二元函数各种极限之间的关系

柴志远（福建省漳浦龙成中学）

二元函数各种极限之间的关系

柴志远
（福建省漳浦龙成中学）

一、引言

在讨论研究多元函数的有关理论和概念时，重要是研究二元函数，因为二元函数所讨论的一切结论都能相应的推广到n（n＞2）元函数上去，二元函数的极限是反映函数在某一领域的重要属性的一个基本概念，它刻画了当自变量趋向于某一个定值时，函数值的变化趋势，是高等数学中一个极其重要的问题，本文就是主要讨论二元函数极限问题，重要研究二元函数各种极限之间的关系.

二、预备知识

三、二元函数各种极限之间的关系

二元函数各种极限之间的关系错综复杂，往往由一种极限的存在不能推出另一种极限存在.

1.二重极限与弱二重极限的关系

定理1：若（强）二重极限存在，则弱二重极限存在；若弱二重极限存在，则（强）二重极限不一定存在.

2.两个累次极限之间的关系

（1）一个存在不能断定另一个存在，或者两个都不存在.

（2）两个累次极限都存在，但不相等.

3.二重极限与累次极限的关系

二重极限与累次极限之间的关系是一个比较复杂的问题.

结论1：由二重极限存在，不能保证累次极限的存在；由两个累次极限的存在，即使相等，也不能保证二重极限的存在.

那么在重极限和累次极限之间是否毫无关系可寻呢？并非如此，有下面的定理：

由这个定理可得两个推论：

结论2：由二重极限和两个累次极限存在，可以得出三者相等；若两个累次极限都存在，但不相等，则二重极限不存在.

4.二重极限与方向极限之间的关系

由二重极限与方向极限的定义可知，方向极限是二重极限的特殊情形，即二重极限存在方向极限必存在，但其逆并不成立.即使f（x，y）在点（x0，y0）处沿任何方向（cosα，cosβ）都有等于A的极限，也不能保证二重极限存在.

结论3：二重极限存在是方向极限存在的充分条件，但并非必要条件.而方向极限存在又是二重极限存在的必要条件，那么方向极限不存在，或沿任何两个不同方向的方向极限存在而不相等，则可得出二重极限不存在.

5.累次极限与方向极限的关系

一般的说，二者没有什么关系，特别注意，累次极限绝不是方向极限的特例，即是说f（x，y）在点（x0，y0）处沿任何方向有等于A的极限，而累次极限也可能不存在.

结论4：两个累次极限存在相等，也不能保证方向极限的存在，当二重极限，累次极限都存在，方向极限必存在，而且三者相等.

二元函数的极限是反映函数在某一领域内的

重要属性的一个基本概念，比起一元函数的极限无论从计算还是证明都具有更大的难度，尤其是二元函数各种极限之间的关系错综复杂，本文总结了两个二重极限之间的关系、两个累次极限之间的关系、二重极限与累次极限之间的关系、二重极限与数列极限之间的关系、二重极限与方向极限之间的关系、以及累次极限与方向极限之间的关系，这对于我们更深入研究二元函数具有十分重要的意义．

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［2］许万银，岳晓红.二元函数各种极限之间关系的讨论［J］.陇龙院学报，2007（17）：1-2.

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［4］刘玉涟，傅沛仁.数学分析：下册［M］.北京：高等教育出版社，1998：144-149.

［5］裴礼文.数学分析中的典型例题与方法［M］.北京：高等教育出版社，2001：521-525.

·编辑李琴芳