理解数学理解学生理解教学——一节省赛课的教学设计与教后反思

筅安徽省淮南市第三中学全国新青年数学教师工作室　代银

理解数学理解学生理解教学——一节省赛课的教学设计与教后反思

筅安徽省淮南市第三中学全国新青年数学教师工作室代银

笔者有幸参加了2015年安徽省高中青年教师数学优秀课评比和观摩活动，并执教了高二年级《人教A版选修2-1》中“充分条件与必要条件”一课.评比采用随机抽签分成两组进行现场教学比赛，笔者以其中一组第一名的成绩获得了省赛一等奖，得到了评委老师的一致好评.然而“教学永远是一门遗憾的艺术”，反思才是不断进步的基础.章建跃博士也说过，数学课堂教学应该理解数学、理解学生、理解教学.笔者借此与大家一起从“理解”的三个方面分享比赛后的心得与收获的同时，反思教学的“遗憾”，寻求数学教学的真谛.

一、教学设计

（一）教学目标

（1）使学生理解充分条件、必要条件的概念；

（2）能正确判断是否是充分条件或必要条件；

（3）通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受；

（4）通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯.

（二）教学重难点

（1）重点：充分条件、必要条件概念；

（2）难点：必要条件概念的理解，充分条件、必要条件的判断.

（三）教学方法

启发诱导、合作探究.

（四）教学过程

1.问题引入

问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？

设计意图：从学生已有的知识体系出发提出问题，在学生的最近发展区构建新知，符合学生的普遍认知规律.另外，对于充要条件和必要条件的学习涉及命题的真假，通过具体的例子有助于学生对这两个概念的理解.

2.铺垫过渡

“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，数学讲究简洁美，用符号语言，记作p圯q.

例如：“若x>1，则x>0”为真命题，即“x>1圯x>0”.

设计意图：通过对命题的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.

3.新知建构

下面我们探究命题中条件与结论之间的关系.“若p，则q”为真命题，由于p的成立可以使得q成立，我们就称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.

定义：一般地，如果有p圯q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

结合学生之前的举例，直观感知概念.

从定义可见，“充分条件”、“必要条件”是在“若p，则q”为真命题的条件下，对命题的条件与结论之间关系的一种描述，条件p叫作结论q的充分条件，结论q叫作条件p的必要条件.

例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x>3，则x>2；

（2）若x=1，则x2-4x+3=0；

（3）若f（x）=x，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数.

问题2：对于命题（1）、（2）、（3），我们可不可以称q是p的必要条件呢？

设计意图：通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.

4.巩固新知

练习1：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？

（1）p：两圆面积相等；q：两圆半径相等.

（2）p：x>a2+b2；q：x>2ab.

（3）p：a>b；q：ac>bc.

（4）p：x为无理数；q：x2为无理数.

问题3：像在（3）（4）两个问题中p与q的关系应如何描述？

设计意图：概念的否定是概念理解的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.

练习2：判断下列各组问题中，q是p的必要条件吗？

（1）p：x>3；q：x>5.

（2）p：x>3；q：x>2.

（3）p：同位角相等；q：两直线平行.

（4）p：四边形对角线相等；q：四边形是平行四边形.

设计意图：提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”.

总结例1、练习1、练习2：

（1）判断p是不是q的充分条件，q是不是p的必要条件，都是在判断“若p，则q”是否为真命题；

（2）“p圯q”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是“三种表述，一个意思”.

问题4：在什么条件下，我们能说q是p的充分条件？p是q的必要条件？

例2用“充分条件”或“必要条件”填空：

（1）a>5是a>0的______________；

（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.

设计意图：本例的设计和应用主要目的有：（1）强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；（2）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（3）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备.

课堂活动：请同学们自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.

设计意图：让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识.

教师补充：p：x∈Z，q：x∈R，p圯q.（p是q的充分条件，q是p的必要条件）

设计意图：为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.

思考：已知p：x∈A，q：x∈B，且p圯q，试判断集合A，B间的关系.

设计意图：从集合关系的角度帮助同学们进一步理解“充分条件”和“必要条件”，并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果.

历史文化：我国战国时期《墨经》对充分条件、必要条件的描述：

充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”；

必要条件：“无之则必不然，有之则未必然”.

设计意图：通过历史文化的学习，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，进一步加深对新知的全面认识.

理性认识：追根溯源，其实对必要条件的理解，还可以从逆否命题的角度看待：原命题“若p，则q”为真命题，其逆否命题“若劭q，则劭p”也为真命题.即“q不成立，则p一定不成立”.

例如：“小明是芜湖人，则小明是安徽人”；

“小明是芜湖人”是“小明是安徽人”的充分条件.

“小明不是安徽人，则小明不是芜湖人”.

“小明是安徽人”是“小明是芜湖人”的必要条件.

设计意图：通过原命题与逆否命题的真假联系，从理性上认识必要条件这一难懂的概念认识，实现难点的有效突破.

5.能力提升

例3填空：（写出一个满足题意的即可）

（1）“ab=0”的一个充分条件是_________；

（2）“x<3”的一个必要条件是___________.

练习3：（1）“x>a”是“x>2”的充分条件，求实数a的取值范围；

（2）“x>a”的一个充分条件是“x>2”，求实数a的取值范围.

思考：将上述练习中“充分条件”改为“必要条件”，结果又会如何？

设计意图：（1）引导学生观察问题的问法和之前例题有无不同，培养学生的观察能力；（2）从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么”、“还存在什么问题”，使后面的教学更有针对性！

6.牛刀小试

练习4：判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件，以及p是不是q的必要条件？

（1）p：|x|=x；q：x2≥0.

q：直线l与平面α垂直.

（4）p：函数（fx）满足（f0）=0；q：函数（fx）是奇函数.结合练习，引导学生归纳如下：

从练习中我们发现在p与q之间存在以下几种关系：

对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.

设计意图：反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础.

7.课堂小结

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

（1）知识内容：①充分条件与必要条件的概念；②充分条件与必要条件的判断；③充分条件和必要条件与集合的联系.

（2）思想方法：学会观察、归纳、总结，进行探索发现，注意逻辑推理的合理性和严密性.

设计意图：再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.

8.作业布置

（必做）课本第12页A组1、2，B组1.

二、教学反思

（一）理解数学，有的放矢

1.知识地位

“充分条件与必要条件”是高中《人教A版数学选修2-1》第一章简单逻辑用语第二节的内容.逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.

2.知识内容

“充分条件与必要条件”是在p圯q时，对条件p与结论q之间关系的一种描述，是一个数学概念.“p圯q”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中条件与结论之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性，在判断上还需关注方向性.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，帮助我们从“形”上（韦恩图表示集合关系）进一步理解充分条件与必要条件的内涵.

3.过程方法

充分条件与必要条件的知识学习过程中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性、严密性，以及数形结合的数学思想，这些都是数学的精髓.

（二）理解学生，因材施教

理解学生，就是课前充分认识当前的数学知识与学生的生活经验和已有认知基础的联系，以及它们之间的距离，以便在“最近发展区”创设问题，也即理解学生的当期与需求，做好课堂预设；课中坚持以学生为本、发挥学生的主体性，关注每个学生的个性发展，能根据学生的不同“生成”及时反馈，调整教学策略、教学方法；课后通过作业辅导、谈话交流等方式了解学生“学会了多少”，“还有哪些不会”，关注学生对知识的掌握情况，为后续教学工作提供借鉴、打好基础.

其中，课前对学生的充分了解是上好一节课的必要前提，笔者所任教的班级是安师大附中高二年级（8）班的学生，该班是理科普通班，参加上课的25名学生（学号26~50）整体水平较好，但据课前了解，其中尚有4~5名学生数学成绩不够理想，学生数学基础存在参差不齐的现象.因此，“高立意、低起点、小跨度、多层次”成为本节教学设计的基本理念.但在实际教学中，在对充分条件与必要条件的认识上所用到的已有知识的选取存在过偏、过难，干扰学生新知的构建，成为学生学习的“绊脚石”的情况，这些都是因为笔者对学生的了解不够，过高地估计了学生的学习水平所致.可见备好课先要备学情，充分了解学生才能真正做到“因材施教”.

（三）理解教学，科学自然

“充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容，难点内容.笔者希望通过本节课的教学，让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识，并希望能够通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不要产生畏难情绪.为了达到这样的教学效果，笔者的教学设计力求做到以下几点：

1.坚持“师为主导，生为主体”的教学理念

本节课的教学设计和实际教学中，教师更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走.例如：在例题的教学中，笔者大多是先带领学生分析问题，探求解决问题的方法，在学生通过自己的努力尝试解答之后，笔者再进行总结，避免了“满堂灌”.

2.注重对学生的思维训练

引导学生多角度的审视问题，从不同角度去看问题、分析问题、思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.例如：在概念教学中，为了更好地理解概念，笔者通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合的联系）来辅助概念教学.

3.课堂教学层次鲜明、衔接自然

笔者把整个教学过程划分为七个环节：问题引入、铺垫过渡、新知建构、巩固新知、能力提升、牛刀小试、课堂小结.以问题为主线，为了解决问题，学习新知识，掌握了新知识再来解决问题.这样就把几个环节很自然地联系在一起.

（四）肯定亮点

1.尊重学生，关注学生体验

波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的规律、性质、联系.”教师要相信学生的认知潜能，防止铺垫过多、提问过细、指导过滥，多为学生提供探索的时间和空间，鼓励学生主动地从事观察、实验、猜测、推理与交流等数学活动，在“探”中学习数学.

本节课的教学引入，笔者采用的是问题引入的方式：“问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？”从学生的最近发展区搭起“台阶”，学生熟悉，易于接受，而且能迅速将学生的注意力集中起来，共同参与课堂探究.另外，通过对学生自己所举例子的研究，分析构建新知，学生以“主人翁”的角色“身临其境”地体验了知识的形成过程，提高学生学习的“成就感”，教学效果自然会大大提高.

为进一步加深对充分条件与必要条件概念的理解，帮助学生进行知识的重组与构建，笔者安排了一个课堂活动：“请同学们自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.”这样做，一方面，可以让全体学生“动起来”，参与课堂讨论，自主构建知识网络；另一方面，可以帮助笔者及时了解每个学生对知识的掌握情况，方便课堂教学策略的及时调整.

2.妙问揭本质，思维上台阶

“思维是从问题开始的”.学生认知的发展就是观念上的“平衡—失衡—再次平衡”的反复渐进过程.

在学生初步理解充分条件与必要条件的概念之后，笔者安排了一个问题思考：“问题4：在什么条件下，我们能说q是p的充分条件？p是q的必要条件？”看似不经意的一问，打破原有“平衡”，引领学生寻找新的“平衡点”，不显山不露水地揭示了概念的本质，加深了学生对概念的深层理解，创新了思维，提高了认识.

3.直观认识、严格论证，多角度认识事物

充分条件与必要条件的教学重点在于对概念的理解，难点在于学生对必要条件概念的理解.著名数学家笛卡尔说过：“要想获得真理和知识，唯有两件武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎.”为了帮助学生理解充分条件与必要条件的概念，笔者设置了思考问题：“思考：充分条件、必要条件与集合间的联系.已知p：x∈A，q：x∈B，且p圯q，试判断集合A，B间的关系.”将充分条件、必要条件与集合建立联系，并通过韦恩图直观认识充分条件与必要条件.同时为了兼顾数学思维的严密性，笔者还给出从原命题与逆否命题的等价关系上论证了充分条件与必要条件的内在含义，帮助学生从“形”“数”的不同维度理解概念.

4.注入文化元素，关注情感教育

关注学生数学文化意识的养成，努力推进数学文化教育，已经成为当今数学教育改革的一个重要特征.在学生对充分条件与必要条件的概念理解有足够认识的基础上（尤其是在与集合建立联系之后，以韦恩图直观展现），介绍我国战国时期《墨经》对充分条件与必要条件的描述，通过古代精辟的概括性语言加深学生对概念理解的同时，领略我国数学历史文化的博大精深，努力提高学生的学习兴趣和民族自豪感.

5.注重知识连贯性、整体性

数学的课堂教学不能仅仅局限于当前的一节课，要考虑到知识的连贯性和整体性，教学中不仅要引用、巩固所学，还要为以后所学做好铺垫、埋下伏笔，考虑到下节内容要带领学生学习“充要条件”，笔者在“巩固新知”和“小试牛刀”中分别安排了例2和课堂练习题.这些习题的安排检验了本节所学的同时，也为下一节充要条件的四种类型做好铺垫、打下基础，可以很好地将本章知识继续“串”下去.

（五）反思不足

1.课堂想“放”，但却没有完全“放”开

教学开始环节，笔者通过设置问题，试图放开让学生举例引入新课的探究.另外，在安排的“课堂活动”：请学生自己举例给出p、q并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系时的学生展示上，笔者没有给学生更多的时间与机会展示自己所找到的例子，而只是通过3~4名学生的展示，“急匆匆”进入下一环节.这样做一定程度上挫伤了部分同学学习的积极性，也没有尽量全面地了解每个学生的个性成长情况.

2.例题与练习的安排不够精简，感觉时间“紧”，任务“重”

为了使得学生能更加深入认识问题本质，笔者从不同维度、不同层次设置了例题、练习及变式思考，但是在有限的课堂45分钟里，量的增多必然影响学生对问题“质”的认识，比如：“能力提升”环节例3之后笔者设置了练习1，并在此练习之后设置了思考，课堂上留给学生去思考、反馈，让学生和老师都感觉太过匆忙，学生大脑思维过于“紧绷”，影响教学效果.若是教师“不贪多”，而留给学生课下思考、求解，效果可能会更好一些.

（六）完善教学，优化设计

鉴于以上分析与反思，并结合课堂实际教学反馈，现把“充分条件与必要条件”的教学设计做如下调整：

1.降低选取的已学知识的难度，保证学生新知构建顺利自然

充分条件与必要条件的概念教学必然需要通过我们已经学习过的必修部分为依托说明逻辑关系，但是已学知识的选取过难、过偏往往会适得其反.如例1的练习1中“p：x>a2+b2，q：x>2ab”的判断，课堂练习中“p：函数f（x）满足f（0）=0q：函数f（x）是奇函数”的判断，都可换成一些更简单的知识条件，减少不必要的障碍，更有利于学生对新知的学习与构建.

2.变式思考，课后思考

将“能力提升”环节例3练习1的变式思考留给学生课下思考，既能为其他教学环节的充分开展“节约”时间，也可以为学生的深入“思考”、“对比”、“提升”提供保证.

3.让学生更多参与讨论，展示个性收获

“课堂活动”与“课时小结”应该把更多时间与机会交给更多的学生，让大家一起分享、展示自己的收获，以帮助教师更好地了解每个学生个体的成长，同时提高学生学习数学的成就感，分享学习的快乐.

教学是一门科学，也是一门艺术，上好数学课是需要智慧的.数学教师的课堂应力求达到理解数学、理解学生、理解教学.数学教学应从数学的本质出发、以学生的现有认知程度为基础，训练他们的数学思维，培养并提升他们的数学核心素养.

1.赵绪昌.数学教学应从学生的认知基础出发［J］.中学数学（上），2015（6）.

2.张国林.在数学概念课中寻找生长点的几种策略［J］.数学通讯，2016（4）.

3.孙福元.重视数学课堂参与，提高教学有效性［J］.中学数学（上），2012（10）.

4.刘广琼，俞晓芸.把握课堂节奏，提高教学效率——基于沪教版《实数的概念》公开课的启示［J］.数学教学，2015（9）.F