传送带中的划痕问题

□　江西省南昌市第十九中学　郭家琼



传送带中的划痕问题

□江西省南昌市第十九中学郭家琼

本文就传送带中的痕迹问题进行突破。

难点形成的原因有：

1.对于物体与传送带之间摩擦力的有无判断、是滑动摩擦力还是静摩擦力的判断、摩擦力的方向如何的判断存在困难。主要是摩擦力产生的条件、摩擦力的方向及摩擦力大小的计算掌握不扎实。

2.对于什么问题应该研究物体相对地面的运动、什么问题应该物体相对传送带运动判断错误。

3.对于实际中的划痕不理解。

下面我们就例题进行分析，突破难点。

例1.如图所示，传送带足够长，正以2m/s的速度顺时针运动，现将下表面涂有颜料的木块（可视为质点）轻放在传送带左端，已知木块与传送带间的动摩擦因素为0.05，求木块在传送带上留下的划痕。

【审题】对轻放到运动的传送带上的物体，在研究摩擦力是滑动摩擦力还是静摩擦力时要研究物体相对传送带的运动，由于物体与传送带存在相对运动，所以是滑动摩擦了；判断摩擦力方向时要研究相对运动，由于物体相对传送带向后滑动，受到沿传送带运动方向的滑动摩擦力作用，物体将做匀加速运动，物体在传送带上向后划痕迹，直到物体达到与皮带相同的速度，不再受摩擦力，而随传送带一起做匀速直线运动，此时不再划痕迹，所以痕迹就是物块相对传送带向后的位移，等于两物体的位移之差。

解法1：力和运动的观点。

传送带的位移为x1=vt=2×4=8m

在这个过程中木块相对传送带向后划痕迹△L=x2-x1= 8-4=4m

解法2：图像法。

由于v-t图像可以很直观地描述物体的运动，位移可以用图像与t轴所围面积表示。做出木块、传送带v-t的图线如图所示，本题痕迹就为两物体图像的面积之差，也就是两图像所夹面积即图中阴影面积。

痕迹的长度即三角形的面积

例2.如图所示，传送带足够长，正以2m/s的速度顺时针运动，现将下表面涂有颜料的木块（可视为质点）以4m/s的速度从右端滑上传送带，已知木块与传送带间的动摩擦因素为0.05.求木块在传送带上留下的划痕。

【审题】物块滑上传送带向左运动，受到传送带给的向右的滑动摩擦力而做减速运动，直到速度为零。这个阶段物块向左运动，传送带向右运动，所以木块相对传送带向左划痕迹，则痕迹长度为木块和传送带位移大小之和。这时木块速度为0，传送带向右运动，所以木块相对传送带向左运动，则木块受到向右滑动摩擦力而向右做匀加速运动，直到速度达到与传送带速度一样。这一阶段木块和传送带都向右运动，但木块相对传送带向左运动，所以木块在传送带上向左划痕迹，则痕迹长度为皮带位移减去木块位移。两次木块在传送带都是向左划痕迹，所以总痕迹为两次痕迹之和。

解法1：力和运动的观点。

传送带向右的位移为x2=v2t1=2×8m=16m

木块相对传送带向左画的痕迹△L1=x1+x2=16m+16m=32m

此后木块向右运动速度与传送带相同所经过的时间为

传送带的位移为x1′=v2t2=2×4=8m

在这个过程中木块相对传送带左划痕迹△L2=x2′-x1′=8-4=4m

两段时间都向左划痕迹，所以总痕迹长度为△L+△L1+ △L2=32+4=36m

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解法2：v-t图像法。第一阶段，木块和传送带运动方向相反，所以痕迹长度为两个位移大小之和，即v-t图中0-8s阴影面积；第二阶段木块相对传送带的位移为8s-12s阴影面积。总痕迹则为两图像所围成的面积即阴影部分。

例3.如图所示，皮带轮带动传送带沿逆时针方向以速度v0=2 m / s匀速运动，两皮带轮之间的距离L=3.2 m，皮带绷紧与水平方向的夹角θ=37°。将一可视为质点的小物块无初速地从上端放到传送带上，已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块在皮带上滑过时能在皮带上留下白色痕迹。求物体从下端离开传送带后，传送带上留下的痕迹的长度。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2）

【审题】传送带逆时针转动，则上面AB部分传送带速度沿传送带向下，小物块初速度为零，则小物块相对传送带向上运动，所以受到沿传送带向下的滑动摩擦力，因而小物块沿传送带向下做匀加速运动。小物块速度达到与传送带速度相同前相对传送带向后运动，因此在传送带上向后划痕迹。当小物块加速到与传送带有相同速度时，摩擦力情况要发生变化。如果mgsinθ≥μmg cosθ即μ≥tanθ，则小物块将和传送带相对静止一起向下匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于mgsinθ。而本题由于μ＜tanθ即mg sinθ＜μmg cosθ，小物块无法保持与传送带相对静止的匀速运动，因而小物块继续向下加速运动。此后小物块速度将大于传送带速度，所以小物块受到沿传送带向上的滑动摩擦力，在传送带上向前划痕迹。两次痕迹有重合部分，所以痕迹的长度为两次所划痕迹中长的长度。

解法1：小物块速度达到v0前，

由牛顿第二定律：mg sinθ+μmg cosθ=ma1解得a1=10m/s2

由v0=a1t1解得

小物块的速度达到v0之后

由牛顿第二定律：mg sinθ-μmg cosθ=ma2

解得：a2=2m/s2

到离开传送带经历时间t2

此过程中传送带的位移x2=v0t2=2m

小物块相对传送带向前划出痕迹的长度△L2=x2-x2′= （3-2）m=1m

两次朝相反方向划痕迹，由于△L1〉△L2，所以痕迹长度为△L2=1m。

解法2：v-t图像法。小物块速度达到v0前相对传送带向后运动，在传送带上向后划痕迹，长度为第一阶段两图像所围面积，即阴影部分△L1；由于μ＜tanθ，小物块继续加速，此后小物块速度大于传送带速度，小物块在传送带上向前划痕迹，痕迹的长度为第二阶段两图像所围面积，即阴影部分△l2。两次痕迹有重合，所以痕迹的长度为两次所划痕迹中长的长度。

由牛顿第二定律：mg sinθ+μmg cosθ=ma1解得a1=10m/s2由v0=a1t1解得

相对皮带向后划出痕迹的长度

小物块的速度达到v0之后

由牛顿第二定律：mg sinθ-μmg cosθ=ma2

解得：a2=2m/s2

到离开传送带经历时间t2

木块速度v2=v0+at2=2+2×1=4m/s

两次朝相反方向划痕迹，由于△L1〉△L2，所以痕迹长度为△L2=1m

【总结】在求解痕迹问题时，首先要分析清楚摩擦力，从而正确分析物体的运动情况；其次，分析物块相对传送带运动情况，同向运动则痕迹为两者位移大小之差，反向运动则为两者位移大小之和；再次，如果存在两次划痕迹，那么两次相对传送带朝相同方向划痕迹的话则痕迹长度为两次痕迹长度之和，两次相对传送带朝相反方向划痕迹则总痕迹为两次痕迹中痕迹长的长度。