强化数学建模 培养创新能力

陈文，湖北省武汉市第二十九中学教导处主任，中学高级教师，湖北省“课内比教学，课外访万家”活动先进个人，武汉市2014年度“高效课堂建设”先进个人，武汉市硚口区第九批学科带头人，第三批硚口区骨干教师，武汉市”黄鹤英才“培养对象。先后在省级刊物发表文章5篇，参与了3个国家级课题研究和结题报告的撰写，主编了特色校本课程《几何画板——数学学习的助推器》，承担了5套教辅类书籍的编写和修订。

越来越多的人认为数学教学是一种模式化的教学，让学生能够在丰富多彩的各种问题中概括提炼数学模型，并熟练掌握各种基础数学模型，应用基础模型解决实际问题是学习数学、应用数学和发展数学的基础。高中数学课程标准中已明确提出函数模型与函数建模有关内容的教学要求，同时强调数学学习的本质是培养有效的数学思维和应用数学的能力，在高中数学教学中强化数学建模意识，是培养学生创新能力的重要载体。

一、经历基础数学模型构建的过程，

内化建模认知

1.基础数学模型是模型建立的基础

课堂是教师和学生交流的主要场所，随着课堂改革的深入，教学越来越不受时间和空间限制。但教师和学生的主要交流方式仍然是在课堂上，所以，教师应该充分利用课堂教学向学生内化建模认知，并渗透建模思想。现行教材对各种公式、定理和法则等，都非常注重其知识的形成过程，而得到这些基础模型往往就是一个建立模型的过程，所以注重知识形成过程的教学，能很好地内化建模认知和渗透建模思想。

在教学实践中，教师可以利用教材，以教材上的知识点为基础，采用微课和导学案等形式，在学生掌握基本知识的基础上进行适当延伸，或通过教材上的实例展开小组学习和讨论，进一步体会建模过程反复和逐渐优化的特性，在教学中向学生提供适时的指导，让学生自己通过对基础模型形成过程的理解，做到举一反三，在旧有知识上生出新的知识和方法。

比如，学生通过对等差数列概念及性质的探究，体会等差模型的研究方法和特点，就会比较轻松地实现等比数列的模型探究，从而让学生自己完成对新知识的建构。学生对自身的认识结构进行调整后，通过对等差、等比数列的基本理解和掌握，就能创造性地研究其他类型的数列，从一个单一的等差、等比数列的认知状态，过渡到另一个可转化为等差、等比数列的数学模型的认知和性质研究，真正意义上实现授生以渔。

2.基础函数模型是高中数学建模的重点

高中教材中的函数模型最为普遍。函数模型是用函数形式来表达的数学模型，即用基础函数模型对生活中普遍存在的利润、成本、效益、用料等实际问题进行转化、抽象、归纳和加工，建立相应的基础函数模型的复合形式，运用函数的方法解决实际问题。

只有在对基础函数模型掌握得比较准确熟练后，学生才能通过转化、迁移、发散和抽象，把复杂的问题简单化，把未知的问题熟悉化，把实际生活问题数学化，从而培养学生的转化能力、想象能力和创新意识。常见的有一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和由以上函数构成的分段函数以及复合函数等。同一个问题的解决可以有各种不同的模型建构，不同问题也可以利用同一模型解决。同时，对实际问题和相对复杂的问题，往往还需要多个模型联系、整合和抽象，借助导数、向量、方程和积分才能解决。

正确地将实际问题转化为函数模型是解决问题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，从而确定适用的函数模型，利用函数构造数学模型来解决实际问题，这对于学生的数学学习至关重要。如何有效落实函数模型的教学，让学生体会、理解和掌握函数模型及函数模型建立是函数模型教学的重心。由于生活中具有函数特征的问题很丰富，也不难转化，所以教学中应该用生本理念去推动学生自主发现、自主调查、自主质疑、自主探究和小组交流分享，从而实现知识建构的实践性、丰富性和有效性。

比如，教师在进行指数、对数函数模型应用的教学时，可以通过生活中具备二元关系的问题，组织学生先进行社会调查，从调查数据中进行适当的筛选，根据调查数据借助计算机进行函数模型探究，再根据模型对调查数据进行检验，检验过程中学生会自然提出对模型或数据的质疑，自然引发模型方案的再探究，从而体会模型建立的反复性。通过这样一个反复探究的过程，学生不仅对函数模型的认识达到一个新的高度，同时培养并提升了对实际问题的转化思路，这有利于他们掌握模型建立的方法。

二、精心设计前置性导学案，

引导学生开展模型自主探究

新课程改革要求进一步转变教师角色，从侧重知识传授转变为引领学生寻求掌握知识的来源。数学建模的过程、途径及其结果都是开放的。数学建模突破了以往以教室、教师、教材为中心的状况，可以深入社会，可以由学生自主完成，也可以通过小组合作交流，甚至借助校外教授、专家等丰富的社会资源进行探究，极大地调动了学生的积极性，增强了学生学习的兴趣和欲望；同时，强调学生的动手能力、统计能力、协调能力和表达能力及其团队意识，多方位地提高学生的综合素质。在条件允许的情况下，尽可能地让学生走出课堂，通过社会实践和小组合作等方式去体会建模的基本步骤，在生活中应用数学模型，表达自己的见解。社会实践、研究性学习以及生涯规划等课程，能很好地引导学生走出去，学生从实践中不仅能学到社会知识，还能加强沟通交流的能力。同时，在如何用数学模型解决生活中的实际问题方面，也将会取得良好效果。

基于此，课前教师应精心设计前置性学习导学案，为学生的探究活动扫除知识性、方向性的障碍，通过导学案引导学生去探究问题的关键所在，帮助学生克服畏难情绪，对模型构建有一个初步的自主学习。前置性导学案应选择教学低起点、缓坡度设置问题，用可持续拓展的思路编写，以简洁的形式抓住模型探究的主线，找准模型探究的重难点，留给学生宽广的探究空间，人人可做，人人又不一样，使不同层次的学生得到不同程度的发展。通过自主学习探究，让学生在”自主”中充分暴露思维、暴露问题，提高模型教学的针对性。

比如，关于测量类模型的建构，设计导学案时应事先提醒学生对测量物体进行抽象化理解和对基本常识的掌握，同时鼓励学生采用多种测量方式，对测量数据进行分析和优化，从而突出测量方法的多样性和科学性，归纳不同条件下的模型建立方法，培养创新思维能力。

三、创新数学模型教学，体会模型应用的乐趣

数学模型教学不能局限于教材，更不能拘泥于教材中的函数模型应用。应该着眼于培养学生应用数学的意识，着力于基础模型的应用；培养学生分析和解决实际问题的能力，加强对实际问题的转化和抽象；给予学生发展所需要的数学，立足为学生终身发展奠基；鼓励学生研究解决生存、生活和服务社会所需要的数学。

中学数学教学中应融入数学建模思想，培养学生解决实际问题和应用问题的能力，使数学具有更高的教育价值和社会价值。在实际教学中要有意识地设置与生活息息相关的实际问题背景，培养学生关注生活、关注社会的主人翁意识。在教学素材的选取中要体现科学性，不能为教学方便的需要而随意改变假设和数据，应尽可能地符合实际问题的需要，尽可能地让素材做到层层递进、环环相扣、首尾呼应。

在教学探究过程中，要注重学生的参与性。只有学生的广泛参与才能更好地开展模型教学，对基础薄弱的学生，更需要通过模型教学的参与来促进他们学习数学的兴趣。也可以以探究过程为载体，让学生主动学习、主动探究，让每位学生都能在数学模型的应用和学习中获得愉悦和成就感。在课后的巩固中，要鼓励学生加强反思、整理和质疑，在此基础上构建知识网络、题型归类、方法模型提炼和问题延伸，感悟收获。小组之间要对各自的反思及收获进行交流，教师要结合学生的交流作建设性评价，并指导学生进一步完善和拓展，让学生逐渐学会自主知识构建和模型建构的方法。

四、数学模型教学应融入教学的各个环节中

数学来源于生活，又服务于生活，新课引入教学应注重模型意识的渗透，因此，要充分挖掘新课知识所蕴含的实际背景，将现实生活中发生的与数学学习有关的素材适时引入课堂，提高学生学习数学的兴趣，同时内化为数学的应用模型；要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境再现的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景，以问题背景为导向开展新课程学习。

比如，三角函数模型应用中的温度变化例题，教师可以事先安排学生对一天的温度变化进行统计。为克服统计误差，可以借助网络或者全班学生的统计结果进行大数据处理，作为三角函数模型的引例，其真实性、趣味性和参与性得到了充分发挥。

新课探究过程应突出模型建立的方法、模型基础应用和模型优化探究，体验模型思想，体会模型方法，归纳模型特征。积极引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料进行主动归纳和提升，力求建构出人人都能理解的数学模型，寻求最佳数学模型；在解释与应用中体验数学模型思想的实用性，用所建立的数学模型来解答实际生活中的问题，体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，体验到实际应用所带来的快乐。比如，在探究三角函数的周期性变化的模型教学中，教材本是以抽象的圆为研究对象，而生活中的实例很多，教师在问题设置中不难找到实际背景下的应用问题，可以从娱乐城的各种圆盘玩具运行规律进行研究，也可以以天体运行为研究对象等。这些问题既是学生感兴趣的，同时也可以更好地体现数学模型应用的价值。

复习课教学应注重解题模型的提炼和总结。数学学习离不开解题，高中阶段的数学问题有较强的知识综合性，需要思维的灵活性，但所考查的数学知识、方法和基本数学思想是不变的，题目形式的设置是相对稳定的。因而，通过对答题思路的分析、梳理，构建重点题型的解题模型，有利于培养学生抓住问题的本质举一反三的能力。

实际问题教学中应注重数学模型应用的有效探究。数学教学应该越来越向数学的本质靠近，即教学生有用的数学。在教学中，可以选取更加鲜活的题材进行数学模型应用的教学，甚至可以通过社会实践的调查和适当的模型假设来实现数学模型的对接，增强问题的开放性。虽然很费时费力，但学生能更好地体会问题，同时使问题更具开放性和教育性，实现模型应用的有效探究。

总之，在实际的数学教学过程中，应强调以生本理念为核心，充分调动学生积极性，鼓励学生挖掘数学模型、探究数学模型和应用数学模型。通过强化数学模型的教学，让学生在数学问题和实际问题间实现相互转化、建立联系，并了解数学在实际生活中的应用价值。这样不仅能够使学生更加牢固地掌握基础数学模型和数学模型应用的方法，奠定坚实的数学基础，从而提高课堂教学的效率，激发学生学习数学的兴趣，而且能够让学生学会建模的方法，从而掌握探究新知、解决和探索未知事物的有效途径，逐步培养学生创新实践能力。这样极大地实现数学教学适应学生终身发展需要的功能，让数学教学变得魅力无穷！

（责任编辑 郭向和）