三角函数最值问题的常见求解策略

宋艳萍（浙江省兰溪市第三中学）

三角函数最值问题的常见求解策略

宋艳萍
（浙江省兰溪市第三中学）

三角函数的最值问题是数学学习中一个非常重要的问题。从利用三角函数的有界性求解最值问题；引入辅助角，求解三角函数的最值问题；利用配方法，求三角函数的最值问题，利用换元法等方面归纳三角函数最值问题的常见求解方法。

三角函数；最值；求解；策略

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，其内容除了具有独特性质外，它也具有普通函数的性质。解决这类问题的基本途径同求解其他函数的最值一样：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等）；另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。另外，需要灵活运用三角公式进行三角变换，需要熟练的恒等变形能力。笔者通过几个例子，介绍三角函数的几种最值问题和常见的解题策略。

策略一：配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们的次数是2和1并存时，一般需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1.求函数f（x）=-sin2x-3cosx+3的最小值。

［分析］本题可以通过公式sin2x=1-cos2x将函数表达式化为y=cos2x-3cosx+2。因含有cosx的二次式，可换元。

解：令：cosx=t，则-1≤t≤1，原函数可化为y=t2-3t+2，配方，得

策略二：化一法

所谓化一法是由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式，“化一名”使用到推导公式，“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等， 因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。

【分析】降幂后发现式中出现了sin2x和cos2x，这时再化成一个角的三角函数便可求得。

策略三：利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

策略四：数形结合转化

策略五：不等式转化方式

作为三角函数最值的求解问题，在处理这类问题的过程中，可以合理运用不等式转化的方式，能够使问题的解决更加便利，有助于学生解题能力的提升。

针对这样的问题，可以将其向不等式形式转化，以此来对最值问题进行合理求解，能够使问题的解决更加便利。

因此，针对这样的问题可以合理地借助基本不等式转化的方式，以此能够使问题的解答更加容易，有助于学生问题解决效率的提升。总之，在高中的三角函数的学习过程中，针对最值问题的求解，可以积极借助以上五种方式，作为高中数学老师，应该为学生合理讲解这五种方式的运用手段，以此能够在学生的学习与解题过程中提供积极的帮助，能够促进学生的合理健康成长。

李东文.三角函数最值的归类求解策略［J］.考试周刊，2014（4）.

·编辑杨国蓉