初中几何相似三角形的几种模型及应用

李朝阳

摘 要：针对九下几何最难的一章《相似三角形》的教学进行研究，特别是对它进行自定义的形象化、模型化归纳，在教学中对复杂多变的相似三角形的寻找和成比例线段的推导有指引作用

关键词： 母子型；四点共圆型；一线三等角型

相似三角形是九年下学期的教学内容，在初中几何中是最难的一章，相似三角形的有关证明一直是近几年中考中的重点和难点，在中考常是压轴题，所占的分数也较多，而且证明的方法灵活多变，为了能让教师教得更有效率，学生学得更快，更容易理解，特地对本章的教学内容作下面的归纳总结、模型化研究，以便相互学习提高.

相似三角形的几种判定定理：母定理生了3个子定理（课本定理的形象化描述，仅用于学生的方便记忆）.

母定理（平行定理）（1）…（SSS）（2）…（SAS）（3）…（AA）

（母定理）一直线截三角形两边且平行于第三边，所得的新三角形与原三角形相似.⑴（SSS）若两个三角形三边对应成比例，则两三角形相似；⑵ （SAS） 若两个三角形两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似；⑶（AA） 若两个三角形两个角对应相等，则两个三角形相似 .

在母定理推导子定理的过程中用到了全等构造，而全等的构造证明又刚好是用（SSS）、（SAS）、（ASA），为方便相似判定方法的记忆，我们可以采用（SSS）、（SAS）、（AA）来形象记忆相似三角形的三种判定方法.相似三角形的大小不一，没有全等三角形那么好观察，而且证法多样，成比例的线段繁多，给学生解题带来很多不便，为了便于观察图形特征，总结证明规律，特把相似中可能遇到的一些图形进行模型化归纳研究，以便学生能更快、更好地掌握相似的判定和应用.

4 四点共圆型（图10-图12）（四点共圆也称反A型、反X型，其中比较特殊的是双垂型（图12），BC刚好是外接圆的直径）

四点共圆型本身一般没有画出圆，但我们在思考的时候可以借圆来观察，特别是在圆中来观察相等的角比较方便、直观，从而得到相似的三角形，成比例线段等.

以（图10）为例，在圆中容易得到切割线定理的推论：AD·AB=AE·AC；以（图11）、（图12）为例，在圆中容易得到相交弦定理：AE·BE=CE·DE；其中（图12）两个定理都存在，里面有4对相似三角形：⑴△FBC∽△FAD、⑵△FCD∽△FBA、⑶△ADE∽△CBE、⑷△ACE∽△DBE.当我们把（图10）、（图11）两个图的线段连接形如（图12）（不一定垂直）时，则里面都存在有四对相似三角形，里面成比例的线段很多，可研究的内容太多了，但以圆为参照来观察、思考就会方便得多，所以把这个模型称之为四点共圆型.

5 一线三等角型（图13-图15）（图15的一线三直角型是其特例）

一线三等角型相似三角形是以等腰三角形（等边三角形）、等腰梯形、矩形等为背景（如图13-图15）为代表的三种情况）.通过两角对应相等，我们可以证得左右两个阴影的三角形相似（以图13为例）.△BED∽△CDF，即BE·CF=BD·CD.这个积的等式可以看作下图（图13）中阴影的左右两个三角形一线（一线上三等角的那一线）上两边的积与两侧两边的积相等（横的两条边的积=竖的两边积）.若一线（一线上三等角的那一线）如图（图14）、（图15）水平放置，则这一结论一样适用，这样学生要记住结论就很容易了.

在平时的解题中，经常会遇到变化的图形（不会像上面3个图（图13-图15）那么典型），我们要学会观察发现相似的三角形是哪两对，从而找到成比例的线段.在观察变化的图形中，可以紧紧抓住相等的角，从相等的角寻找对应三角形、对应线段，则万变不离其宗（如下图16-图19）.以三角形为例的几种变化，观察标记相同的角即为相等的角，就可以很容易找到相似三角形）.如下（例5、（2013莆田中考25题）.

例5 （图20）（2013莆田中考第25题）在Rt△ABC中，∠C= 90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E.

（l）特殊验证：若AC= BC，且D为AB中点，求证：DM= DN，AE= DF；

从上面的许多例子，特别是近三年来莆田中考的例子可以发现：中考相似三角形的有关证明题，众多考生在解答时都觉得很难，但在上面的用模型的角度来理解分析，都能比较容易而且能较快的证明它.所以对上面所列举相似模型的理解掌握，对相似的有关证明有重要意义：能促进学生更快的观察题目的模型，能促进学生更快的找到相似三角形，能促进学生更快的找到成比例线段，能促进学生更快的找到解题方向.

在相似有关证明题中，遇到的模型并不一定是上面所列举的那几种，题目总是变化多端，图形也总是千变万化.我们只有以相似判定定理为基本，以相似模型为基础，多练习，多观察，多归纳总结，对中考中的相似的压轴题解决一定会有帮助，学生在解题过程中也有思考的方向，解题也更有思路方法.