几点思考

江胜洪

【摘要】求参量取值范围问题是高考备考的重要内容，题目也是种类繁多，不同类型必然会有不同解法，本文旨在抛砖引玉，将平时的一些思考作了如下总结.

【关键词】变量；参量；集中；绝对值；恒成立

高中数学中的求范围问题向来是函数的一个难点，尤其是已知参量范围求变量范围，或是已知变量范围求参量范围，让学生绞尽脑汁，现在笔者提供三种方法，在解题中思路明确，解法简洁，现举例说明.

方法一：参量一头，变量一头

例1对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立，则实数k的取值范围是（）.

A.k≥1B.k >1C.k≤1D.k<1

解析此题的特点是：含有变量的表达式直接在不等号的左侧，而参量k在不等式的右侧，实现了参量一头，变量一头.k小于一个范围恒成立，则k小于这个范围的最小值，于是，只需求左侧函数y=|x+2|+|x+1|的最小值即可.显然，y=|x+2|+|x+1|∈1，+∞，所以k<1.

例2已知f（x）=x2+2（a-2）x+4，如果对x∈[1，2]，f（x）>0恒成立，那么实数a的取值范围是

解析此题已知变量的范围，求参量的范围.x2+2（a-2）x+4>0，先整理成关于a的一次函数的形式，即2ax+x2-4x+4>0，通过移项有2ax>-x2+4x-4，因为x>0，此不等式可转化为2a>-x2+4x-4x=-（x+4x）+4，这样就做到了参量一头，变量一头.2a大于一个范围恒成立，则2a大于这个范围的最大值，而y=-x+4x+4的最大值为0，所以2a>0，即a>0.

方法二：化参为变，化变为参

例3对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，则x的取值范围为.

解析给出了参量的范围，求变量的范围.我们可以转变一下思路，将参量看作是变量，将变量看作是参量，先整理成关于p的一次函数的形式，通过变形可以看到：（x-1）p+x2-4x+3>0，那么，在0≤p≤4得范围内，函数图像就是一段线段，要想让线段上的所有点的函数值都大于零，只需让线段两个端点的函数值大于零，于是，令f（0）>0f（4）>0解得x的取值范围为x>3或x<-1.

方法三：构造函数，控制图像

例4不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.

解析当a-2=0，即a=2时，-4<0满足题意.

当a-2≠0时，构造函数y=（a-2）x2+2（a-2）x-4，要想让所有的函数值都小于零，只需要二次函数开口向下，与x轴无交点，而这种图像用不等式来控制就是a-2<0Δ<0，解得-12

例5若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0且a≠1）的图像有两个公共点，求a的取值范围.

解析当0

由已知得0<2a<1，即0

当a>1时，y=|ax-1|.

由已知得0<2a<1，即01矛盾.

综上可知，a的取值范围是0