一道 高考题的解法、推广与变式

林廷胜

摘 要：介绍一道高考数学题三种不同的解法；由题目的结论，推广更一般性的结论，进而得到四个推论；把题目的条件与结论对换，即变式1，进行证明，把所求的结论改为求线段AB的中垂线的方程，即变式2，由变式2推广更一般性的结论，进而得到四个结论.

关键词：抛物线 直线 垂直平分线 四点共圆

题目 （2014年全国高考题大纲卷理科数学）已知抛物线c：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线c的交点为Q，且|QF|=|PQ|，如图1所示.

（1）求抛物线c的方程；

（2）过F的直线l与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程 .

本文只针对问题（2）进行求解、推广与变式，问题（1）求得抛物线的方程为y2=4x.

解法1 依题意可知直线l不与两坐标轴垂直，

又过F（1，0）可设直线方程l：x=ty+1（t≠0），

A（x1，y1），B（x2，y2），由x=ty+1y2=4x，消去x得

y2-4ty-4=0，y1+y2=4t，y1y2=-4，

|AB|=

===4（t2+1）.

线段AB中点D（2t2+1，2t），即直线l与直线l′的交点，则直线MN方程：y-2t=-t（x-2t2-1），即x=-y+2t2+3，代入y2=4x得y2+y-8t2-12=0，

设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3+y4=-，y3y4=-8t2-12，

|MN|==

==.

线段MN中点E+2t2+3，-，

|DE|==.

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，则此共圆以E为圆的圆心，以|MN|为圆的直径，

∴|EA|=|EB|=|MN|.

在Rt△AED中，|AE|2=|AD|2+|ED|2，

即|MN|2=|AB|2+|ED|2，即

·（2t2+1）=4（t2+1）2+++12+4t2，整理得：t4-t2=0，解的t=0（舍去），t=±1，所以所求的直线l的方程为：y=x-1或y=-x+1.

评注 解有关直线与圆锥曲线的问题，圆锥曲线上的点常常设而不求；直线过定点，定点在x轴时，设直线的方程一般是用y的代数式来表示x，可以大大减少运算量；共圆问题转化为直角三角形问题解决.

解法2 依题意可设A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）

且y1≠y2≠y3≠y4≠1，

直线AB斜率kAB== .

同理可得直线MN斜率kMN=，直线AM斜率kAM=，

直线AN斜率kAN=， 直线BM斜率kBM=， 直线BN斜率kBN=.

∵AB⊥MN， ∴ kAB·kmn=-1，即·=-1，即（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，

∴此四点的共圆以线段MN为圆的直径，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1，

同理可得 （y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②与③左右两边分别相减且y1≠y2，

整理得y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2） 2=4，y1+y2=±2，kAB==±1，

∵直线l过F（1，0） ， 所求的直线l的方程y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

评注 本解法少了繁杂的运算，解析几何题目的魅力在于最快最简洁得到结果，点在抛物线上直接利用抛物线的方程进行设元，直径所对的圆心角是直角，把共圆问题转化为直线垂直问题.

解法3 依题意可设A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）且y1≠y2≠y3≠y4=0，

∵=（y22-y12，2y2-2y1），=（y42-y32，2y4-2y3），

∵=（y32-y12，2y3-2y1），=（y42-y12，2y4-2y1），

∵=（y32-y22，2y3-2y2），=（y42-y22，2y4-2y2），

∵AB⊥MN， ∴ ·=0，

即（y22-y12）·（y42-2y32）+（y22-y12）+（2y2-2y3）·（2y4-2y3）=0，

整理得（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，

∴四点的共圆以线段MN为圆的直径，∴AM⊥AN，BM⊥BN， ∴·=0，·=0

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②与③左右两边分别相减且y1≠y2，整理得，

y1+y2+y3+y4=0即y3+y4=-（y1+y2）=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2=4，y1+y2=±2，直线AB的斜率kAB===±1，

∵直线l过F（1，0） ， ∴所求的直线l的方程为：

y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

评注 本解法与解法2思路类似，不同的是直线垂直问题转化为向量垂直，可以避免繁杂的分数运算，进一步优化了解法2.

推论1 过抛物线c：y2=2px（p>0） 的焦点为F的直线l与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l方程为：y=±x-.

证明 依题意可设A（2py12，2py1）、B（2py22，2py2）、M（2py32，2py3）、N（2py42，2py4）且y1≠y2≠y3≠y4≠ ，

直线AB斜率kAB==，

同理可得，直线MN斜率kMN=，直线AM斜率kAM=，

直线AN斜率kAN=，直线BM斜率kBM=，直线BN斜率kBN=，

，∵AB⊥MN，∴kAB·kmn=-1，即·=1，

即（y1+y2）·（y3+y4）=-1，①

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，

∴四点的共圆以线段MN为圆的直径，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-1， ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-1， ③

由②与③左右两边分别相减且y1≠y2 ， 整理得， y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2 ， y1+y2=±1， kAB==±1，

∵直线l过F，0， ∴所求的直线l的方程为：

y=±x-，即y=x-或y=-x+.

同理可得如下的结论：

推论2 过抛物线c：x2=2py（p>0） 的焦点F的直线与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线方程为：y=±x+.

推论3 过抛物线线c：x2=2py（p>0）的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l的方程为：y=±x+.

推论4 过抛物线c：x2=-2px（p>0）的焦点F的直线与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线方程为：y=±x-.

变式1 过F的直线l：y=x-1与抛物线交A、B两点，AB的垂直平分线l′与c：y2=4x相交于M、N两点，

求证：A、M、B、N四点在同一圆上.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B两点在直线l：y=x-1上，∴x1+x2=y1+1+y2+1=6. ∴线段AB的中点D（3，2），即直线l与直线l′的交点，

|AB|==

===8，则=4，

因为直线l′为线段AB的垂直平分线，则斜率为-1，又过点D（3，2），则直线l′的方程为，y-2=-（x-3）即y=-x+5

由y=-x+5y2=4x消去x得y2-4y-20=0，y3+y4=-4，y3y4=-20，

∵M、N两点在直线l′方程为：y=-x+5上，

∴x1+x2=-（y3+y4）+10=14.

∴线段MN的中点E（7，-2），

|MN|==

===8，

则=4，

|DE|==4，

∴（4）2=（4）2+42，

即2+DE2=2，

又∵2+DE2=AE2，

2+DE2=BE2 .

∴=AE=BE又∵=EM=EN.

∴EM=EN=EA=EB.

即证A、M、B、N四点共圆.

变式2 过F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求M、N所在直线l′的方程 .

分析：先求出直线l的方程，再求出线段AB的中点，进而得到线段AB的中垂线l′的方程.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由前面求得直线l方程为：y=x-1或y=-x+1.

当直线l方程为y=x-1时，由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B两点在直线l：y=x-1上，∴x1+x2=6，∴线段AB的中点D （3，2），且直线l′的方程的斜率为-1，所以M、N所在的直线的方程为：y-2=-（x-3）即y=-x+5.

当直线l方程为y=-x+1时，由y=-x+1y2=4x消去x得y2+4y-4=0，y1+y2=-4，y1y2=-4，∵A、B两点在直线l方程为：y=-x+1上，∴x1+x2=6. ∴线段AB的中点D（3，-2），且直线l′的方程的斜率为1，所以M、N所在的直线l′的方程为：y+2=x-3即y=x-5.

可以得到如下的结论：

推论5 过抛物线c：y2=2px（p>0） 的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x-

摘 要：介绍一道高考数学题三种不同的解法；由题目的结论，推广更一般性的结论，进而得到四个推论；把题目的条件与结论对换，即变式1，进行证明，把所求的结论改为求线段AB的中垂线的方程，即变式2，由变式2推广更一般性的结论，进而得到四个结论.

关键词：抛物线 直线 垂直平分线 四点共圆

题目 （2014年全国高考题大纲卷理科数学）已知抛物线c：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线c的交点为Q，且|QF|=|PQ|，如图1所示.

（1）求抛物线c的方程；

（2）过F的直线l与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程 .

本文只针对问题（2）进行求解、推广与变式，问题（1）求得抛物线的方程为y2=4x.

解法1 依题意可知直线l不与两坐标轴垂直，

又过F（1，0）可设直线方程l：x=ty+1（t≠0），

A（x1，y1），B（x2，y2），由x=ty+1y2=4x，消去x得

y2-4ty-4=0，y1+y2=4t，y1y2=-4，

|AB|=

===4（t2+1）.

线段AB中点D（2t2+1，2t），即直线l与直线l′的交点，则直线MN方程：y-2t=-t（x-2t2-1），即x=-y+2t2+3，代入y2=4x得y2+y-8t2-12=0，

设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3+y4=-，y3y4=-8t2-12，

|MN|==

==.

线段MN中点E+2t2+3，-，

|DE|==.

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，则此共圆以E为圆的圆心，以|MN|为圆的直径，

∴|EA|=|EB|=|MN|.

在Rt△AED中，|AE|2=|AD|2+|ED|2，

即|MN|2=|AB|2+|ED|2，即

·（2t2+1）=4（t2+1）2+++12+4t2，整理得：t4-t2=0，解的t=0（舍去），t=±1，所以所求的直线l的方程为：y=x-1或y=-x+1.

评注 解有关直线与圆锥曲线的问题，圆锥曲线上的点常常设而不求；直线过定点，定点在x轴时，设直线的方程一般是用y的代数式来表示x，可以大大减少运算量；共圆问题转化为直角三角形问题解决.

解法2 依题意可设A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）

且y1≠y2≠y3≠y4≠1，

直线AB斜率kAB== .

同理可得直线MN斜率kMN=，直线AM斜率kAM=，

直线AN斜率kAN=， 直线BM斜率kBM=， 直线BN斜率kBN=.

∵AB⊥MN， ∴ kAB·kmn=-1，即·=-1，即（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，

∴此四点的共圆以线段MN为圆的直径，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1，

同理可得 （y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②与③左右两边分别相减且y1≠y2，

整理得y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2） 2=4，y1+y2=±2，kAB==±1，

∵直线l过F（1，0） ， 所求的直线l的方程y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

评注 本解法少了繁杂的运算，解析几何题目的魅力在于最快最简洁得到结果，点在抛物线上直接利用抛物线的方程进行设元，直径所对的圆心角是直角，把共圆问题转化为直线垂直问题.

解法3 依题意可设A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）且y1≠y2≠y3≠y4=0，

∵=（y22-y12，2y2-2y1），=（y42-y32，2y4-2y3），

∵=（y32-y12，2y3-2y1），=（y42-y12，2y4-2y1），

∵=（y32-y22，2y3-2y2），=（y42-y22，2y4-2y2），

∵AB⊥MN， ∴ ·=0，

即（y22-y12）·（y42-2y32）+（y22-y12）+（2y2-2y3）·（2y4-2y3）=0，

整理得（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，

∴四点的共圆以线段MN为圆的直径，∴AM⊥AN，BM⊥BN， ∴·=0，·=0

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②与③左右两边分别相减且y1≠y2，整理得，

y1+y2+y3+y4=0即y3+y4=-（y1+y2）=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2=4，y1+y2=±2，直线AB的斜率kAB===±1，

∵直线l过F（1，0） ， ∴所求的直线l的方程为：

y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

评注 本解法与解法2思路类似，不同的是直线垂直问题转化为向量垂直，可以避免繁杂的分数运算，进一步优化了解法2.

推论1 过抛物线c：y2=2px（p>0） 的焦点为F的直线l与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l方程为：y=±x-.

证明 依题意可设A（2py12，2py1）、B（2py22，2py2）、M（2py32，2py3）、N（2py42，2py4）且y1≠y2≠y3≠y4≠ ，

直线AB斜率kAB==，

同理可得，直线MN斜率kMN=，直线AM斜率kAM=，

直线AN斜率kAN=，直线BM斜率kBM=，直线BN斜率kBN=，

，∵AB⊥MN，∴kAB·kmn=-1，即·=1，

即（y1+y2）·（y3+y4）=-1，①

∵A、M、B、N四点在同一圆上，且MN垂直平分线段AB，

∴四点的共圆以线段MN为圆的直径，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-1， ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-1， ③

由②与③左右两边分别相减且y1≠y2 ， 整理得， y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2 ， y1+y2=±1， kAB==±1，

∵直线l过F，0， ∴所求的直线l的方程为：

y=±x-，即y=x-或y=-x+.

同理可得如下的结论：

推论2 过抛物线c：x2=2py（p>0） 的焦点F的直线与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线方程为：y=±x+.

推论3 过抛物线线c：x2=2py（p>0）的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l的方程为：y=±x+.

推论4 过抛物线c：x2=-2px（p>0）的焦点F的直线与c相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线方程为：y=±x-.

变式1 过F的直线l：y=x-1与抛物线交A、B两点，AB的垂直平分线l′与c：y2=4x相交于M、N两点，

求证：A、M、B、N四点在同一圆上.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B两点在直线l：y=x-1上，∴x1+x2=y1+1+y2+1=6. ∴线段AB的中点D（3，2），即直线l与直线l′的交点，

|AB|==

===8，则=4，

因为直线l′为线段AB的垂直平分线，则斜率为-1，又过点D（3，2），则直线l′的方程为，y-2=-（x-3）即y=-x+5

由y=-x+5y2=4x消去x得y2-4y-20=0，y3+y4=-4，y3y4=-20，

∵M、N两点在直线l′方程为：y=-x+5上，

∴x1+x2=-（y3+y4）+10=14.

∴线段MN的中点E（7，-2），

|MN|==

===8，

则=4，

|DE|==4，

∴（4）2=（4）2+42，

即2+DE2=2，

又∵2+DE2=AE2，

2+DE2=BE2 .

∴=AE=BE又∵=EM=EN.

∴EM=EN=EA=EB.

即证A、M、B、N四点共圆.

变式2 过F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求M、N所在直线l′的方程 .

分析：先求出直线l的方程，再求出线段AB的中点，进而得到线段AB的中垂线l′的方程.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由前面求得直线l方程为：y=x-1或y=-x+1.

当直线l方程为y=x-1时，由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B两点在直线l：y=x-1上，∴x1+x2=6，∴线段AB的中点D （3，2），且直线l′的方程的斜率为-1，所以M、N所在的直线的方程为：y-2=-（x-3）即y=-x+5.

当直线l方程为y=-x+1时，由y=-x+1y2=4x消去x得y2+4y-4=0，y1+y2=-4，y1y2=-4，∵A、B两点在直线l方程为：y=-x+1上，∴x1+x2=6. ∴线段AB的中点D（3，-2），且直线l′的方程的斜率为1，所以M、N所在的直线l′的方程为：y+2=x-3即y=x-5.

可以得到如下的结论：

推论5 过抛物线c：y2=2px（p>0） 的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x-.

推论6 过抛物线c：y2=-2px（p>0） 的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x+.

推论7 过抛物线c：x2=2py（p>0） 的焦点为F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x+.

推论8 过抛物线c：x2=-2py（p>0） 的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x-. .

推论6 过抛物线c：y2=-2px（p>0） 的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x+.

推论7 过抛物线c：x2=2py（p>0） 的焦点为F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x+.

推论8 过抛物线c：x2=-2py（p>0） 的焦点F的直线l与c相交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线l′与c相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，则直线l′方程为：y=±x-.