“设而不求” 巧解解析几何题

陆霞

解析几何是高中数学的重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质. 在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，试题往往会出现计算量较大的情况，若解题方法不当，就会使解题过程繁杂而冗长， 从而直接影响到解题速度和结果的准确性，如何避免不必要的运算， 化繁为简，从而缩短解题过程呢？可以采用设而不求这种方法，“设而不求”法指利用题设条件，巧妙换元，通过整体替换再消元或换元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法. 现就利用“设而不求”巧解解析几何题的几种途径例说如下：

一、设而不求，巧用“曲线和方程”的关系

例1 求经过两圆（x + 2）2 + （y + 1）2 = 4和x2 + y2 = 1的交点的直线的方程.

解 用（x + 2）2 + （y + 1）2 = 4方程减去x2 + y2 = 1方程

即为所求的直线方程：2x + y + 1 = 0

注 本题若采用常用常规方法解方程组，求出交点坐标，从而运算量较大，若采用“设而不求”，则达到减少运算量之效果.

二、设而不求，巧用“圆锥曲线的定义”

例2 已知A、B 是椭圆 + = 1（a > 0）上的两点， F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|AF2| + |BF2| = a，AB 的中点到椭圆左准线的距离为 ，求椭圆的方程.

解 因为|AF2| + |BF2| = a则2a - |AF1| + 2a - |BF1| = a，

所以|AF1| + |BF1| = a.

设AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上射影分别为 A1、B1、M1

由椭圆的第二定义知：|AF1| = e|AA1|，|BF1| = e|BB1|

所以e（|AA1| + |BB1|） = a 得e =

因而AA1 + BB1 = 3a，2MM1 = 3a，MM1 = a =

所以a = 1，所求椭圆方程为x2 + = 1

评注 本题涉及曲线上的点与焦点的距离，设出有关点的坐标但不求出坐标，借助圆锥曲线的第一、第二定义及焦半径公式化繁为简，缩短解题过程.

三、设而不求，巧用“点差法”

“点差法”是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差. 求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.

例3 求过定点（0， 1）的直线被双曲线 - = 1截得的弦中点轨迹方程.

解 设弦的两个端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）弦中点坐标为P（x，y），则4x12 - y12 = 16，4x22 - y22 = 16.两式相减，得4（x1 + x2）（x1 - x2） = （y1 + y2）（y1 - y2），化简得4x2 - y2 - 4x = 0（双曲线图像中的一部分）

评注 本题涉及的是平行弦的中点轨迹问题，体现的是设而不求，整体求解的意识，利用点差法从全局的高度，整体把握运算，是提高运算效率的关键，也是运算能力强的表现，常能使解答过程简捷、明快，达到事半功倍之效果.

四、设而不求，巧用“韦达定理”

例4 已知直角△OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y2 = 2px（p > 0）上

求证：过定点M（p，0）任作抛物线的一弦PQ，求证： + 为定值.

解 设直线PQ ∶ x = my + p，由x = my + py2 = 2px消去x有：y2 - 2pmy - 2p2 = 0，所以y1 + y2 = 2pmy1y2 = -2p2，|MP| = |y1|，|MQ| = |y2|， + = + = · = · = · = .

评注 本题巧设PQ直线方程，利用韦达定理求PQ与抛物线相交所得弦的弦长，避免求交点坐标，使已知和欲求之间的联系得以明朗化，达到简化解题过程之效果.

解析几何的特点是：“思路好找数难算”，学生往往是望而生畏，不战而退. 针对这种情况，学生要有一定的应对能力和方法. “设而不求”法在解析几何的一些问题中有诸多应用，它优化了学生的解题思路，让解析难题的解决更有信心.“设而不求”法是数学解题中一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果. 总之，学生若掌握“设而不求”的这种解题策略，高考将省时省力.