高中数学概念学习方法探讨

王晓雯

【摘要】很多高中学生对高中数学概念学习是通过死记硬背，并没有在真正理解概念的情况下去解题，使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的题型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的题目就束手无策，由于数學高度抽象的特点，在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质。

【关键词】数学概念；抽象；逻辑；渗透

一、数学概念

数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。数学概念的语词表达一般形式是“（概念的本质属性）……叫做……（概念的名词）”。数学概念的特征有：

1、抽象和具体双重性

数学概念是反映一类事物数量关系和空间形式的本质属性的思维形式，它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性。这种抽象可以脱离具体的物质内容，在已有的数学概念基础上进行多级的抽象，形成一种具有层次性的体系。譬如，函数→连续函数→可微函数。这就是一个函数概念体系的抽象体系。显然，随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度就会越来越高。

2、逻辑连续性

在一个特定的数学体系中，数学概念之间往往存在着某种关系，如相容关系、不相容关系等，而这些关系实质是逻辑关系。在一个体系中，孤立的数学概念是不存在的，因为这种概念没有太大的意义和研究价值。反过来，数学概念的逻辑化又使得数学概念系统化，公理化系统就是数学概念系统化的最高表现形式。

二、数学概念教学方法

1、引入新概念时要使学生明白学习新概念的必要性，充分调动学习的积极性

引入一个新概念，要向学生讲清楚为什么要学习这个概念，能解决什么问题。例如，由相反意义的量引进了负数，研究两个有对应关系的量引入函数的概念等等。这些问题通常来自生产实际。有时则可以借助于某个故事，如讲等比数列可以用古印度国王奖赏象棋发明人的故事。这些实际的材料或故事，往往能引起学生浓厚的兴趣，激发学生强烈的求知欲，调动学生学习积极性。特别是生动有趣的故事，寓意深刻，不仅讲了数学概念，还讲了数学原理、数学方法。

2、利用丰富的感性材料，帮助学生认识抽象的数学概念

数学概念是事物的空间形式和数量关系方面的本质属性和内部联系。它是人们在感觉、知觉、观念的基础上，运用分析、比较、综合、抽象、概括等而形成的。例如，讲多边形概念时，可以从方桌面，铺地的正六边形砖，公园里的八角亭、正五角星顶点顺次所连的图形引入。可能学生会说出各边都相等或各角都等的多边形叫正多边形，这时教师可引导学生注意菱形和矩形并不是正多边形，从而得出正多边形的正确意义。

另一方面，许多概念是在学生已有的知识（概念、法则、定理等）基础上规定的，它无须用实际的例子来引入，只需将新概念的本质属性与他的已有的知识联系起来，便能理解新概念。

3、让学生学会总结同类概念的逻辑关系

（1）同一关系。两个概念的外延表示相同的对象。如自然数和正整数，三角形和三边形等。

（2）从属关系。例如：平行四边形、矩形、正方形。种概念加属差等于类概念，一系列具有从属关系的概念，外延缩小，内涵增大；外延扩大，内涵缩小。

（3）交叉关系。两个概念的外延有一部分是相同的。如矩形和菱形的公共部分是正方形。

（4）矛盾（对立）关系。如有理数与无理数、实数与虚数、有理式与无理式，他们的内涵互相矛盾，因此，它们之中的任何一个可以用集合的补集得出。（注意：正数与负数不是对立的概念。）

（5）并列关系。两个概念的外延没有公共部分。如平行四边形和梯形是两个并列的概念。

（6）互逆关系。加法和减法，乘法和除法、乘方和开方、幂和方根、指数和对数、函数和反函数等，要注意它们之间的转化关系。

（7）互通关系。如函数的导数和微分是互通的，要注意它们之间的区别和联系。

对于每一个概念要注意他们的规定条件、适用的范围。如补集是对于全集而言，不等式的有关性质只在实数中考虑，用一元二次方程的判别式研究实根是对于实数系方程而言，单调函数是对属于定义域某个区间而言。分解因式和解方程必须注意数集的要求等等。

4、概念是逐步建立起来的，要有计划的渗透、丰富和深化

（1）概念的掌握不是一次完成的，这里有一个由肤浅认识到深刻理解的过程。

（2）具有阶段性要求的概念，如数的概念贯穿于整个中小学教学之中，要注意随着概念的发展使理解逐步完善。

（3）有的概念，从小学就开始渗透、应用，为正式学习新概念做好充分准备，如函数、对应等概念到初三才讲，集合、极限到高中才正式介绍。

（4）关于丰富和深化的概念，如绝对值随着数集的扩充不断丰富和深化。再以“和”这个概念为例，在引入负数之前和仅限于正分数集与零；在实数集中“和”指“代数和”；学习了复数向量表示，又有“向量和”；学习了极限之后，对于无穷递缩等比数列的各项和，这个“和”是一个变量取极限的结果。此外，计算圆的周长（面积）、球面积（体积），实际也是变量取极限的结果（和）。

上面说的概念渗透、丰富和深化过程是通过对于概念的不同时期阶段性的要求，通过知识的发展、概念的完善逐步实现的。这种由对概念的个别、局部、片面的理解过渡到对概念的一般、整体及至全面的理解，从而完成了这些概念的教学。教材这样的安排是符合学生思维发展水平、符合具体到抽象，由简单到复杂，由浅到深的认识规律的。

5、吸收概念精华，感悟数学思想

概念是数学思维的基础，是数学思维的精华，概念的获得是数学学习的节点而不是终点，引导学生感受和领悟隐含于概念形成中的思想方法，在概念的运用和推广中渗透数学思想方法，这才是概念生成的核心。

“概率的频率定义”的教学中，除了随机性，还有频率的稳定性。我在实际授课中设计了四个实验：投硬币看正反，电脑抽奖看分布图，蒲丰投针看圆周率，扑克牌看花色分布，让学生在做试验的过程感受到这种随机性和稳定性的过程，充分感悟和体验这种随机性和稳定性，使他们体会出“概率的频率定义”应用的广泛性，这个思想方法就是统计学的基石。动手实验的价值在于生成数据的信度更高，相对于强加给学生信息，直接经验重于间接经验，数学思想得以真正体。

在复习“方程”这个概念时，学生研究一元二次方程，得到其求根公式、维达定理等结论；研究分式方程得到化分式为整式的经验，注意分母不为零；在研究无理方程时知道要考虑有理化和其存在的意义。通过这些结论的对比分析，得到解方程的本质就是同解变形。这些结论的生成和知识现象背后的本质不是教师灌输给学生的，而是学生在自主学习、合作研究的过程中探索得到的，对学生来说是原发性、持续性、创造性的知识。

从概念的系统中掌握概念，我们应该在研究获得的结论中进行筛选，提炼出形式最简、表征合理、有应用和推广价值的结论进行深度剖析。一方面从结论的内涵出发，讨论结论成立的充分必要条件，可能引发出的新的结论等；另一方面从结论的外延即应用出发，用此结论解决各种实际或抽象问题，加深对结论的记忆，并体会数学学习的意。

数学概念是抽象化了的空间形式和数量关系，是反映它们本质属性的思维形式。数学符号实是数学概念的表现形式（符号化了的数学概念）。正确理解概念及其符号是运用概念进行判断和推理的条件和依据。在教学中自觉地运用认识规律，能够使数学教学质量不断得以提高。