善辟蹊径，优化解题——例谈必要条件在解题中的运用

筅江苏省南通市通州湾三余中学　施春辉

善辟蹊径，优化解题——例谈必要条件在解题中的运用

筅江苏省南通市通州湾三余中学施春辉

众所周知，化归与转化思想是数学中重要的思想方法之一，也是高考重点考查的方法之一.而大多数考题或者是大家的解题习惯多是实施等价转化，即寻找题目求解的充要条件，很少涉及不等价转化.其实，在寻找充要条件即实施等价转化有困难时，也可以先找出使结论成立的必要条件，然后再验证其充分性即可.

一、善用必要条件求参数值

例1设a∈R，若x>0时，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，则a=________.

解析：当x>0时，不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0恒成立的必要条件是当x=2时成立，即［2（a-1）-1］（22-2a-1）≥0，得（2a-3）2≤0.又（2a-3）2≥0，故（2a-3）2=0，解得a=（经检验，符合题意）.

点评：本例若按常规思路，机械地令f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1），把问题看作f（x）≥0在（0，+∞）上的恒成立问题，然后用解决恒成立问题的常规思路求解，过程烦琐，难以继续，甚至半途而废，而利用必要条件缩小范围，避免了不必要的讨论，简洁轻巧.

二、善用必要条件求参数的范围

例2设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若坌x>0，f（x）≥0成立，求实数a的取值范围.

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法一（参考答案）：函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），坌x>0都有f（x）≥0成立，等价于ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.

（1）当x=1时，ln2≥0，则a∈R.

（2）当x>1时，因为x2-x>0，所以等价于+a≥ 0圳a≥圳max；令h（x）=x-ln（x+1），当x∈（0，+∞）时，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，因此，当x∈（0，+∞）时，h（x）>h（0）=0，x-ln（x+1）>0，所以ln（x+1）1时，+∞），-∈（-∞，0），则只需a≥0.

（3）当00均有ln（x+1）

综上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需取交集得0≤a≤1即可，故所求a的取值范围是0≤a≤1.

点评：等价转化尤其是分离参数转化为函数最值一直是高考命题的一个落点，且围绕着母函数ex≥x+1即x≥ln（x+1）的考题屡屡出现，如2010年全国卷高考理科第22题，2011年湖北卷高考理科第21题，2015年山东卷高考第21题等.所以针对这种趋势，关于三步走法，有可能走不通了，尤其是导数等于零时方程的根不方便求解，后续的列表调查，得出结论就难以求解，这就需要咱们通过构造函数，多次求导，以达目标.训练学生挖掘知识结合的深度与广度，拓展学生思维，同时锻炼学生知难而进、逢山开道、遇水搭桥的意志品质.

解法二（利用必要条件）：设函数f（x）=ln（x+1）+ a（x2-x），因为f（0）=0，所以要使坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需函数f（x）在（0，+∞）上单调递增即可（求出范围之后，要对这个范围之外的取值进行分析验证），于是只需坌x>0，f′（x）=+a（2x-1）≥0成立即可.

于是取交集得0≤a≤1.

又当a>1时，g（0）<0，x2>0，所以函数f（x）在（0，x2）单调递减，而f（0）=0，则当x∈（0，x2）时，f（x）<0，不符合题意；（验证的重要性）

当a<0时，设h（x）=x-ln（x+1），当x∈（0，+∞）时，h′（x）=1->0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，因此，当x∈（0，+∞）时，h（x）>h（0）=0，ln（x+1）1-时，ax2+（1-a）x< 0，此时（fx）<0，不符合题意.

综上可知：坌x>0，都有f（x）≥0成立，只需0≤a≤1即可，故所求a的取值范围是0≤a≤1.

点评：此类问题一般从两个方面进行：一是直接求解，对参数a进行讨论，通过函数单调性，明确参数的范围；二是分离参数，分离后再研究相应函数的性质.学生容易出错的地方是：只根据f（0）=0和f（x）在（0，+∞）上单调递增，求出a的取值范围是0≤a≤1.殊不知f（x）在（0，+∞）上不单调递增，也有f（x）≥0恒成立的情况出现，所以这样解是不够完备的，故这样求出a的取值范围之后必须再予以验证其他范围的a都不合适才行.

三、善用必要条件探求存在性问题

例3已知函数f（x）=x3+1-a）x2-3ax+b.

（1）求（fx）的单调区间；

（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式-1≤（fx）≤1对x∈［0，］恒成立？若存在，试求出所有的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由.

解析：（1）①当a=-1时，f（x）的递增区间为（-∞，+∞），无递减区间；

②当a>-1时，f（x）的递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），递减区间为（-1，a）；

③当a<-1时，f（x）的递增区间为（-∞，a）和（-1，+∞），递减区间为（a，-1）.

（注：也可由g（a）=a3+3a2-9a-6a+6+5=（a-1）（a2+4a-5-6）≤0得a≥1）

点评：本例第（2）问常规思路是分a≤0，0

（注：也可通过作出不等式组所表示的区域获得答案）

以上几道例题有一定难度，而善于利用必要条件，可以达到化繁为简，化难为易，避免了分类讨论，实现大题小做.因此，利用必要条件解题，可以缩小参数范围，开阔解题思路，优化解题过程，提高数学素养，提升思维品质.F