导数在高中数学中的应用

马丽娜

在中学数学中，有许多以高等数学知识为背景的问题，若用初等数学方法去解往往繁杂冗长，如果能认真研究问题的来龙去脉，适当利用相关知识，问题就会很容易得到解决，导数作为微积分的核心概念之一，进入高中新教材给传统的中学数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题的研究提供了新的平台，拓宽了高考数学命题的空间.

下面结合具体实例从以下六个方面来说明导数在中学数学中的应用.

一、导数在解决函数问题中的应用

导数是研究函数的重要工具，借助导数对可导函数的单调性能进行透彻的分析，为求函数的极值、最值提供一种简单快捷的方法.之前讨论一些函数的性态如单调性、极值性、奇偶性、周期性等都受到方法的限制，讨论得既不深刻也不全面，且计算烦琐，也不易掌握其规律，导数为我们深刻全面地研究函数的性态提供了有力的数学工具.

（一）研究函数的单调性

导数的几何意义是研究函数图像曲线变化规律的一个重要工具，是判断函数单调性的最优化的方法.

利用导数研究函数的单调性主要根据以下定理：若函数f（x）在区间I内可导，？坌x∈I若f′（x） < 0，则f（x）在此区间内为减函数；若f′（x） > 0，则f（x）在此区间内为增函数.

（二）求函数的最（极）值

中学数学教材的二次函数、三角函数和不等式内容都涉及求函数的极值、最大（小）值的问题，所用方法不外乎是函数在某一区间上单调性、三角函数的有界性，判别式法，二次函数的图像，基本不等式以及由基本不等式推导出的重要不等式，但它们要求很高的处理技巧，对于很多函数极值问题都不能用上面的方法解决，有很大的局限性.若用导数来解则淡化技巧，学习了导数，函数极值和最值才算得到了彻底的解决.

费马定理指出：若函数在x0可导，且x0是函数f（x）的极值点，则f′（x） = 0，即可导函数f（x）的极值点x0必是方程f′（x） = 0的根.费马定理给出寻找可导函数极值点的范围.即函数f（x）的极值点必在函数f（x）的稳定点的集合中，但稳定点又不一定都是极值点.通常我们可以按下法求已知函数f（x）的极值：

① 写出f′（x），然后求使此导数为零的点；

② 应用第一判别法或第二判别法来验证是否是极值点；可以用二阶导数f″（x）来判断.

区间I的最小值和最大值统称为最值.求可导函数的最值可归结为求可导函数在稳定点及区间端点函数值中的最值.生产实践和科学实验所遇到的最好、最省、最大、最小等问题都可以归结为数学的最值问题.

（三）函数图像的描绘

中学数学教材在介绍二次函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数时通常用描点法作出函数的图像.这种图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态.因为描点法所选取的点不可能很多，而一些关键性的点，如极值点、拐点等可能漏掉，曲线的单调性、凸凹性等一些重要的性态也没有掌握.因此，用描点法所描绘的函数图像常常与真实的函数图像相差很多.

现在学习了导数及其应用后，就可以应用导数讨论函数的单调性、极值性、凸凹性、拐点等的方法，从而比较准确地描绘函数图像，一般来说描绘图像可按下列的步骤进行：

（1）确定函数y = f（x）的定义域；

（2）观察函数y = f（x）是否具有某些特征（奇偶性等）；

（3）观察函数y = f（x）是否有垂直渐进线、斜渐进线，如果有渐进线将渐进线求出来；

（4）求出函数y = f（x）的单调区间、极值，列表；

（5）求出函数y = f（x）的凹凸区间和拐点，列表；

（6）确定一些特殊点，如曲线y = f（x）与坐标轴的交点，以及容易计算函数值f（x）的一些点（x，f（x））.

在直角坐标系中，首先标明所有关键性点的坐标，画出渐进线，其次按照曲线的性态逐段描绘.

二、导数在求曲线的切线方程中的应用

导数的引入拓宽了解决解析几何问题的思路，f′（x0）的几何意义是曲线y = f（x）上点（x0，f′（x0）） 处切线的斜率，故可据此来研究与曲线切线相关的问题，同时解析几何的许多最值问题也可以用导数来处理.

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P（x0，y0）及斜率，其求法为：设P（x0，y0）是曲线y = f（x）上的一点，则以P的切点的切线方程为：y - y0 = f′（x0）（x - x0）.若曲线y = f（x）在点P（x0，f（x0））的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x = x0.

下面是四种常见的类型及解法.

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只需求出曲线的导数f′（x），并代入点斜式方程即可.

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.

三、导数在研究方程根的分布中的应用

设函数f（x）在（a，b）上连续，f′（x）在（a，b）上保持符号，若f（a）f（b） < 0，则f（x） = 0在（a，b）上有唯一实根，若f（a）f（b） > 0，则f（x） = 0在（a，b）上无实根.

此结论可推广到无穷区间的情形，即：设函数f（x）在（a，+∞）上连续，f′（x）在（a，+∞）上保持符号，若f（a）与 f（x）异号，则f（x） = 0在（a，+∞）上有唯一实根，若f（a）与 f（x）同号，则f（x） = 0在（a，+∞）上没有实根，对于区间（-∞，a）的情形有类似结论.

让我们以导数的概念为入口，以导数的计算为抓手，以导数的应用为核心，站在增强应用意识、培养创新精神的高度，从而使导数在中学数学学习中发挥出它应有的功用.