浅析数学思想在高中数学教学中的运用

周章权

【摘 要】在高中数学的教学中，最核心的教学理念是数学思想，是保证学生学好数学的重要基础保障和途径。重视和加强数学思想在高中数学教学中的渗透，对于促进加深学生对数学知识的掌握有着重要的指导意义。本文从高中数学中最常见的三种数学思想进行分析讨论，通过其应用原理的分析，进一步了解这三种数学思想在数学教学中应用价值，为高中数学的教学指导提供参考资料。

【关键词】数学思想；高中数学；应用

在高中数学的教学中，数学思想的运用相当广泛，最常见的数学思想有四种，分别是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想。其中，函数与方程就是通过实现函数与方程的的构建，来解答数学题目，一般在数列、不等式、立体几何、解析几何以及概率统计中也都有应用。除了在选择题和填空题中出现之外，在解答题中的应用更为深刻，重在研究问题中变量的运动，寻找等量关系。本文将针对前面三种数学思想进行简单论述。

一、转化思想

转化思想就是实现等价转化，该思想方式主要是通过将未知的数学问题于一定条件下转化成已知的数学知识，来解决数学问题。教师对学生进行引导，利用已经掌握的知识和解题技巧，实现问题的简化，从而解决数学问题。由于转化思想的简单、灵活性、成功率高等特点，等价转化被教师广泛运用于数学教学中，成为教学中最常见和实用的数学方式。另外，任何一种思想方法的运用都不是随意、无章法使用的，在等价转化的使用中，要以形与形、数与数、数与形之间的关联为前提，合理根据要求进行转化。转化思想的运用，有助于学生思维能力的培养，促进学生对于数学解题方法的灵活运用。

例题“设a，b∈R，且，3a2+2b2=6a求a2+b2的范围”，在这个题目中，其解题思路是：有两个未知变量a、b，一般情况下，要进行等价转化来消除或者是减少未知变量，设参数为k=a2+b2，此题保留主变量a，那么b2=a2-k，为了消除变量b，将题设条件代入等式，变化得到关于a的函数式之后，根据已知限定条件a、b∈R，在特定区间求值域，逐步确定的取值范围，也就是本题所要的答案（a2+b2）∈[0，4]。

二、数形结合思想

数形结合，就是实现数字和图形的结合使用，实现代数问题和几何问题的转化互助利用，达到解决数学问题的目的，是数学教学中很重要的思想方法。数量与文字以及图形之间存在着等量关系，将数量与图形相互转换来解决数学问题。根据数学题目出现形式的不同，其最终应用细节就存在于两个方面：一方面是借助图形将这些数量或文字形象化、生动化，让人们能够更直观、鲜明地了解数量关系，譬如极限函数、周期函数等。另一方面则是通过数量和文字将图形进行准确性描述，使问题信息表达更加规范，更加具有严密性。数形结合的本质是将复杂的问题简单化，通过更加清晰且准确的表达形式来体现，体现了这一数学思想具有的灵活性、多变性及严谨性。数字与图形的相辅相成、互相影响，让解题思路更加清晰、明朗，有效促进数学问题的解决效率提高，实现学习的事半功倍。

例题“若方程■=x-m，有两个不等根，那么实数m的取值范围是”，根据题目意思，我们可以视曲线y=■与直线y=x-m，在坐标上有交点，而且至少是两个点，根据此信息，曲线是一个以坐标（0，0）为圆心的半圆，而且处于横轴x上方，直线则是一条倾斜夹角45°、与纵轴y相交截距为-m，我们可以将图作出（如下图），要保证两线相交的点至少有两个，也就是要满足条件-m∈[1，■），因此m的取值范围是（-■，-1]。数形结合的数学思想将数字信息直观化、简单化，为数学问题的分析节约了时间，提高了学习效率。

三、分类讨论思想

分类讨论，就是将从复杂的数学问题中发现规律、总结规律，然后进行针对性分类讨论和研究，以全方面多角度的进行数学问题的解决。通过归纳总结，探索出解决相关数学难题的有效方法和途径，可以有效缩短解题时间，提高学习效率。分类讨论的思想具有归纳性、总结性、逻辑条理性、探索性以及创新性等多重特点，因此，在对学生的综合性自主性能力的培养上有着重要作用。

例题“设函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，要求判断函数f（x）的奇偶性，并求f（x）的最小值。”在此题中，考虑到有绝对值符号和参数，首先就需要判断参数a是否等于零，则

当a=0时，函数f（-x）=（-x）2+|-x|+1=f（x），则函数为偶函数，

当a≠0时，函数f（a）=a2+1，f（-a）=x2+2|a|+1。

也就是说明f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）

那么，根据函数的定义，函数就不是奇函数也不是偶函数。

求函数最小值时，要考虑去绝对值符号，要做到分类划分区段无重复、讨论遗漏。首先要考虑x与a的大小关系，当x≤a与x≥a时，列出的不同函数表达式，在不同的表达式中，参数又要根据某一个数值进行范围讨论，根据函数在某一区间的单调性进行最小值进行确定。在这一步的整个解答过程中，学生不仅要考虑分组讨论，还要注意分组中的深度细分，这就要求学生有很好的归纳整理和逻辑思维能力，避免在讨论解答中出现遗漏或者重复，具有条理性、标准性，保证思路清晰，解答正确。

因此，在高中数学的教学中，教师对于分类讨论这一数学思想的培养要引起高度的重视。分类讨论思想不仅能培养学生学习数学各方面的能力，也是对学生整个思维逻辑和思维模式的培养创造了条件，只有这样才能更有效地培养学生探究问题的能力和思维的发展具有很重要的教育意义。

结语

综上所述，数学思想在高中数学教学中的合理化运用，不仅可以拓展学生的数学思维，还能提高教师的教学效果，体现教师教学水平。因此，教师应该充分认识到数学思想的重要性，在教学中提高自身的数学思想意识前提下，对学生进行言传身教，在潜移默化中引导和培养学生的数学思想习惯，形成良好的思维模式，让学生将数学思想与实际数学课程进行有机融合，倡导和鼓励学生进行多种数学思想的综合性运用。在有效的数学思想运用机制中，实现知识的全面渗透、共享，有助于提高学生的数学学习思维和能力，实现数学教学的根本目的。

【参考文献】

[1]黄多贵.浅谈分类讨论在高中数学中的教学[J].中国科教创新导刊，2008（9）

[2]张建虎.数列中的几种数学思想[J].中学课程辅导（高考高三语数外），2013（5）

（作者单位：福建省连江县文笔中学）