广义Kelvin模型在沥青路面中的应用

李凌林　 黄晓明　 朱大勇　 韩　丁　 董满生

(1合肥工业大学交通运输工程学院,合肥230009)(2东南大学交通学院,南京 210096)(3合肥工业大学土木与水利工程学院,合肥230009)

广义Kelvin模型在沥青路面中的应用

李凌林1,2黄晓明2朱大勇3韩丁1董满生1

(1合肥工业大学交通运输工程学院,合肥230009)(2东南大学交通学院,南京 210096)(3合肥工业大学土木与水利工程学院,合肥230009)

摘要:为了得到普适性黏弹性本构方程的解答,选择广义Kelvin模型作为沥青混合料的本构模型,并分析了该模型的力学响应.首先,推导了沥青混合料一维广义Kelvin模型在重复单轴半正矢荷载作用下的应力-应变关系,并提出了获取该工况下材料参数的新方法;然后,将一维广义Kelvin模型推广到三维空间中,并给出了对应的有限差分算法;最后,验证了三维广义Kelvin模型和有限差分算法的正确性,分析了广义Kelvin模型在沥青路面中的适用性.结果表明,采用所提的参数获取方法以及本构模型的演算和推广能够实现广义Kelvin模型在沥青路面中的应用.广义Kelvin模型可以准确有效地应用于沥青路面黏弹性响应计算中.

关键词:沥青路面;广义Kelvin模型;本构关系;半正矢荷载;有限元

设计安全、可靠、经济的路面结构需要深刻理解路面材料和结构[1].随着数值分析技术的不断进步,弹性层状体系理论在柔性路面分析和设计中得到了广泛的应用[2].

目前,路面设计中使用的沥青混合料模量参数为回弹模量.室内试验中,通常采用加载0.1 s、卸载0.9 s的半正矢荷载作用于标准试件上,以模拟实际路面在交通荷载作用下的应力和变形特性[3].文献[4]中,回弹模量被反映材料黏弹特性的蠕变柔量所代替.为更好地配合研究对象由弹性到黏弹性的转变,需要从材料本构模型的选择、室内模型参数的标定以及本构模型的推导和应用等方面开展工作.

最简单的黏弹性本构模型为Kelvin模型和Maxwell模型,但其在描述路面材料力学行为时存在缺陷,不能用于表征沥青混合料的黏弹属性[5-6].Burgers模型能够用于描述沥青混合料的黏弹性质,但其描述的应力-应变曲线与材料试验曲线之间存在较大误差[7-8].通用模型包括广义Kelvin模型和广义Maxwell模型,它们在描述沥青混合料的黏弹特性方面得到了广泛的应用[9-10],且文献[11]指出这2个模型是等效的.目前,关于一维广义Kelvin模型在沥青混合料中的应用研究较多,但由于缺少复杂交通荷载下变形响应的分析,相关研究成果难以应用于实际工程中.

本文将广义Kelvin模型引入沥青路面力学计算中,推广了一维广义Kelvin模型的本构关系和数值计算方法,并验证其适用性.

1一维广义Kelvin模型

1.1荷载波形的选择

Barksdale[3]认为作用在沥青路面上不同点位的垂直荷载可近似等效为半正矢荷载,其一个周期的数学函数形式为

Pt=P021-cos2πt0tæèçöø÷ 0≤t≤t00 t0

(1)

式中,t为作用时间;Pt为第1个周期的半正矢荷载;P0为荷载峰值;t0为第1个周期的半正矢荷载加载时间.间歇时间为2次荷载作用周期间的间隔.

峰值应力为0.7MPa时n个周期半正矢荷载图见图1.

1.2应变响应分析

推导广义Kelvin模型材料在重复半正矢荷载作用下的应变响应时需要用到Boltzmann叠加原理,其积分形式如下:

(2)

图1　重复荷载的半正矢荷载图

式中,ε(t)为应变;σ0为初始应力;J(t)为蠕变柔量; ξ为积分变量.

图1所示的应力函数为分段函数,不便直接采用式(2)计算σ(t).因此,对式(2)等号右端的第2项进行分步积分,即

(3)

广义Kelvin模型及参数见图2,其蠕变柔量为

(4)

式中,τi=ηi/Ei,其中Ei,ηi分别为第i(i=1,2,…,n)个Kelvin元件的弹簧弹性模量和黏壶黏性系数.

图2　广义Kelvin模型及参数

由此可得

(5)

当0≤t≤t0时,式(5)可改写为

(6)

当t0

(7)

当t=10nt0时,式(5)可改写为

ε(t)= ∑ni=1P02Ei4π2τ2i[exp(t0/τi)-1]4π2τ2i+t20·

(8)

当t=(10n+1)t0时,式(5)可改写为

(9)

当(10n+1)t0

(10)

当10nt0≤t≤(10n+1)t0时,式(5)可改写为

(11)

1.3材料参数拟合

为确定沥青混合料的黏弹性材料参数,制作了直径为150 mm、高度为100 mm的圆柱体试件,于不同荷载、温度下进行重复单轴蠕变试验.

蠕变试验设备为多功能材料试验机.试验中,一个半正矢荷载周期为1 s,加载时间为0.1 s,间歇时间为0.9 s.为简化分析过程,仅记录加载时间t=10ut0(u=0,1,2,…)时的应变值.因此,根据式(8)即可获得沥青混合料的黏弹性材料参数.

(12)

式中,E0和η0为2个Kelvin元件退化后所得弹簧弹性模量和黏壶黏性系数.

由于ε(t)和t为非线性关系,故拟合Ei和ηi的关键是获取其初始值.首先,利用剩余渐进法[11]计算沥青混合料广义Kelvin模型的材料参数值,将其作为最优化约束的初始值;然后,借助SPSS软件中的最小二乘拟合函数,得到沥青路面各黏弹性结构层在不同荷载、温度下的广义Kelvin模型材料参数.

图3给出了温度为60 ℃、压力峰值为0.7 MPa时的沥青混合料AC-25试验蠕变曲线、剩余渐进法得到的蠕变曲线以及在剩余渐进法基础上通过SPSS改进后得到的蠕变曲线.

图3　蠕变曲线对比

2三维广义Kelvin模型

2.1本构关系

道路工程中一般假设沥青混合料均匀、各向同性,且体积模量不随荷载变化.根据广义Kelvin模型中各元件的应力和应变关系,其蠕变柔量在三维空间中的张量形式为

(13)

式中

式中, μei, μυi分别为第i(i=1,2,…,n)个Kelvin元件的弹簧泊松比和黏壶泊松比;I′和Im分别为四阶等同张量的偏张量和球张量.

因此,三维应力空间中广义Kelvin模型的本构关系为

(14)

2.2有限差分格式

对ε进行加法分解,其偏张量部分为

(15)

式中

路面力学中一般取σ0=0,则式(15)可简化为

(16)

在每一时间增量步上,近似认为应力随时间呈线性变化,则式(16)的有限差分格式为

Δε'i= 12Gi1-exp-ΔtτGiæèçöø÷éëêêùûúúσ'+

(17)

为使广义Kelvin模型具有瞬时弹性和无限长时间的黏性流动特性,需单独考虑弹簧和黏壶串联的差分格式,其偏应变差分之和为

(18)

式中, 2G0=E0/(1+μe0),2ηG0=η0/(1+μυ0),其中μe0和μυ0分别为弹簧泊松比和黏壶泊松比.

由此可得

(19)

式中

A= 12G0+Δt4ηG0+

B= Δt2ηG0+∑ni=112Gi1-exp-ΔtτGiæèçöø÷éëêêùûúú

(20)

为进行下一增量步的计算,按照下式更新Δεi:

Δεi=Diσ-Giσm+Ciεi+FiΔσ+HiΔσm

(21)

式中

3理论验证与应用实例

3.1圆柱体试件的应变响应

圆柱体试件在半正矢荷载作用下的轴向应力为σzz=P0[1-cos(2πt/t0)]/2,其他应力分量为0,体积应力σm=σzz/3.因此,圆柱体试件各方向的正应变为

k=x,y,z

(22)

图4为数值计算的网格划分图.

图4　单轴压缩试件的有限元模型网格划分

图5给出了正应变理论解答和有限元解答的对比曲线.由图可知,正应变理论解答和有限元解答吻合,由此证明了有限差分格式的正确性.

(a) zz方向

(b) xx或yy方向

3.2移动荷载作用下的竖向蠕变

沥青路面结构从上到下为:① 最大公称粒径为13 mm的沥青混凝土(AC-13),厚度为4 cm;② 最大公称粒径为20 mm的沥青混凝土(AC-20),厚度为6 cm;③ 最大公称粒径为25 mm的沥青混凝土(AC-25),厚度为8 cm;④ 水泥稳定碎石基层,厚度为40 cm;⑤ 石灰土底基层,厚度为20 cm;⑥ 土基.假定各路面结构之间完全连续.轮胎荷载简化为双轮矩形荷载;单轮长为22 cm,宽为16 cm;双轮中间间距为32 cm.路面结构层的材料参数见表1.车辆荷载作用下,基层、底基层和土基的永久变形相比于面层材料的值很小,故可认为基层、底基层和土基为各向同性的线弹性材料.

表1　路面材料参数

注：E为土基回弹性模量;μ为土基泊松比.

图6为有限元网格划分图.单元类型为20节点2次减缩积分有限单元和12节点2次无限单元.单元尺寸从上到下逐渐增大,例如AC-13单元尺寸为1 cm,土基单元尺寸则为8 cm.

图6　有限元模型的网格划分图(单位：m)

采用路面现场铺设传感器(纤维增强聚合物-光纤格栅FRP-OFBG)的方法进行工程验证.传感器的铺设位置见图7.

图7　FRP-OFBG传感器铺设的横断面图(单位：cm)

图8给出了移动荷载作用下AC-20底部竖向蠕变的传感器实测值和有限元计算值对比.由图可知,有限元计算结果和实测结果的误差在5%以内,表明可以采用广义Kelvin模型来预测沥青路面在实际荷载作用下的黏弹性响应.

图8　竖向蠕变应变实测结果和计算结果

4结语

本文分析了沥青混合料广义Kelvin模型在半正矢荷载作用下的本构关系,结合剩余渐进法和最小二乘拟合函数,求解了一维广义Kelvin模型的材料参数;继而给出了三维广义Kelvin模型的本构关系,并推导出该本构关系对应的有限差分格式.通过圆柱体试件在半正矢轴向荷载作用的应变响应,验证了广义Kelvin模型三维本构和其有限差分格式的正确性.在移动荷载作用下,沥青路面竖向蠕变应变的实测结果和计算结果的误差在可接受范围内,故广义Kelvin模型可作为沥青混合料的本构模型应用于路面结构的力学分析.

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Application of generalized Kelvin model in asphalt pavement

Li Linglin1,2Huang Xiaoming2Zhu Dayong3Han Ding1Dong Mansheng1

(1School of Transportation Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)(2School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, China)(3School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:To obtain the solution of the generalized viscoelastic constitutive equation, the generalized Kelvin model is selected as the constitutive model of asphalt mixture and the mechanical responses of this model is analyzed. First, the relationship between the strain and the stress of the one-dimensional generalized Kelvin model of asphalt mixture under the cyclic uniaxial haversine load is deduced and a new method to obtain the material parameters under this condition is proposed. Then, the one-dimensional generalized Kelvin model is generalized to the three-dimensional spatial domain and the corresponding finite-difference algorithm is presented. Finally, the validity of the proposed three-dimensional generalized Kelvin model and the finite-difference algorithm is verified, and the feasibility of the generalized Kelvin model in asphalt pavement is analyzed. The results show that by using the proposed parameter acquisition method and the calculation and generalization of the constitutive model, the generalized Kelvin model can be applied in asphalt pavement. The generalized Kelvin model can be used correctively and effectively in the calculation of the viscoelastic response of the asphalt pavement.

Key words:asphalt pavement; generalized Kelvin model; constitutive relationship; haversine load; finite element

doi:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.029

收稿日期:2015-06-29.

作者简介:李凌林(1983—),男,博士,讲师, bruceleeseu@hfut.edu.cn.

基金项目:国家自然科学基金青年科学基金资助项目(51408173)、中国博士后科学基金资助项目(2015M571928)、 中央高校基本科研业务费资助项目(2014HGQC0137, 2014HGBZ0132).

中图分类号:U416.2

文献标志码:A

文章编号:1001-0505(2016)02-0413-06

引用本文: 李凌林，黄晓明，朱大勇，等.广义Kelvin模型在沥青路面中的应用[J].东南大学学报(自然科学版),2016,46(2):413-418. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.02.029.