浅谈面积与代数恒等式

赵海英

在华师版数学教材中第十二章“整式的乘法”的学习中，我们接触了很多代数恒等式，利用了图形的几何意义，也从图形的面积关系中认识了代数恒等式. 引导学生体会数与形之间的关系，也能从另一个方面了解代数恒等式的几何意义. 通过本节课，让学生经历探究、交流、应用的过程，从中体会数学思维能力，获得研究问题和解决问题的经验和方法. 下面将本节课的教学流程展示如下：

一、复习提问，引入新课

前面我们学习了整式的乘法相关法则及乘法公式，那么老师想问大家，我们都学习了哪些乘法运算？哪些乘法公式？

① 单项式与多项式相乘：a（b + c） = ab + ac；

② 多项式与多项式相乘：（m + n）（a + b） = ma + mb + na + nb；

③ 平方差公式：（a + b）（a - b） = a2 - b2；

④ 两数和的平方：（a + b）2 = a2 + 2ab + b2.

像①②③④这种不论字母取什么有意义的数值，左边恒等于右边的式子叫作代数恒等式.

那么我们还能利用什么方法来验证代数恒等式的成立呢？没错，我们可以利用面积的不同表示方法，来表示一个代数恒等式，学生动手画一画.

通过利用图形的面积来验证代数恒等式的正确性，就是我们今天重点所学习的内容，面积与代数恒等式.

通过复习前面所学习的整式的乘法以及乘法公式，让学生感受通过数与形的结合也是验证代数恒等式的一种方法，从而打开学生的思路，为所学的内容打好坚实的基础.

二、从图形面积到代数恒式

（一）说一说

例1 观察下列图形，计算阴影部分的面积，并用面积的不同表达形式写出相应的代数恒等式.

第一个代数恒等式：（a + b）2 - （a - b）2 = 4ab；

第二个代数恒等式：4a2 - b2=（2a + b）（2a - b）.

让学生总结如何正确写出一个代数恒等式的方法，通过学生的交流与探讨总结为，通过两种不同的方式表示图形中的面积，这样就很快写出一个代数恒等式. 通过探索与思考体会数学的应用价值，增强对数学的开放性、探索性和实践性的认识.

（二）做一做

你能利用所准备的若干张小卡片再拼出新的图形吗？根据你所拼的图形写出相应的代数恒等式. 这是一个开放性较强的问题，应打开学生的思路，体现任意性，从而让学生经历探索、研究、解决问题的过程.通过此活动我深刻地感受到了一种热情，那是种对于知识探索的热情！我欣喜地看到同学们找到了探究问题的方法，明白了该如何去利用、开发身边的数学资源. 培养学生从实际问题中抽象出数学问题并建立数学模型的能力；开放性和研究性的问题，为提出更深层次的问题提供基石.

三、从代数恒等式到图形面积

（一）做一做

前面我们根据图形面积的不同表示方法，写出了代数恒等式. 那么如果已知一个代数恒等式，同学们能否用拼图的方法来验证它们的正确性？

例2 请你根据代数恒等式：①（a + b）（a + 2b） = a2 + 3ab + 2b2的特点，构造出图形，利用图形的面积来说明其正确性.

此环节学生很快就画出构造的图形，学生总结为代数恒等式的左面可以看成一个长为（a + 2b），宽为（a + b）的长方形来设计图形，然后再通过分割图形来验证恒等式右边，通过此特点来快速构造图形.

（二）画一画

根据下列代数恒等式，你能否设计出相应图形来验证它们的正确性？

②（a + b）（a - 2b） = a2 - ab - 2b2，③（a - 2b）2 = a - 4ab + 4b2.

最后一个活动的设计具有一定的挑战性和开放性，是希望学生在思维方面能有所拓展. 对于老师的提问大部分的同学是举一些例子，如有一位同学就提到两个一次的单项式相乘得到的等式，还有一位同学提到等式的两边都能用正方形或长方形来表示面积的等式. 事实上这个问题就学生现在的认知水平无法做出一个完全的解答，只能做一些理性的思考，找到一些可以接受的答案. 我主要是想通过这个问题来激发学生的“再创造”激情和潜能.