求函数值域的方法探析

筅广西南宁市第四十二中学　潘普昂

求函数值域的方法探析

筅广西南宁市第四十二中学潘普昂

函数的基础性强，特征明显，是高中数学教材中非常重要的部分，习题中对函数的考查也是必不可少的，求函数的定义域和值域的问题是考查的重中之重，研究函数的值域问题不但要重视对应法则的作用，还要重视定义域对值域的制约作用.对于求函数值域的问题一直是学生比较头疼的问题，实际上此类问题并不难，方法得当，会起到事半功倍的效果，但是方法不当，就会成为学生的难关，无法跨越.因此，我们有必要专门探讨求函数的值域的方法，根据不同函数的特点总结不同的解题方法，将之分门别类，提高学生对这一问题的认识和解决值域问题的能力.本文通过对典型例题的讲解来归纳函数值域（最值）的求法，帮助学生开阔眼界，拓宽思路，掌握解题技巧，提高解题能力.

一、观察法

观察是思维的窗口，是认识的开始，是解决问题的基础.观察能力是学好自然科学应具有的一项基本素质.观察法是指带着一定的目的，用自己的感官直接观察，从而获得答案的一种方法.高中数学题中无论是题设还是结论，不管是数值还是图像都隐藏着无限的玄机，善于观察才能发现其中的秘密，分辨出真假，剥下神秘的外衣，你就会惊奇地发现原来题目并不难.所以，解决数学问题首先要细心观察，找出问题的突破口，抓住解题的关键，理出解题的思路，这样问题就迎刃而解了.观察法求值域适合那些比较简单或者比较明显的函数（比如根式里的数值大于等于零，分母不能为零等），通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，直接能观察出函数的值域.

分析：根据算术平方根的性质——正数的算术平方根是正数，先求出的值域，接下来3＋的值域就很好解决了.

本题通过直接观察算术平方根的性质（算数平方根具有双重非负性：①被开方数的非负性，②值的非负性）而获得解题思路，这种方法适合一类函数值域的求法，简洁明了，不失为一种好办法.

本题根据“二次根式中被开方数只能是正数”这个特点，直入主题，简单快捷.

二、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以采用反函数法.反函数法体现逆向思维的思想.了解这种方法之前，首先要了解反函数的一条重要性质：反函数的定义域是原函数的值域.当函数的反函数存在时，我们利用则其反函数的定义域就可以轻松求得原函数的值域.

分析：根据反函数的性质，将原函数y关于x的函数y=f（x），化为x关于y的函数（即反函数）x=f-1（y），利用观察反函数的定义域，来求原函数的值域.本题的思路就是先求出原函数y＝的反函数，即x＝，再求出这个反函数x＝的定义域为y≠1的实数，最后根据反函数的定义域就能轻松求得原函数的值域｛y｜y≠1，y∈R｝.

利用反函数法求原函数的定义域有一个局限，就是必须在原函数存在反函数的前提下，此方法才可用.

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型，可以利用配方法求值域.此种方法关键在于正确化成完全平方式，即y＝ax2＋bx＋c（c≠0）经过配方得到y＝a（x-m）2＋n的形式，由此可直接观察出值域.

分析：此题不是二次函数，我们首先将其变形，变成二次函数.将函数y=x+变形得y-x＝，两边平方得y2-2yx＋x2＝2x-x2，再变形得2x2-2（y＋1）x＋y2＝0，被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求解.

例5和例6殊途同归，同样都是采用配方法求值域，但是配方方式完全不同.做题时要根据实际情况，随时改变思路，千万不能教条，否则，方法反而成为绊脚石.配方法是数学中一种重要的思想方法，希望同学们能够灵活运用.

四、单调性法

函数的单调性也可以叫作函数的增减性，它是函数众多性质中的重要性质之一.当函数（fx）的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值（fx）也随着增大（或减小），则称该函数在该区间上具有单调性.如果函数y＝（fx）在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域.

分析：为了方便起见，可以令t＝sinx，t∈（0，1］，原函数变形为y＝t+（t∈（0，1］），利用单调性分情况加以说明.

解：令t＝sinx，t∈（0，1］，则原函数变形为y＝t+（t∈（0，1］）.当t＞0时，t+＝4，当且仅当t＝，即t＝2时，取“＝”.

有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数，此题当t∈（0，2）时和当t∈（2，+∞）时增减情况就不一样，一定要分别加以说明.

五、换元法

换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，通过这个换元后得来的简单函数的性质就可以求函数的值域.这种方法适用于形如y＝ax+b±a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数.换元的方法主要有代数换元法和三角换元法，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）.

例10求函数y=4x-6×2x+1，x∈（2，3）的值域.

分析：令t=2x，原函数就变为y=t2-6t+1，引进这个过渡函数在题中起到桥梁的作用.

解：令t=2x，则4x=t2，且x∈（2，3）时，t∈（4，9）.

所以y=t2-6t+1=（t-3）2-8.

那么，当t∈（4，9）时，ymax=（9-3）2-8=28，ymin=（4-3）2-8=-7.

所以所求值域为［-7，28］.

熟练掌握求函数值域的方法是考试大纲的明确要求，也是高考常考的题型.上面介绍的几种方法都具有很强的针对性，不能普遍使用，因此，选择方法之前要审慎观察，找出问题的显著特点，根据其特点对症下药，才能快速准确地解决问题.这就要求学生平时多练习，多积累，方法用多了，技能熟练了，自然就熟能生巧，信手拈来了.F