解排列组合综合问题的基本方法

彭春齐（湖北省红安县大赵家高中）

解排列组合综合问题的基本方法

彭春齐
（湖北省红安县大赵家高中）

求解排列组合的综合问题，首先要认真审题。只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，并注意结合分类加法与分类乘法两个计数原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序。以下是解排列组合综合问题的一般思路：

一、四项基本原则

一是“先选后排原则”：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时采取此原则，即先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列。

例1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）

解析：根据所选偶数位0和2分类讨论求解。

二是“特殊优先原则”：如果问题中有特殊元素或特殊位置，就优先安排特殊元素或特殊位置，再安排无特殊要求的其他元素或位置。

例2.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数。

（1）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；

（2）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。

（2）这名男生和女生必须选择，因此先从除去该男生和该女生的6人中选3人，有种选法，该女生一定担任语文科代表故不需安排，则先安排该男生，有种方法，其余3人作全排，有种方法，故符合题意的共有=360种不同的选法。

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点评：有特殊要求的元素一般优先安排，然后再对其他的元素作全排列。

三是“正难则反原则”：就是从正面直接考虑分类情况比较复杂或求解比较困难时，则从其反面考虑用间接法求解。

例3.已知M、N是两个平行平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中再无其他4点共面，则以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？

点评：直接考虑选4个不共面的点作三棱锥分三类，其中容易漏选，但从反面间接考虑，在9个点中任取4个点之中去掉4点共面的情况即可，显然这种方法更便捷。

二、五种常见解法

1.分排问题“直排法”

把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。

例1.7人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

解析：7个人可以在两排中随意就座，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有种。

2.相邻问题“捆绑法”

排列问题中要求几个元素相邻就把几个相邻的元素捆绑在一起作为一个整体视为一个元素，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列。

例2.有3名男生，4名女生排成一行，其中男生必须在一起有多少种不同的排法？

解析：将男生看作一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有=720种不同的排法。

3.不相邻问题“插空法”

先排好其他一般元素，再把要求不相邻的元素插入其他元素之间或两端的空当中就可确保其不相邻。

例3.有3名男生，4名女生排成一行，要求男、女各不相邻，有多少种不同的排法？

4.顺序固定问题用“除法”

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例4.五人排队甲在乙前面的排法有几种？

5.用比例法解排列问题

有些排列应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。

例5.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少种？

排列问题千变万化，没有一成不变的方法，在求解过程中关键是抓住问题本质，并遵循两个原则：（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类，灵活处理就能找到适当的解题方法。

徐应仙.排列组合解题技巧的研究［J］.科技信息，2011（30）.

·编辑李建军