筅湖南省株洲县第五中学 方厚良
谈数学核心素养之数学抽象与培养*
筅湖南省株洲县第五中学方厚良
抽象作为一个概念,在日常生活和教育教学中被人们按自己的理解经常使用着,譬如,对不好把握和不易理解的东西说它太抽象了,教学要注意由具体到抽象等,这里面存在对抽象理解的混乱、误解,所以需要澄清认识.现代汉语词典(商务印书馆版,1978)的词条解释是:①从许多事物中,舍弃个别的、非本质的属性,抽出共同的本质属性,叫抽象,是形成概念的必要手段.②不能具体经验到的,笼统的;空洞的.从中看出,日常对抽象的认识大多属于解释②.对于释义①,抽象主要属于哲学范畴,是人类认识世界的一种科学方法和一种思维活动,中学数学一线教师虽然在日常教学中不断运用数学抽象,但对(数学)抽象的内涵、特征、方法等的认识相对来说还是比较薄弱的,由于缺乏必要的理论学习,大都停留在个人经验、无意识的运用层面,这必然影响数学教学的效率.特别的,普通高中数学课程标准修订提出了“六大数学核心素养”,其中就包括数学抽象(其余五个是逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析),作为课标修订工作两大重点突破之一(修订组长王尚志教授语),对今后的高中数学教学提出了新要求,需要一线教师主动加强学习,适应这种变化和要求.
基于上述分析,本文从数学核心素养视角来探讨数学抽象的相关含义、思想、方法、特征,并对如何培养学生的数学抽象素养谈些个人看法.
1.抽象、科学抽象与数学抽象
抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来进行考察的思维方法.抽象是思维的基础,只有具备了一定的抽象能力,才能使人们从感性认识中获得事物本质特征,从而上升到理性认识.
科学抽象必须具备客观性、实在性和可检验性,是客观事物所具有的某种属性、关系的真实反映,不是空洞的、荒谬的和神秘的虚构.科学抽象是借助概念、范畴的运动所进行的思维活动.所有科学,物理的、化学的、生物的……都有属于自己特点的抽象.
数学作为一门科学,除了具有抽象的一般共性外,它又有属于自己特殊的性质.文[1]认为,数学抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的方法.文[2]将数学抽象解释为:数学抽象就是指由具体事物中抽取出量的方面、属性或关系.并从哲学范畴,将量与质作比较,指出质的问题构成各门自然科学的特定研究对象,而数学所从事的正是纯粹的量的研究.史宁中教授在文[3]说:我们认为这种抽象(思维运动中的抽象)不仅可以在感性具体和理性具体之间搭建思维的桥梁,也可以在此理性具体与彼理性具体之间搭建思维的桥梁,前者必须依赖于感性具体,而后者则不必依赖于感性具体.针对数学的发展所依赖的抽象而言,我们称前者为第一次抽象,称后者为第二次抽象.虽然这两次抽象有着程度上的差异,但总体上可以认为,第一次抽象有利于发现新的知识,而第二次抽象有利于合理地解释那些发现了的知识.
梳理抽象、科学抽象和数学抽象间关系,有利于我们更好理解相关概念,有利于我们更好理解数学抽象,并为教学提供指导.
2.具体、抽象与概括
要更好理解(数学)抽象,有必要探讨与之紧密相关的另外两个概念,即具体和概括.
具体是指对客观存在着的各种事物或认识中的整体的反映,是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一.具体和抽象是一对哲学范畴,是人们认识过程中的两个不同方面,也是两种不同的科学思维方法,二者既是对立的又是统一的,并在一定条件下相互转化.在日常一般语义中,将具体视为抽象的反义词.课程标准在“教学建议”中提出:由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉,在教学中要引导学生经历从具体事例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质.
文[1]指出:概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法,以抽象为基础,是抽象的发展.抽象可以仅涉及一个对象,而概括则涉及一类对象.从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象,而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的相通性质.文[1]进一步指出:抽象思维侧重分析、提炼,概括思维则侧重归纳、综合.数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察分析,抽象出每个对象的各种属性,再通过归纳概括出各个对象的共同属性而形成的.概括是一种寻求共性的思维,概括能力越强,所得的结论就越深刻,越明确.
在某种意义上,主要是从思维活动的连续性看,人的认识是从具体到抽象再到概括,又回到具体的一个不断提升、循环的过程(不是机械简单重复).
3.作为数学核心素养的数学抽象
在“高中数学课程标准修订中若干问题”这篇文章中,鲍建生教授谈到这次课标修订聚焦数学核心素养问题,介绍了我国数学教育从三大能力到四基四能再到六个核心素养的发展过程,并指出数学抽象有以下四个方面的表现:形成数学概念和规则、形成数学命题与模型、形成数学方法与思想、形成数学结构与体系.这有利于我们把握高中数学课程改革的发展方向和突破重点,使我们对作为数学核心素养的数学抽象的学习要求、研究的内容和解决的问题等有初步了解.
史宁中教授对数学抽象有很多独到深刻的见解,作为“义务教育数学课程标准(修订稿)”组长,他对数学抽象的看法自然也影响到本次普通高中数学课程标准的修订工作.在文[4],史老提出数学的三大基本思想,即抽象、推理和模型.史老认为,抽象有两个层次,一个是直观描述,另一个是符号表达.指出第一次抽象是有物理背景的,用自然语言表达的,这种抽象具体、直观,容易创造,但是也容易有反例;第二次抽象的特点是符号化,符号化的特点是挑不出毛病,严谨,但是抽象,没有物理背景.建议必须知道第一次抽象,老师在讲课时也必须讲第一次抽象,讲具体的背景,不要遨游于一大堆抽象的符号之间,要有感性认识,要建立起直观来,有了直观,才能判断.在史老另一篇文章“漫谈数学的基本思想”中,史老对三大数学基本思想又作了这样的解说:抽象是把与数学有关的知识引入数学内部;推理促进数学内部的发展;模型是沟通数学与外部世界的桥梁.将数学抽象定性为数学的基本思想,有利于我们从思想层面进一步认识数学抽象的重要性,理解为什么将数学抽象纳入数学核心素养,同时,史老的建议也给数学抽象从教学操作层面提供了宝贵指导.
徐利治教授对数学抽象不仅有深刻的治学经验感悟积累,还对数学抽象的问题进行了较为系统的理论研究.在“谈谈我的一些数学治学经验”中,徐老将其数学治学经验概括为五句话:一是培养兴趣,二是追求简易,三是重视直观,四是学会抽象,五是不怕计算.(后来徐老又加了第六句“爱好文学”)在谈“学会抽象”时,徐老说抽象是达到数学模式简易性目标的必要手段和过程,并指出数学抽象包括有四个步骤,即(1)观察实例,(2)抓住共性,(3)提出概念,(4)构建系统或框架(理论).将之与课标修订提出的数学抽象表现比较,不难发现二者之间的相似性和联系.徐老与其合作者对数学抽象问题研究,据文[2]在第三章“数学抽象的方法与抽象度分析法”介绍,主要表现在三个方面:首先是关于数学抽象的定性分析,即从抽象的内容、方法与量度这样几个方面指明了数学抽象的特殊性;其次,提出了关于数学抽象的若干方法论原则;最后给出了数学抽象的定量分析即抽象度分析法.一方面,徐老从认识论意义上对数学抽象,特别是数学抽象的层次性进行分析,创造性地提出“数学抽象度”概念对数学抽象层次性进行数量刻画,为数学抽象的(定量)研究开创了新的路径,提供了有价值的方法,也为数学抽象的教学提供理论依据;另一方面,通过徐老的现身说法,为数学抽象能学会、能学好提供了成功榜样,激励大家学习数学抽象.
1.以数学核心概念形成为重点,让学生学会数学抽象
重视“双基”教学是我国数学教育的优良传统,数学核心素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中逐步形成的.从数学抽象的四个“表现”(形成数学概念和规则、形成数学命题与模型、形成数学方法与思想、形成数学结构与体系)看,数学概念又是最基本的.大家都知道,概念是思维的单元和细胞,概念组成命题,命题形成判断,数学方法和思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括.重视概念教学,提升概念教学水平,其中最切实的是抓数学核心概念形成的教学,选取学生熟悉的典型实例,提供丰富材料,让学生经历完整的数学抽象过程,熟悉数学抽象的“基本套路”,在概念形成的学习中学会数学抽象.下面给出概念形成的过程框架,供大家教学参考:
辨别(刺激模式)→分化(各种属性)→类化(共同属性)→抽象(本质属性)→检验(确认)→概括(形成概念)→形式化(符号表达).
把上述框架与史宁中教授关于数学抽象两层次提法比较,可以大致这样划分:从辨别到概括为第一次抽象,表现为用自然语言表达的直观描述;概括后到形式化,完成符号表达为第二次抽象.
2.以数学思维方法教育为核心,提升学生数学抽象能力
作为思维的基础和一种基本而重要的思维方法,数学抽象在数学教育的价值主要体现在数学思维训练方面,所以掌握数学抽象的方法和原则,努力提高学生数学抽象能力是培养数学抽象这一核心数学素养的关键.
概念形成是主要是从感性具体到理性具体的第一次数学抽象,除此外,利用由彼理性具体到此理性具体的第二次抽象,还可以用弱抽象与强抽象的方法构造出新的数学概念.弱抽象也叫“概念扩张式抽象”,指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象,从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念,并使前者成为后者的特例,它遵循“特性分离一般化原则”,例如,由“全等形”的概念出发,通过分离出“形状相似”与“面积相等”的特性,就可分别获得较为一般的“相似形”和“等积形”的概念;再譬如,人教A版必修1映射概念是通过对函数概念的弱抽象得出的;强抽象也叫“概念强化式抽象”,指通过引入新特征强化原型来完成抽象,从而获得新概念,新概念是原概念的特例,强抽象遵循“关系定性特征化原则”,例如,由平行四边形概念出发,通过引入“邻边相等”或“一个角为直角”的特性,分别获得较为特殊的棱形和矩形的概念.事实上,在形成数学命题和模型时,弱抽象和强抽象也是非常有用的.
史宁中教授主张“思维方法的教育=数学思想+思维经验”,所以要特别重视利用数学抽象形成数学方法和思想,或者说,对数学方法和数学思想的教学要真正实现“过程教育”,让学生亲身经历、实际操作,在不断地数学抽象过程中提升数学抽象能力.譬如,“坐标法的三步曲”,通过对典型案例的探讨,抽象概括出用坐标法解决几何问题的三个基本步骤:
第一步:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.
类似的有向量法解决几何问题的“三步曲”,它们将不同数学对象通过数学抽象搭桥,通过数学抽象完成问题变更与表征,最终抽象概括出数学方法.
3.以经典数学抽象故事为案例,使学生喜欢数学抽象
数学史上有许多经典数学抽象故事,生动而智慧,如哥尼斯堡七桥问题、笛卡尔与坐标法、微积分发明的英德之争等,将数学家们进行的数学抽象进行“再现”,故事的隐喻性较易让人感受到数学抽象是数学的长处、优点和有力武器,从而改变数学枯燥、难学、乏味的印象,用数学抽象的内在魅力使学生从内心深处喜欢上数学抽象和数学.案例的操作可以结合具体数学内容在课上穿插进行,也可以组织兴趣小组以校本课程开发形式开展.
数学的抽象性是数学的三大特征之一,数学抽象达到的程度大大超过其他学科,在一定程度造成了数学学习的困难,所以不能为抽象而抽象,史宁中教授说得好:数学的表达是符号的,但教学应当是物理的;数学的证明是形式的,但教学应当是直观的;数学的体系是公理的,但教学应当是归纳的.对于我们一线教师,进一步需做的工作包括:结合具体的数学内容和学生,如何选择恰当物理的、实例背景?怎样直观?设计怎样的活动进行归纳?等等.另外,新的高中数学课程标准还没有正式出台,虽然提出了数学抽象这一数学核心素养,但课标对数学抽象的界定与要求及如何在教学中落实等还有不明确、需探讨的东西,这可能不是朝夕之功,需多方面的参与和努力.
1.任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996.
2.郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,1996.
3.史宁中.数学的抽象[J].东北师大学报(哲学社会科学版),2008(5).
4.史宁中.数学的基本思想[J].数学通报,2011(1).
5.A.D.亚历山大·洛夫,等,著.数学——它的内容、方法和意义[M].孙小礼,等,译.北京:科学出版社,2001.
6.T.丹齐克,著.数:科学的语言[M].苏仲湘,译.上海:上海教育出版社,2000.
7.斯科特,著.数学史[M].侯德润,张兰,译.桂林:广西师范大学出版社,2002.Z
*本文为湖南省教育科学“十二五”规划2015年度基础教育研究课题“普通高中数学教材的心理化研究”(课题编号:XJK015CZXX074,主持人:方厚良)的研究成果之一.